Анықтама-1. Егер f(x)=f(x0) (1) шарты орындалса, f(x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады. Бұның мағынасы:
1. f функциясының х0 нүктемінде анықталғандығы қажет.
2. f функциясы белгілі бір >0 саны үшін (x0- x0+ ), (x0- x0), (x0, x0+ ) жиындарының бірінде анықталуы қажет.
3. х нүктесі х0-ге сол жағынан да ақырсыз жақындағанда f(x) f(x0)-ге ақырсыз жақындау керек.
х-х0=һ=∆x сандары функцияның аргументінің х0 нүктесіндегі өсімшесі деп, ал оған сәйкес: ∆y=f(x)-f(x0)=f(x0+h)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) саны функцияның өсімшесі деп аталады.
«Өсімше» терминін қолданып, үзіліссіздіктің анықтамасын былай айтуға болады:
Анықтама-2. Егер тәуелсіз айнымалының х0 нүктесіндегі өсімшесі нольге ұмтылғанда оған сәйкес f функциясының өсімшесі нольге ұмтылса, онда f функциясы х0 нүктемінде үзіліссіз деп аталады.
Шектің анықтамасын тікелей қолдансақ, онда үзіліссіздіктің келесі екі анықтамасына келеміз.
Анықтама-3. (үзіліссіздіктің “ ” тіліндегі анықтамасы). Егер кез-келген саны бойынша саны табылып, х-тің теңсіздігін қанағаттандыратын барлық мәндерінде теңсіздігі орындалса, онда f функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп атлады.....

Анықтама : Егер сегменетте интегралданушы f(х) және (х) функциялар көбейтіндісінен алынған интеграл нөлге тең болса , оларға өзара ортогональ сызық қиялар делінеді.
(1)
Мысал:
(2)

2. Периоды 2l- ге тең болған функцияны Фурье қатарына жіктеу.
Егер болса оның фурье қатарына жіктеуі жалпы түрде былай жазылады:
(3)
Енді а0, ап және вп коефиценттерін f(х) арқылы табайық

(3) ні аралығында интегралдасақ
(4)
(3) ні cos kx –қа көбейтіп [-n,n] аралығында интегралдаймыз.
(2) формулаға сәйкес
ді табамыз
Сонда пак= (5) болады
Осы жолмен (3)ті sin kx қа көбейтіп [-n, n] интегралды интервалдасақ табамыз
Қортынды :Егер а ( ч+2т)=f(x) болса ол[-n,n] сегментте Фурье қатарына жіктеледі.. Қатардың а0,ак, вк коэфиценттері мына формулр ррқылы есептеледі.
Ескерту: 1 Егер f(-х)=-(х) болса а0=0; ак=0 болып вк ны есептеу керек. Яғни f(x) тек синустар бойынша фурье қатарына жіктеледі .

Ескерту: 2 Егер f(-х)=-(х) болса вк=0 болып а0, ак -ларды есептеу керек. ....

Құрамында әріппен берілген белгісізі ( айнымалысы )бар теңдік теңдеу деп аталады .Мысалы , 5х+8=18; 6х+7=-5; 3(х+7)=15 -теңдеулер .х-белгісіз (айнымалы). Мұндай теңдеулер ді бір белгісізі бар немесе бір айнымалысы бар теңдеулер деп атайды .
Теңднудің оң жағы және сол жағы болады .Мысалы,4х+7=19 теңдеуіндегі 4х+7 - теңдеудің сол жағы,ал 19 - теңдеудің оң жағы. мүшелері деп аталады . 4х; 7;19 - мүшелер.Мұндағы 4х - белгісізі бар мүше, 7 19 - бос мүшелер.
Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығрғанда,ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз .
Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді тура санды таңдікке айналдыратын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.
Теңдеуді шешу дегеніміз оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеу . Теңдеулерді шешкенде, кейде бірдей болатын теңдаулер де кездеседі. Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес теңдеулер деп атайды. Мысалы,2х=10 теңдеуі мен 3х =15 және 3х - х=2,5 4 теңдеулері мәндес тңдеулер. Түбірлері бірдей: х . Ескеретін жағдай, кейде теңдеудің түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып саналады .
Теңдеу әріпі бар теңдік болғандықтан , теңдеудің қасиеттерін теңдіктің қасиеттеріне сүйеніп дәлелдейміз.
Теңдеудің екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда (азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.
Мысал. х+23=40,
х+23-23=40-23,
х=40-23,
х=17 – теңдеудің түбірі.
Теңдеудегі қосылғыштың таңбасын қарама қарсыға өзгертіп , оны теңдеудің бір жағынан екінші жағыцна көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.

Теңдеу екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбейткенде немесе бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді....

Есептеу техникасының дамуы жылдам әсер етуші және бағдарлама арқылы басқарылатын электронды машиналардың пайда болуы, бағдарламалау өнерінің пайда болуы ондық және басқа санау жүйелерінің терең әрі мақсатты зерттелуін талап етті.

1950 жылдардағы математиктер мен есептеу машиналарын құрастырушылардың алдындағы өзекті мәселе қолданбалы бағдарламалау және жаңа есептеу құрылғыларын, шығарушылардың талаптарына сай келетін санау жүйелерін табу және есептеу тәсілдерінедеген көз қарас қысқа мерзімде өзгерді.

Ежелгі интеллектуалдық шеберліктің бірі арифметикалық санаудың б.з. да дамуы мүмкін екен. Сандарды бейнелеу әдісін және оған сәйкес сандарға қолданылатын ережелер жинағы санау жүйесі деп аталады. ....

Берілген ақырсыз u1, u2, u3,..... un,... сандық тізбектің мүшелерін плюс таңбасымен біріктіргенде шығатын символ
u1 + u2 + u3+...+ un+...= (I)
сандық қатар, ал u1, u2, u3,..... un,... сандары қатардың мүшелері, мәселен, u1-бірінші мүшесі, u2 - екінші мүшесі,..., un – п -ші, немесе жалпы мүшесі деп аталады.
Анықтама. (1) қатардың алдыңғы и мүшелерінің қосындысы
Sn = u1 + u2 + u3+...+ un = (n=1,2, 3,….), (2)
сол қатардың n- ші дербес қосындысы деп аталады.
Дербес қосындылар тізбегі S1, S2, S3,..., Sn,... үшін мына үш жағдайдың бірі ғана орындалуы мүмкін:
1) п -да дербес қосынды Sn-нің шектеулі шегі S бap;
2) п -да дербес қосынды Sn айқын таңбалы ақырсыз шек + , не - ке ұмтылады;
3) п -да дербес қосынды Sn ешқандай шекке ұмтылмайды (шегі жоқ).
Анықтама. Егер сандық қатар (1)-дің дербес қосындысы Sn -нің п -да шектеулі шегі Sn = S бар болса, ол жинақты қатар, ал S саны сол қатардың қосындысы деп аталады.
Егер п -да, Sn-нің шегі ақырсыздыққа ұмтылса немесе шегі мүлдем жоқ болса, (1)-ді жинақсыз қатар деп атаймыз.
Мысал ретінде геометриялық прогрессия мүшелерінен құралған, еселілігі q -ға тең a+q+aq2+...+aq"+...= aqk (3) қатарын қарастыралық.
Әуелі q 1 болатын жағдайдағы дербес қосындыны құралық:

1) Егер < 1 болса, онда яғни (3) қатар жинақты, оның қосындысы болады.
2) Erep > 1 болса, онда яғни (3) қатар жинақсыз.
3) Erep q = 1 болса, онда (3) қатар мынадай түрде жазылады: а+а+а+...-а+... , онда яғни (3) қатар жинақсыз.
4) Erep q = -1 болса, онда....

p бүтін мәндер, ал q натурал мәндер қабылдаса, рационал сан деп аталады да, олардың жиыны рационал сандар жиыны деп аталып, Q арқылы белгіленеді:

Әрине, санын әрқашанда қысқартылмайтын бөлшек деп қарауға болады, өйткені ол қыскартылатын болса, алдын ала алымы мен бөлімін ең үлкен ортақ бөлгішіне қысқартуға болар еді.
1. Рационал сандардың қасиеттері
1. Кез келген екі рационал санға арифметикалық амал қолдану нәтижесінде рационал сан шығады.
2. Тәртіптелгендік қасиет. Кез келген екі r1 және r2 рационал сан үшін мына
үш арақатыстың: r1 < r2, r1 = r2, r1 > r2 тек біреуі ғана орындалады.
3. Тығыздық қасиет. Тең емес кез келген екі рационал сан r1 және r2 –нің
арасында жататын ең болмағанда бір рационал сан r табылады. Демек, егер r1 < r2 болса, ең болмағанда бір r саны табылып,
r1 < r < r2
теңсіздігі орындалады.

2. Рационал сандар жиынындағы қималар.
Анықтама. Q рационал сандар жиыннының А және В кластарына бөлінуі қима деп аталады, егер мына үш шарт орындалса:
1. Ø, В≠ Ø,
2. АUB═Q
3.
А класы қиманың төменгі класы, Вкласы қиманың жоғарғы класы деп аталады. Осылайша анықталған қима былай белгіленеді: (А,В)
Рационал сандар жиынында үш түрлі ғана қима бар:
1. Төменгі класс А-да ең үлкен сан бар, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан жоқ.
2. Төменгі класс А-да ең үлкен сан жоқ, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан бар.
3. Төменгі класс А-да ең үлкен сан жоқ, ал жоғарғы класс В-да ең кіші сан жоқ.

3. Иррационал санды анықтау.
Анықтама. Рационал сандар жиынында жасалған жоғарғы класында ең кіші сан жоқ, төменгі класында ең үлкен сан жоқ үшінші түрдегі қима арқылы анықталатын сан иррационал сан деп аталады.....

Математиканы оқыту әдістемесі ( методикасы ) - педагогиканың бір саласы. Ол математика ғылымының белгілі бір даму дәрежесіне лайық қоғамның алға қойған оқыту мақсаттарына сай математиканы оқытудың заңдылықтарын зерттейді. Методика (әдістеме) терминінің төркіні «метод» «әдіс» - «жол» деген грек сөзінен шыққан. Математика әдістемесін басқаша «математика педагогикасы», «математика дидактикасы» деп те атайды. Олардың мағынасы бір-біріне өте жақын, сондықтан да оларды біз бір мағынада қолданамыз.
Математиканы оқыту әдістемесі ең алдымен математика ғылымымен тікелей байланысты дамиды. Сондықтан да математика әдістемесінің мазмұны мен даму барысын дұрыс бағдарлап түсіну үшін математика ғылымының даму тарихынан мағлұматтар білу қажет.
Математика ақиқат дүниенің кеңістіктік формалар мен мөлшерлік қатынастарын зерттейді. ....

1. Тізбектер.
Жұп оң сандарды өсу ретімен теріп жазайық. Ондай бірінші сан 2, екіншісі 4, үшіншісі 6, төртіншісі 8, т.с.с.
Сонда
2; 4; 6; 8; ...
тізбегі шығады.
Бұл тізбекте бесіншісі орында 10, оныншы орында 20, жүзінші орында 200 саны тұратыны айқын. Жалпы алғанда кез келген n натурал саны үшін оған сәйкес болатын жұп оң санды көрсетуге болады, он 2n – ге тең.
Тағы да бір тізбек қарастырайық. Алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектерді кему ретімен теріп жазайық:
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ...
Кез келген натурал сан үшін біз оған сәйкес болатын бөлшекті көрсете аламыз; ол бөлшек 1/n + 1 – ге тең. Сөйтіп, алтыншы орында – 1/7 бөлшегі, отызыншы орында – 1/31 бөлшегі, мыңыншы орында – 1/1001 бөлшегі тұруы тиіс.
Тізбекті құрайтын сандар реті бойынша тізбектің бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.с.с. мүшелері деп аталады. Тізбектің мүшелерін әдетте мүшенің реттік нөмірін көрсететін бар әріптермен белгілейді. Мысалы, а , а , а , а , т.с.с. Жалпы тізбектің n нөмірлі мүшесін немесе тізбектің n – ші мүшесі деленді а n деп белгілейді. Тізбектің өзін былай белгілейміз (а ).
Тізбектің мүшелер саны шектеулі болуы мүмкін екенін ескертеміз. Мұндай жағдайда оны шектеулі тізбек деп атайды. Шектеулі тізбекке екі таңбалы сандар тізбегі мысал бола алады:
10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.
Тізбекті беру үшін, оның кез келген нөмірлі мүшесін табуға мүмкіндік туғызатын тәсілді көрсету керек.
Тізбекті көбінесе тізбектің n – ші мүшесінің формуласы арқылы береді. Мысалы, жұп оң сандардың тізбегін а = 2n, алымы 1 – ге тең дұрыс бөлшектер тізбегін Вn = 1/ 1 + n формуласымен беруге болады. Басқа мысалдар келтірейік.
1. Мысал. Тізбек у = n - 3n формуласымен n берілген болсын n – нің орнына 1, 2, 3, 4, 5 ... натурал сандарын қойып, мынаны шығарып аламыз:
у = - 2; у = - 2; у = 0; у = 4; у = 10; ...
Қарастырып отырған тізбек былай басталады:
- 2; - 2; 0; 4; 10; ...
2 – мысал. Тізбек Х = (- 1) · 10 формуласымен берілген болсын. Осы тізбектің тақ нөмірлі барлық мүшелері – 10 – ға, ал жұп нөмірлі мүшелері 10 – ға тең:
х = - 10, х = 10, х = - 10, х = 10.
Мына тізбекті аламыз
- 10; 10; - 10; 10; - 10; ...
3 – мысал.
(С ) = 5 формуласымен барлықмүшесі 5 – ке тең тізбек былай жазылады:
5; 5; 5; 5; ...
Тізбектің берілуінің тағы бір тәсілін қарастырайық.
4 – мысал. ( а ) тізбегінің бірінші мүшесі 3 – ке тең, ал әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің квадратына тең болсын ....

XXI- ғасыр ақпараттық қоғамда және өндірістің дамуының негізгі құралы болып ақпараттық ресурстардың қажеттілігі көрінеді. Сондықтан білім беру әлемі де өзінің дамуы үшін жаңа қадамдар жасауда.
Дегенмен алгоритмдік бейімділікті қалыптастырып оқыту жалпы оқу іс-әрекетіне және дамуына әсері қарастырылмаған. Сонымен бастауыш сыныпта оқыту тиімділігін арттыруда, оқу іс-әрекеті мен дамуына алгоритмдік бейімділікті қалыптастырудың айтарлықтай мүмкіндігінің бар болуы мен оның дидактикалық және әдістемелік жағынан қамтамасыз етілмеу салдарынан жеткілікті дәрежеде қолданыс таппай отырғандығы арасында қарама-қайшылық пайда болды.
Алгоритм ұғымы мынадай қасиеттермен сипатталады :
1) бастапқы бөлімдері болады,
2) атқарушы ұғынықты тілі болуы тиіс,
3) әмірлердің бір-бірінен айқын ажыратылған қадамдары берілуі шарт,
4) соңғы әмір нәтижеге жеткізуі тиіс,
5) алгоритмдік нұсқау-ереже бір ғана есепті емес, соған ортақтас есептер жинамының ( класының) баршасына жарамды болуы керек.
Алгоритмдік бейімділік пен машық деп біз оқушылардың алгоритмді құрастыруға, орындауға және қолдануға қажет негізгі іс-әрекетінің қалыптасқан жүйесін айтамыз. Бұл ретте, алгоритмді «алға қойылған мақсатқа жету жолында немесе берілген есепті шешу бағытында біртіндеп, қандай әрекеттер жасау керектігін орындаушыға түсінікті түрде әрі дәл көрсететін жарлық (нұсқау)» деп түсінеміз.
1. Алгоритм ұғымы мен оның қасиеттерін оқушылардың интуициялық деңгейде игеруі. Алгоритмнің — орындаушыға арналған жарлық ретінде берілген түсініктің — жеке-жеке пункттерден тұратынын, оның көмегімен көптеген есептер шешілетінін, көрсетілген амалдар тізбегінің қайталану мүмкіндігі бар екенін оқушы жете түсінуі керек. Сондықтан алынған алгоритмді орындау барысында оның пункттерінің реті, әрбір нұсқауы жазылуында келтірілгендей қатал сақталып, дәлме-дәл орындалуы қажет.
2. Алгоритмнің кейбір жазылу әдіс-тәсілдерін, яғни оның толық жазылуын және көрнекі блок-схема ретінде берілуін білу.
3. Математиканы оқып-үйрену барысында есептеулер схемасын құру, таблицалар толтыру, алгоритмді жазудың формулалық түрін пайдалану.
4. Алгоритмді жазудың бір түрінен екінші түріне көшу.
5.Бастауыш сыныптардан белгілі алгоритмдерді білу және оларды қолдана алу.
6. Бір есептің әр түрлі шешуі болатын бірнеше алгоритмдердің ішінен ең тиімдісін таңдай білу.
7. Бұрыннан белгілі немесе есепті шығару барысында құрастырылған алгоритмді ұқсас есептер шығару үшін пайдалану. ....