В соответствии с концепцией модернизации образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается введение профильного обучения; создание системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.
Процесс реализации профильного обучения определяется следующими основными целями:
• обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;
• создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;
• способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;
• расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования;
• создать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.
Осуществление осознанного выбора профиля обучения учащимися должно обеспечиваться специально организованной предпрофильной подготовкой в девятых классах основной школы. Целью предпрофильной подготовки является создание образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся девятых классов, обоснованному выбору ими дальнейшего пути обучения.
Существенным моментом в организации предпрофильного и профильного обучения является разработка и реализация элективных курсов. Элективные курсы (курсы по выбору, обязательные для посещения учащимися) являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Поскольку создание элективных курсов - важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения, то в связи с этим возникает проблема разработки элективных курсов, удовлетворяющих определенным требованиям. ....

Дипломная работа посвящена изучению вопросов о существовании решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в ограниченной области.
Актуальность исследования краевых задач для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в ограниченной области определяется как потребностями практики в связи с важностью ее приложения к решению разнообразных проблем и задач физики, химии, биологии, радиофизики и электротехники, таки развитием самой теории.
Важное место в теории уравнений с частными производными занимают уравнения второго порядка, возникающие преимущественно в ходе решения физических задач. Одна из задач самых богатых последствиями в ХУIII веке - это задача о колебании струны, исследование которой связано с именами Г.Галилея, М.Мерсенна, Р.Декарта, Х.Гюйгенса, Б.Тейлора, Ж.-Л.Даламбера, Л.Эйлера, Д.Бернулли, Ж.Л.Лагранжа, П.-С.Лапласа.
Исследование по теории линейных дифференциальных уравнений связано с именами Ж.Штурма и М.В.Остроградского, который одновременно с Ж.Лиувиллем (1838) получил важную формулу:

Работы Ж.Штурма и Ж.Лиувилля положили начало исследованиям по теории краевой задачи, носящей их имена и состоящей в решении уравнения

при заданных значениях некоторой линейной комбинации у(х) и в двух точках оси х. Решение этой краевой задачи теснейшим образом связано с теорией интегральных уравнений, а также с теорией разложения функций по фундаментальным функциям.
Систематизация отдельных результатов и построение общей теории гиперболических уравнений началась с работ Ж.Б.Фурье, О.-Л.Коши, С.В.Ковалевской, Г.Дарбу, Э.Гурса, Б.Римана, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамара и др.
Эти классические работы в значительной степени способствовали появлению дальнейших исследований в области гиперболических уравнений. Гиперболические уравнения и системы второго порядка, как линейные, так и нелинейные, были подробно исследованы в работах Р.Куранта, К.Фридрихса, Г.Левитана, И.Шаудера, С.Л.Соболева, И.Г.Петровского, Ж.Лере, Л.Гординга, О.А.Ладыженской, Т.Ш.Кальменова, А.Д.Мышкиса и др. Уравнениям и системам гиперболического типа первого порядка посвящены работы О.А. Олейник, Б .Л.Рожденственской, Н.Н.Яненко и др.
Применение разнообразного математического аппарата к исследованию краевых задач для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в ограниченной области позволило разработать методы их решения и выделить специальные классы разрешимых задач. К настоящему времени получены важные результаты по различным методам решения краевых задач для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в ограниченной области, накоплен большой опыт, позволяющий судить о достоинствах и применимости тех или иных методов.....

На отрезке [a,b] рассматривается линейная двухточечная краевая задача
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=f(t) (1.1.1)
y(a)=y^0, y(b)=y^1, (1.1.2)
где q_1 (t),q_2 (t),f(t) непрерывны на отрезке [a,b].y^0,y^1- заданные числа.
Целью являются: а) выяснение необходимых и достойных условий однозначной разрешимости задачи (1.1.1), (1.1.2); б) построение функции Грина; в) нахождение решений.
Решением задачи (1.1.1),(1.1.2) будет непрерывная, дважды дифференцируемая функция удовлетворяющая уравнению (1.1.1) и краевым условиям (1.1.2).
В дальнейшем будет показано, что для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1.1.1) достаточно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=0 (1.1.3)
Начнем с общей теории линейных уравнений второго порядка с изучения однородных линейных уравнений (1.1.3).
Мы должны найти вещественные решения уравнения (1.1.3). Как мы знаем, для решения этой задачи иногда оказывается выгодно сначала найти некоторые комплексные решения.
Прежде чем дать понятие о комплексном решении уравнения (1.1.3) дадим определение комплексной функции вещественной переменной
Функцию
z(t)=u(t)+iu(t),
где u(t) и ϑ(t) - вещественные функции от вещественной переменной t,a i=√(-1) будем называть комплексной функцией от вещественной переменной t. Функции u(t) и ϑ(t) называются вещественной и мнимой частями комплексной функции z(t). Примером такой функции является:
e^it=cost+isint,
Или функция общего вида e^αt,где α=a+ib, причем a и b – вещественные:
e^αt=e^(a+it)t=e^at∙ e^ibt=e^at (cosbt+isinbt)=e^at cosbt+〖ie〗^at sinbt....

На [a,b] рассматривается линейная двухточечная краевая задача
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=f(t) (1.1)
y(a)=y^0, y(b)=y^1, (1.2)
где q_1 (t),q_2 (t),f(t) непрерывны на [a,b].y^0,y^1- заданные числа.
Целью работы являются: а)выяснение необходимых и достойных условий однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2); б)построение функции Грина; в)нахождение решений.
Решением задачи (1.1),(1.2) будет непрерывная, дважды дифференцируемая функция удовлетворяющая уравнению (1.1) и краевым условиям (1.2).
В дальнейшем будет показано, что для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1.1) достаточно уметь найти общее решение соответствующего однородного уравнения
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=0 (1.3)
Начнем изложение общей теории линейных уравнений второго порядка с изучения однородных линейных уравнений (1.3).

§1.Однородное линейное уравнение второго порядка
Мы должны найти все вещественные решения уравнения (1.3). Как известно, для решения этой задачи иногда оказывается выгодно сначала найти некоторые комплексные решения.
Прежде чем дать понятие о комплексном решении уравнения (1.3) дадим определение комплексной функции вещественной переменной.
Функцию
z(t)=u(t)+iu(t),
где u(t) и ϑ(t) - вещественные функции от вещественной переменной t,a i=√(-1) будем называть комплексной функцией от вещественной переменной t. Функции u(t) и ϑ(t) называются соответственно вещественной и мнимой частями комплексной функции z(t). Примером такой функции является
e^it=cost+isint,
Или функция более общего вида e^αt,где α=a+ib, причем a и b – вещественные:
e^αt=e^(a+it)t=e^at∙ e^ibt=e^at (cosbt+isinbt)=e^at cosbt+〖ie〗^at sinbt
Производная n-го порядка от функции z(t) по вещественной переменной t определяется так:
z^((n) ) (t)=u^((n) ) (t)+〖iϑ〗^((n) ) (t)
Дадим теперь понятие о комплексном решении уравнения (1.3). Комплексная функция от вещественной переменной t
y(t) 〖=y〗_1 (t)+〖iy〗_2 (t) (1.4)
называется комплексным решением однородного линейного уравнения (1.3), если подстановка ее в уравнение (1.3) обращает это уравнение в тождество, т.е. если
d^2/〖dt〗^2 (y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_1 (t) d/dt (y_2 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_2 (t)(y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))≡0 (1.5)
Покажем, что всякое решение уравнения (1.3) порождает два вещественных решения этого уравнения, а именно: если комплексная функция y(t) является решением уравнения (1.3), то ее вещественная и мнимая части являются вещественными решениями этого уравнения.....

С дифференциальными уравнениями в частных производных и интегральными уравнениями приходятся встречаться в самых разнообразных областях естествознания, причем получить их решение в явном виде, в виде конечной формулы, удается только в самых простейших случаях.
В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений или, как часто говорят, задач математической физики.
Важное место в теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа занимает метод сеток, возникающее преимущественно в ходе решения физических задач. Исследование таких задач связано с именами Волкова Е. А. [8], Мамедова Я. Д., Рябенькова В. С. и Филиппова Ф. А. [19], Березина И. С. и Жидкова Н. П. [5], Самарского А. А. [21].
В данной дипломной работе рассмотрены некоторые наиболее распространенные методы решения задач математической физики. В основном это методы решения задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными эллиптического типа и вопросы сходимости и устойчивости разностных схем для уравнений эллиптического типа на примере задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенные методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных можно разбить на две группы:
1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме, например в виде отрезка некоторого ряда, и
2) методы, с помощью которых можно получить таблицу приближенных значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области, - численные методы.
К первой группе относится прежде всего метод Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, при применении которого точное решение получается в виде некоторого ряда, а за приближенное решение может быть принята сумма некоторого числа первых его членов.
Наиболее широко распространенным методом численного решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей, а также метод характеристик решения уравнений, который в сущности также является конечноразностным методом, только в этом методе дифференциальное уравнение в частных производных предварительно сводится к эквивалентной ей системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая и решается разностным методом [26]. Описанию метода сеток для решения некоторых задач математической физики в основном и посвящена данная дипломная работа.....