Поперечники связанные с решениями нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля

Содержание
Введение……………………………………………………………………
Глава 1. Основные понятия и определения…………………………………..
1.1. Линейные пространства………………………………………………...
1.2. Пространство непрерывных функций. Пространства С[a, b], Lp……
1.3. Гильбертово пространства……………………………………………..
1.4. Нормированные пространства…………………………………………
1.5. Основные понятия и аксиомы метрического пространства.................
1.6. Банаховы пространства…………………………………………………
1.7. Пространства Соболева…………………………………………………
1.8. Компактные множества…………………………………………………
1.9. Линейные операторы и линейные функционалы…………………….
1.10. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора………………………
1.11. Сопряженные операторы……………………………………………….
1.12. Эрмитовы операторы……………………………………………………………
1.13. Компактные операторы…………………………………………………
1.14. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента........................
1.15. Липшицево отображение……………………………………………….
1.16. Неравенство Коши. Неравенство Коши-Буняковского………………
1.17. Поперечники по Колмогорову…………………………………………
Глава 2. Поперечники, связанные с решениями нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля……………………………………..……………………….
2.1. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения……………
2.2. Краевые задачи………………………………………………………….
2.3. Теорема Шаудера о неподвижных точках (Принцип Шаудера)…….
2.4. Задача Штурма-Лиувилля………………………………………………
2.5. Нелинейные уравнения Штурма-Лиувилля…………………………..
Заключение…………………………………………………………………
Список литературы………..…………………………………………….
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ


1.1. Линейные пространства


Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:
I. Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем
1) ;
2) ;
3) в существует такой элемент 0, что для всех ;
4) для каждого существует такой элемент , что .
II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;

Примеры линейных пространств:
1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.
2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел , удовлетворяющих условию с операциями ,

1.2 Пространство непрерывных функций. Пространства С[a, b], Lp


Рассмотрим совокупность всех непрерывных вещественных функций на [a, b]. Для каждых двух таких функций: , — положим
.
– метрика. Действительно, выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. А так как для любого

то и

т.е. выполнено и неравенство треугольника

Метрическое пространство, образуемое рассматриваемой совокупностью функций с веденной в ней метрикой , обозначается согласно Чебышеву, который пользовался этой метрикой, через и называется пространством непрерывных функций. Метрика пространства С называется чебышевской или равномерной.
Покажем, что C [a, b] – полное метрическое пространство. Пусть ( ) – фундаментальная последовательность, т.е. > 0 > и
< ε.
Поэтому для каждого фиксированного имеем:
< ε при > . (i)
Тем самым (xn(t)) для каждого – числовая фундаментальная последовательность. Следовательно, согласно критерию Коши (xn(t)) в каждой точке сходится к некоторому пределу x(t). Фиксируя n в неравенстве (i) и переходя к пределу при ∞, получаем:
> 0 >
т.е. сходимость оказывается равномерной на [a, b]. Раз последовательность непрерывных функций xn(t) сходится к x(t) равномерно, то согласно известной теореме анализа x(t)– непрерывная функция. Полнота этим доказана. Отметим еще следующее. Так как по известной теореме Вейерштрасса всякую непрерывную функцию на [a, b] можно приблизить многочленами с рациональными коэффициентами, а множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно, то сепарабельно. Оно линейно относительно обычной операции сложения:

И умножения на скаляры из поля R или C. Введем теперь норму, полагая

Выполнение аксиом нормы легко проверяется. Например, для всех и имеем:
1)
2)
3) , ибо для любого

откуда

Таким образом, пространство – банахово.
Пространство Лебега Lp (p ≥ 1). Пусть G – измеримое множество в s-мерно евклидовом пространстве. Будем рассматривать всевозможные вещественные или комплексные функции на G, суммируемые по Лебегу со степенью р, и введем обычные действия сложения функций и умножения функции на вещественные(соответственно комплексные) числа. Тогда получим вещественное (соответственно комплексное) линейное пространство. Действительно, если x(t) и у(t) суммируемы со степенью р, то их сумма также суммируема на G со степенью р, ибо она измерима и
, (1.2.1)
что вытекает из неравенства
при
Положим теперь
(1.2.2)
Из (1.2.2) следует:
1) . Нуль пространства Lp есть функция, равная нулю почти всюду на G. В теории интеграла принято, что функции, отличающиеся друг от друга лишь на множестве меры нуль, считаются эквивалентными, поэтому Ясно также, что
2) Третье свойство нормы есть здесь не что иное, как неравенство Минковского:

Отметим еще неравенство Гельдера:

где р > 1,
Аналогичные неравенства справедливы для сумм. Именно, если р > 1 и числовые последовательности (xk), (yk) удовлетворяют условиям
< + ∞, < + ∞,
то справедливо неравенство Минковского
(1.2.3)
и неравенство Гельдера
, .
Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормированным с нормой (1.2.2). Оно называется пространством Лебега и обозначается через Lp или Lp.




1.3. Гильбертово пространство


Евклидово пространство Rn выделяется из всех конечномерных пространств тем, что в нем определено скалярное проивеведение, связанное с нормой простым соотношением: квадрат нормы элемента есть скалярное произведение элемента самого на себя.
В связи с этим целесообразно рассматривать такие пространства, в которых определено «скалярное произведение», а норма вводится указанным выше образом.
Комплексное векторное пространство Н называется пространством со скалярным произведением, если для каждой пары элементов х, у Н определено скалярное произведение (х, у) на комплексное число, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1) (у, х) = ;
2) (λ х1 + μ х2, у) = λ(х1, у) + μ (х2, у);
3) (х, х) ≥ 0, (х, х) = 0 равносильно х = 0.
Из определения пространства со скалярным произведением вытекает:
а) (х, λу1+ μу2) = (х, у1) + (х, у2)
(аксиомы 1) в 2)).
б) (х, о) = (0, у) = 0.
Действительно, (х, 0 - у) = 0 - (х, у) = 0.
с) (х, х)(у, у) (неравенство Коши—Буняковского). Для доказательства этого предложения рассмотрим выражение
(х + λ у, х + λ у)=(х, х) + λ (х, у) + λ (у, х) + (у, у).
По аксиоме 3) это выражение неотрицательно, каково бы ни было число λ. Предполагая, что (у, у) > 0, положим λ = – (х, у)/(у,у). На основании сказанного

т.е. (х, х) (у, у) – , что и требовалось доказать.
Если в пространстве Н со скалярным произведением положить
Н) (1.3.1)

то Н становится нормированным пространством. Действительно, из аксиом нормированного пространства только неравенство треугольника не вытекает непосредственно из определения Н. Докажем его. Пусть х, у Н. Используя неравенство Коши — Буняковского, будем иметь

Нормированное пространство Н называется унитарным, если в нем можно ввести скалярное произведение, связанное с нормой соотношением (1.3.1).
Основной интерес представляет полное унитарное пространство. Такое пространство называется гильбертовым (по имени немецкого математики Д.Гильберта).
Гильбертово пространство является непосредственным обобщением евклидова пространства, поэтому его «геометрия» ближе, чем в случае любого другого В-пространства, подходит к евклидовой геометрии. Гильбертово пространство обладает многими такими свойствами евклидова пространства, которыми В-пространства общего вида не обладают. Это обстоятельство позволило развить функциональный анализ на основе гильбертова пространства гораздо шире и полнее, чем на основе общих нормированных пространств, благодаря чему теория гильбертова пространства выделилась в большую самостоятельную ветвь функционального анализа со своими результатами и методами, не укладывающимися в рамки общего функционального анализа. В связи с этим гильбертово пространство служит, как правило, лишь для иллюстрации фактов, относящихся к общей теории.

Примеры гильбертовых пространств:
Конкретным примером гильбертова пространства является пространство l2. Скалярное произведение в нем определяется равенством
(х, у) =
Норма, определенная согласно (1.3.1) через скалярное произведение
,
Более общим образом, пусть ( Т, ∑, μ ) — пространство с мерой L2 ( Т, ∑, μ ) становится гильбертовым пространством, если
положить
(х, у) = .
Норма в L2 совпадает с нормой, введенной по формуле (1.3.1). Рассмотрим теперь один частный случай. Пусть функция такова, что φ > 0. Положим
ν(A) =
для всех множеств А, измеримых по Лебегу. Мы обозначим через L (а, b) гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом по мере ν. При этом скалярное произведение определяется, очевидно, по формуле
(х, у) = .
Если φ(t) = 1, то L (а, b) = L (а, b). Пространства l2 и L (а, b) сепарабельны.
Примером несепарабельного гильбертова пространства может служить совокупность Нс функций, определенных на всей числовой прямой и имеющих не более чем счетное множество значений, отличных от нуля. При этом предполагается, что
< ∞.
Скалярное произведение в Нс определим по формуле
(х, у) = .
Если обозначить через хτ элемент Нс:
хτ =
то нетрудно проверить, что = (если τ ≠ τ′ ), откуда вытекает, что Нс не сепарабельно.




1.4. Нормированные пространства


Определение: Множество называется нормированным пространством, если:
1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.
2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия:
а) для любого ;
б) для любого и любого ;
в) , для любых

Примеры нормированных пространств:
1. Пространство становится нормированным, если положить .
2. Пространство с элементами нормировано, при условии .
3. Пространство функций, непрерывных на отрезке , нормировано, если взять .


1.5. Основные понятия и аксиомы метрического пространства


Метрическим пространством называется пара (Е, ρ), где Е – некоторое множество и ρ(х, у) – вещественная функция, удовлетворяющая для всех х, у, z Е следующим условиям (аксиомам):
1. ρ(х, у) ≥ 0 и ρ(х, у) = 0 х = у;
2. (аксиома симметрии) ρ(у, х) = ρ(х, у);
3. (аксиома треугольника) ρ(х, у) ≤ ρ(х, z) + ρ(z, у).
Функция ρ называется расстоянием или метрикой на Е. Разумеется, если наделить множество Е другим расстоянием ρ1, то получим другое метрическое пространство. Поэтому пишут: (Е, ρ1).....