Планиметрия есептері.Үшбұрыш биссектрисы,медианасы,биіктігі және орта сызығы

Реферат

Тақырыбы: Планиметрия есептері.Үшбұрыш биссектрисы,медианасы,биіктігі және орта сызығы

Орындаған:

Тексерген:

2024 жыл

Жоспар:

• Кіріспе
• Негізгі бөлім.
• Үшбұрыш биссектрисасы
• Медиана
• Биіктігі
• Орта сызығы
• Қорытынды
• Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

 Планиметриядағы үшбұрыштың биссектрисы, медианасы, биіктігі және орта сызығына қатысты бірнеше маңызды қасиеттер мен формулалар бар. Осы элементтердің әрқайсысын қарастырайық:

 1. Биссектриса

 Биссектриса – үшбұрыштың бір төбесінен шығып, қарама-қарсы қабырғаны екі бөлікке тең бөледі.

 Биссектриса (лат. bіs — екі қайтара, екі рет және seco — қиып өтемін, бөлемін) — бұрыштың төбесі арқылы өтетін және оны қақ бөлетін түзу сызық. Биссектрисаның әрбір нүктесі бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады, яғни бұрыштың биссектрисасы оның симметрия осі болады. Үшбұрыштың бір бұрышының төбесінен оған қарсы жатқан қабырғаға дейін жүргізілген түзу сызық кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады. Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде — осы үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелектің центрінде қиылысады.

 Төмендегі суреттегі BR кесіндісі, B төбесінен түсірілген үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады:

 BR биссектрисасы B төбені және осы төбеге қарсы жатқан қабырғаны қосады. Және бұл кесінді B төбеден түсірілген биссектрисаның бойында жатады.

 Үшбұрыштың биссектрисасының аңықтамасы

 Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген биссектрисаның бойында жататын, және бұл төбеге қарсы жатқан қабырғаны осы төбемен қосатын кесінді үшбұрыштың биссектрисасы деп аталады.

 Үшбұрышта үш төбе бар, әрбір төбе арқылы бір биссектрисаны жүргізуге болады, соңдықтан үшбұрышта үш биссектрисса бар болады.

 2. Медиана

 Медиана – үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғаның ортасына дейін жүргізілетін кесінді.

 Медиана (лат. medіana — орта) — геометрияда үшбұрыштың бір төбесін оған қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны кейде үшбұрыштың ауырлық центрі деп те атайды, өйткені біртекті үшбұрышты пластинканың ауырлық центрі (сондай-ақ үшбұрыштың төбелерінде орналасқан үш бірдей масса жүйесінің ауырлық центрі де) осы нүктеде жатады.

 Теорема:

 Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, және сол нүкте оны төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөледі.

 Дәлелдеуі: Кез-келген АВС үшбұрышы қарастырылады. Оның АА1 және ВВ1медианаларының қиылысу нүктесі О деп белгіленіп, үшбұрыштың А1В1 орта сызығы жүргізілді, себебі А1В1 үшбұрыштың 2 қабырғасының ортасы арқылы өтеді (төмендегі сурет қара).

 Сойтіп, А1В1 мен АВ параллель, және ВВ1қиюшы түзу бойынша 3 және 4 - айқас бұрыштар тең, ал АА1 қиюшы түзу бойынша 1 және 2 - айқас бұрыштары тең . Осылайша АОВ және А1ОВ1 үшбұрыштары ─ бұрыш бойынша ұқсас үшбұрыштар, яғни олардың қабырғалары проапорционал: АО : А1О = ВО : В1О= АВ : А1В1. Алайда, АВ = 2А1В1, сондықтан АО = 2А1О және ВО = 2В1О. Осылайша, қиылысу О нүктесі АА1 және ВВ1медианаларын төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөледі. ВВ1 және СС1медианаларының қиылысу нүктесі олардың әрқайсын төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөлетіні және осы нүкте О нүктесімен сәйкес келетіні, яғни беттесетіні ұқсас түрде дәлелденеді. Сонымен, үшбұрыштың барлық 3 медианалары бір нүктеде қиылысады, және сол нүкте оны төбесінен бастап 2:1 қатынаста бөледі. 

 Медианалардың қиылысу нүктесі әрбір медиананы екі сегментке бөледі. Төбеден қиылысу нүктесіне дейінгі кесінді премедиан деп аталады, ал қиылысу нүктесінен қарама-қарсы жаққа кесінді постмедиан деп аталады. Атап айтқанда, кез келген үшбұрышта премедианның постмедианға қатынасы екіге тең деп айта аламыз.

 Үшбұрыштың барлық үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны үшбұрыштың центриді немесе ауырлық центрі деп атайды және осы нүкте арқылы төбесінен есептегенде 2:1 қатынасында екі бөлікке бөлінеді.

 Тең қабырғалы үшбұрыштың медианаларының қасиеттері

 Тең қабырғалы үшбұрышта үшбұрыштың тең қабырғаларына жүргізілген екі медиана тең, ал үшінші медиана биссектриса және биіктік болып табылады. Керісінше де дұрыс: егер үшбұрыштың екі медианасы тең болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы, ал үшінші медиана әрі биссектриса және оның төбесіндегі бұрыштың биіктігі болады.

 Тең бүйірлі үшбұрышта барлық үш медиана тең.

 Тоғыз нүктелі шеңбер үшін Эйлер теоремасы: ерікті үшбұрыштың үш биіктігінің табандары, оның үш қабырғасының ортаңғы нүктелері (оның медианаларының табандары) және оның төбелерін ортоцентрге қосатын үш кесіндінің ортаңғы нүктелері барлығы бірдей шеңбер (тоғыз нүктелі шеңбер деп аталады).

 Үшбұрыштың кез келген екі медианасының табандары арқылы жүргізілген кесінді оның орта сызығы болып табылады. Үшбұрыштың орта сызығы әрқашан оның ортақ нүктелері жоқ үшбұрыштың қабырғасына параллель болады.

 Қорытынды (параллель кесінділер туралы Талес теоремасы). Үшбұрыштың орта сызығы үшбұрыштың параллель болатын қабырғасының ұзындығының жартысына тең.

 Теркем Теркем теоремасын дәлелдеді. Онда тоғыз нүктеден тұратын шеңбер үшбұрыштың қабырғаларын немесе олардың созылуларын 3 жұп севиандардың табандары болып табылатын 3 жұп нүктеде (тиісінше биіктіктердің 3 табанында және медианаларында) қиып өтсе, онда 3 цевиан болса, Осы негіздердің 3-і 1 нүктеде қиылысады (мысалы, 3 медиана 1 нүктеде қиылысады), содан кейін басқа 3 негіз үшін 3 цевиан да 1 нүктеде қиылысады (яғни, 3 биіктік те 1 нүктеде қиылысуы керек).

 Басқа қасиеттер:

 Егер үшбұрыш масштабты болса (тең бүйірлі), онда оның кез келген төбесінен алынған биссектрисасы сол төбеден түсірілген медиана мен биіктіктің арасында жатыр.

 Медиана үшбұрышты екі тең (ауданы бойынша) үшбұрышқа бөледі.

 Медиана медиана жүргізілген жағына параллель кез келген кесіндіні екіге бөледі.

 Үшбұрыш үш медианаға тең алты үшбұрышқа бөлінген. Осы алты үшбұрыштың шеңбер центрі бір шеңберде жатыр, оны Ламун шеңбері деп атайды.

 Медианаларды құрайтын кесінділерден ауданы бүкіл үшбұрыштың 3/4 бөлігіне тең болатын үшбұрыш жасауға болады. Медианалардың ұзындықтары үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандырады.

 Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрышы бар төбеден жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең.

 Үшбұрыштың үлкен жағы кіші медианаға сәйкес келеді.

 Ішкі биссектрисаға қатысты ішкі медианаға симметриялы немесе изогональды конъюгацияланған түзу кесінді үшбұрыштың симмедианы деп аталады. Бір нүкте – Лемуан нүктесі арқылы үш симмедиан өтеді.

 Үшбұрыштың бұрышының медианасы өзіне изотомиялық конъюгацияланады.

 Центроидтың үшсызықты поляры (үш медиананың қиылысу нүктелері) шексіздіктегі түзу болып табылады.

 Медиананың қасиеттері:

 МЕДИАНДЫҚ ҚАСИЕТТЕР

 1-ҚАСИЕТ (НЕГІЗГІ)

 Өйткені үшбұрыштың үш төбесі және үш қабырғасы болса, сәйкесінше үш медиана болады. Олардың барлығы бір нүктеде қиылысадыO) деп аталады центроид or үшбұрыштың ауырлық центрі.

 Медианалардың қиылысу нүктесінде олардың әрқайсысы жоғарыдан есептегенде 2: 1 қатынасында бөлінеді:

•  AO = 2OE
•  BO = 2OF
•  CO = 2OD

 2 ҚАСИЕТІ

 Медиана үшбұрышты ауданы бірдей 2 үшбұрышқа бөледі.

 S₁ = С.₂

 3 ҚАСИЕТІ

 Үш медиана үшбұрышты ауданы бірдей 6 үшбұрышқа бөледі.

 S₁ = С.₂ = С.₃ = С.₄ = С.₅ = С.₆

 4 ҚАСИЕТІ

 Ең кіші медиана үшбұрыштың ең үлкен қабырғасына сәйкес келеді және керісінше.

•  AC ең ұзын жағы, демек, медиана BF - ең қысқа.
•  AB ең қысқа жағы, демек, медиана CD– ең ұзын.

 5 ҚАСИЕТІ

 Біз үшбұрыштың барлық қабырғаларын білеміз делік (оларды деп алайық a, b и c).

 орташа ұзындық m_aжағына тартылады a, формула бойынша табуға болады:

 3. Биіктік

 Үшбұрыштың биіктігі — үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғасы арқылы өтетін түзуге түсірлген перпендикуляр

 Мына суретте B төбесінен түсірілген BD биіктігі көрсетілген:

 Суреттегі үшінші үшбұрышта биіктік қабырға боп тұр. Себебі B төбесіне қарсы жатқан бұрыш тік бұрыш (90⁰).

 Үшбұрыштың үш төбесі бар, бұл төбелерден үшбұрыштың үш биіктігін жүргізе аламыз. Яғни үшбұрыштың үш биіктігі бар болады.

 4. Орта сызығы

 Орта сызық – үшбұрыштың екі қабырғасының орта нүктелерін қосатын кесінді.

 Орта сызық – 1) үшбұрыштың Орта сызықты – үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын кесінді (үшінші қабырғасы табаны деп аталады). Үшбұрыштың Орта сызықты табанына параллель және оның жартысына тең; Орта сызық арқылы бөлінген үшбұрыш бөліктерінің ауданы1:3 қатынасындай болады; 2) трапецияныңОрта сызықты – оның бүйір қабырғаларының ортасын қосатын кесінді. Ол трапецияның табандарына параллель және олардың қосындыларының жартысына тең.

 Осы қасиеттер мен формулалар үшбұрыштың ішкі құрылымын жақсы түсінуге және планиметрия есептерін шығаруға көмектеседі.

 Қорытынды:

 Қорыта келе, үшбұрыштың биссектрисы, медианасы, биіктігі және орта сызығы әртүрлі геометриялық қасиеттері мен формулалары арқылы анықталады және әрқайсысының өзіндік ерекшеліктері бар.

 1. Биссектриса бұрыштарды тең екіге бөледі және үшбұрыштың қарсы қабырғаларын белгілі қатынаста бөледі.

 2. Медиана үшбұрышты екі тең ауданға бөліп, ауырлық орталығында қиылысады.

 3. Биіктік үшбұрыштың төбесінен оның қарсы қабырғасына перпендикуляр түсіріледі және ортоцентрде қиылысады.

 4. Орта сызығы үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосып, үшінші қабырғаға параллель болады және оның жартысына тең.

 Бұл элементтер үшбұрыштарды зерттеуде және есептерді шығаруда негізгі құралдар болып табылады, себебі олар үшбұрыштың ішкі құрылымын түсінуге және оны сипаттауға мүмкіндік береді. Әрбір элементтің формулалары мен қасиеттерін білу және қолдану үшбұрыштың геометриясын тереңірек түсінуге көмектеседі.

 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

• https://kk.healthy-food-near-me.com/what-is-the-middle-line-of-a-triangle/
• https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%B0_%D1%81%D1%8B%D0%B7%D1%8B%D2%9B
• https://esepter.com/unit/121
• https://kk.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D1%88%D0%B1%D2%B1%D1%80%D1%8B%D1%88_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%8B
• https://kk.m.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D1%88%D0%B1%D2%B1%D1%80%D1%8B%D1%88%D1%82%D1%8B%D2%A3_%D0%B1%D0%B8%D1%96%D0%BA%D1%82%D1%96%D0%B3%D1%96