Математика | Көрсеткіштік теңдеу және оның қолданылуы

Мақсаты:Көрсеткіштік теңдеулерді шешуді тиімді жодарын қарастыру және ғылымның басқа салаларында қолданылуын зерттеу.
Өзектілігі:Көрсеткіштік теңдеулерді шешу әдістерін басқа пән есептерінде қолданылуын және өмірде кездесетін құбылыстармен байланыстыру.
Есептеу тәсілдерін жетілдіру XVII ғасырдың өзекті мәселелерінің бірі болып табылды. Сол кездердегі сауда жасау географиясын одан әрі кеңейту үшін Англия, Франция, Голландия сияқты мемлекеттерге қарапайым есептеулер жүргізетін инженерлер мен «арифметиктерге» деген үлкен сұраныс болды. Көрсеткіштік функция мен логарифмді ойлап табу – есептеу техникасының үлкен жетістігі болып саналды.
Көрсеткіштік функция ұғымы XVII ғасырдың соңында пайда болды. Осы көрсеткіштік функция бағытында үлкен жетістіктерге қол жеткізген және осы ұғымды алғаш енгізген шотландық ғалым Джон Непер.
Көрсеткіштік функция және оның қасиеттері
Анықтама. түрінде берілген теңдеу көрсеткіштік функция деп аталады. Мұндағы -саны негіз деп аталады, ол әр уақытта , яғни оң сан және болуы шарт.
Енді кезекте көрсеткіштік функцияның қасиетіне тоқталып өтейік
1. Функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, яғни .
2. Функцияның мәндерінің облысы барлық оң нақты сандар жиыны, яғни .
3. Егер болса, онда функциясы барлық нақты сандар жиынында өседі, яғни бірсарынды өспелі.
4. Егер болса, онда функциясы барлық нақты сандар жиынында кемиді, яғни бірсарынды кемімелі.
Осы көрсеткіштік функция мен оның қасиеттерін пайдалана отырып көрсеткіштік теңдеу ұғымына тоқталайық.

Көрсеткіштік теңдеу және оларды шешу әдістері
Анықтама. Белгісіз шамасы дәреже көрсеткішінде болатын теңдеуді көрсеткіштік теңдеу деп атаймыз. Оның жалпы түрі .
Мұндағы -саны негіз деп аталды, ол және болуы шарт.
Көрсеткіштік теңдеулер төрт әдіспен шығарылады.
1) бірдей негізге келтіру әдісі;
2) ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару әдісі;
3) жаңа белгісіз енгізу әдісі, яғни квадрат теңдеуге келтіру.
4) графиктік тәсіл.
Бұл әдістерді біз көрсеткіштік теңдеудің түріне қарап қолданамыз. Осы әдістердің ішінде ең маңызды әдіс бірдей негізге келтіру әдісі. Себебі қалған үш әдіспен қандай да бір көрсеткіштік теңдеулерді шешетін болсақ, ол соңында бірдей негізге келтіру арқылы шығарылады.
Мен бұл жұмысымда көрсеткіштік теңдеулерді шешудің тиімді жолдарын, көрсеткіштік функция формуласын қорытып шығару жолын, сонымен қатар көрсеткіштік функция мен теңдеулердің кейбір пәндерде де қолдануғажәне күнделікті өмірде кездестіруге болатынын зерттеп келемін.
Мысалы химия және физика есептерін шешу үшін көрсеткіштік теңдеуді қолдануға болады.
Химияда көрсеткіштік теңдеу Вант-Гоффтың ережесі арқылы кинетикалық химия есептерін шешу үшінқолданылады.
Вант-Гофф Якоб Хендрик (1852-1911) – стереохимия және физикалық химияның негізін салушынидерландық ғалым, Нобель силығының лауреаты.
Вант-Гофф ережесі: Температураны әр 10°С-қа көтергенде реакцияның жылдамдығы орташа 2-4 есеге көбейеді.

Мұндағы,
- ысытылған немесе суытылған жүйенің жылдамдығы,
- бастапқы жылдамдық,
- Вант-Гоффтың температура коэффиценті,
t – температура.
Мысалы:Бастапқы жағдайда кейбір химиялық реакциялар 5 моль/(л*с) жылдамдықпен жүріп өтеді. Температураны 45°С-қа дейін көтергенде ол 45 моль/(л*с)жылдамдықпен жүріп өтеді. Берілген реакция үшін Вант-Гоффтың температура коэффиценті 3-ке тең болғандағы бастапқы температура неге тең?

Берілгені:
 = 3
1 = 5 моль/(л•с)
t2 = 45С
2 = 45 моль/(л•с)
t1 - ?
Шешуі:

t = t2 – t1





t1 = 25С
Жауабы: 25С.



Күнделікті өмірде көрсеткіштік функциямен кездесетін мысалдарды және оның іс-жүзінде қолдану аясын қарастырып көрейік.
Мысалы.
1. Ағаштың өсуі заңына сәйкес жүзеге асырылады. Мұндағы,
А – ағаш мөлшерінің уақытқа байланысты өзгеруі.
А0 – ағаштың бастапқы мөлшері
t –уақыт
k, a – кейбір тұрақтылар.
2. Ауа қысымы жоғарыдан заңына сәйкес кемиді.
Мұндағы,
Р – һ биіктігіндегі қысым,
Р0 – теңіз деңгейіндегі қысым
а – тұрақты.
3. Бактерия мөлшерінің көбеюі заңына сәйкес жүреді.
Мұндағы,
N – tуақытындағы бактерия каллонияларының саны,
t – көбею уақыты.
Бұл органикалық көбею заңы: қолайлы жағдайда тірі ағзалар көрсеткіштік функция немесе көрсеткіштік теңдеу заңына сәйкес өзгереді.
Мысалы: Бір шыбын бір жазда шамасындай ұрпақтарын дүниеге әкеле алады. Олардың жалпы салмағы бірнеше миллион тоннаны құрар еді. Ал екі шыбын ұрпақтарының салмағын есептейтін болсақ, ол біздің планетамыздың салмағынан асып кетіп, сөйтіп олар үлкен кеңістікті толтырар еді. Егер олардан тізбек құратын болсақ, тізбектің ұзындығы Жер және Күн қашықтығынан да ұзын болар еді. Мұндай жағдайда біздің планетамыз мұнша салмақты көтере алмас еді.
Алайда, жер бетінде шыбыннан басқа көптеген жәндіктер мен өсімдіктер тіршілік етеді, олардың көбі шыбындардың табиғи жауы болып табылады, сол себепті шыбындардың саны жоғарыда айтылған мәндерге дейін жете алмайды.
Осы сияқты түрлі микроағзалар және бактериялар, ашытқы саңырауқұлақтары және ферменттердің өсуі және көбеюі – барлық осы процестер заңына бағынады.
Бұл заңдылықтар теңелу процестері деп аталады. Көрсеткіштік функция немесе теңдеу заңдылығымен өзгеретін процестерді оыслай атайды.
Келтірілген мысалдардағы процестер органикалық өсу процесіне жатады. Органикалық өсу процесін сипаттайтын айнымалылардың физикалық мағынасынан ауытқып, оларды х және у әріптерімен белгілесек, онда кез келген органикалық өсу мына функцияны береді. .....