Пирамиданың қасиеттері

Пирамида
мұндағы Sтаб- табанының ауданы, H -биіктігі.
Толық беті Sт.б=Sб+Sтаб, Sб – бүйір бетінің ауданы , Sтаб– табанының ауданы.
Қиық пирамида көлемі

мұндағы S1 , S2 – қиық пирамиданың табанының аудандары, H -биіктігі.
.
Қиық пирамида толық беті Sт=Sб+S1+S2 ,мұндағы Sб - қиық пирамиданың бүйір бетінің ауданы, S1 , S2 - қиық пирамиданың табанының аудандары.
1.Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса:
а) барлық бүйір жақтары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды;
б) барлық бүйір жақтарының апофемасының ұзындықтары бірдей; Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына іштей сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
2. Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса:
а) барлық бүйір қырлары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды;
б) барлық бүйір қырлары ұзындықтары бірдей;
Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына сыттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
3.Егер үшжақты бұрыштың, екі сүйір жазық бұрышы тең болса, онда олардың ортақ қабырғаларының проекциясы үшінші жазық бұрыштың биссектрисасы болады.
4. Егер пирамиданың табаны тікбұрышты үшбұрыш болса, онда пирамиданың биіктігінің табаны, табанына сырттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
Мысалдар:
1. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 7 см, табан қабырғасы 8см. Бүйір қабырғасын табыңыз.
Берілгені: SABCD - дұрыс төртбұрышты пирамида. SO = h = 7 см; AB=BC=CD= =DA=8 см.
Табу керек: l=AS=BS=CS=DS
Шешуі:: ABCD – квадрат
AC2 = AD2 + CD2 = 64 + 64 = 128; AC = =8 ;
∆SOC – тікбұрышты,
l=SC= = = = =9
Жауабы: 9 см.
2.Тікбұрышты параллелепипедтің үш өлшемі берілген; 2см,3см және 6см
Параллелепипед диагоналын табыңыз.
Берілгені: ABCDA1B1C1D1 – тікбұрышты параллелепипед;
a=2 см, b=3 см, с=6 см.
Табу керек: d=D1B
Шешуі:
d2=a2+b2+c2;
d= =7 см,
Жауабы: d=7 см.
3. Пирамиданың табанына параллель жазықтық биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Егер табан ауданы 60м2 болса, қиманың ауданын табыңыз.
Берілгені: ABCDA1B1C1D1 – қиық пирамида,
SO1: O1O = 1:1

(ABCD)||(A1B1C1D1); S=SABCD=60 м2

Табу керек: SA1B1C1D1 =SO1=h; SO=2h
Шешіуі: SO12:SO2=S1:S; = ; S1= =15 м2
Жауабы: S=15 м2
4. Сүйір бұрышы 30о тікбұрышты ұшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центріне ұзындығы 6см биіктік тұрғызылған, үшбұрыш жазықтығына тиісті емес ұшынан үлкен катетке дейінгі қашықтық 10см. Ұшбұрыш гипотенузасын табыңыз.
Берілгені :шеңбер, (центр О), OB=OC=OA=R, ∆ABC – тікбұрышты.
С=90о, B=30o, DO┴S, DO=6 см, DM┴CB, DM=10 см,
Табу керек: AB
Шешуі: Үш перпендикуляр теоремасы бойынша: OM┴CB=>MO||CA. OB=OC=OA=R, онда O – ортасы AB, => MO= ½ AC=R/12, AC=AB*sin 30o=R ∆DOM-тікбұрышты, демек MO2=MD2-OD2=100-36=64, MO=8, AC=16, AB=2AC=32 см.
Жауабы: 32 см.
5. Жазықтықтан тысқары алынған нүкте арқылы, жазықтықпен 30о бұрыш жасайтын екі көлбеу жүргізілген Олардың проекциясы өзара 120о бұрыш жасайды. Егер көлбеу табандарының арасы 60см болса, нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты табыңыз.
Берілгені: MA, MB – көлбеулер, MO┴(α),
MAO= MBO=30o,
AOB=120o, AB=60 см,
Табу керек: MO
Шешуі: ∆AOB – теңбүйірлі, OK┴AB жүргіземіз, сонда
KOB=60o, KBO=30o, KB=60/2=30 см, KB=OB*sin 60o
OB= = = =
∆MOB-тікбұрышты, демек MO=OB tg 30o= * =20 см
Жауабы: ОМ = 20 см.

6. Екіжақты тікбұрыштың арасынан А нүктесі алынған және оның жақтардан арақашықтығы 12см, 16см. Осы нүктеден екіжақтың қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңыз.
Берілгені: ααβ=90о, AB┴β, AB=12 см, AC┴α, AC=16 см, AD┴α
Табу керек: AD
Шешуі: үш перпендикуляр теоремасы бойынша (AD┴ α, DC – проекция => α┴ DC)
∆ADC – тікбұрышты DC = BA=12 см, AC=BD=16 см
AD2=AC2+DC2=162+122=256 + 144=400
Жауабы: AD=20 см
7. Үшжақты бұрыштың екі жазық бұрышы 45о , үшінші жазық бұрышы 60о . Үшінші жазық бұрышқа қарсы жатқан екіжақты бұрышты табыңыз.
Берілгені: үшжақтыSabc, aSb,=45o, bSc=45o, aSc=60o
Табу керек: (aSb) және( cbS) арасындағы бұрышты
Шешуі: Sb қырына жазықтықтардан перпендикулярлар түсіреміз, сонда Sb┴AB, CB┴BS, ∆SAB және ∆SBC –тікбұрышты бір бұрышы 45оболады, демек теңбүйірлі => AB=BC=a=SB, онда SC2=SB2+BC2=a2+a2=2a2. SC=SA= =a , тең бүйірлі ∆ASB – қарастырамыз, төбесіндегі бұрышы ASC=60o, демек ∆ASC – теңқабырғалы, AC=SA= a , онда ∆ABC-дан косинустар теоремасы бойынша:
AC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosABC. Кабырға мәндерін қоямыз 2a=2a2-2a2cosABC, cosABC=0, ABC=90o
Жауабы: ABC=90o
8. Дұрыс үшбұрышты пираиданың биіктігі 40 см, табан қабырғасы 10 см. Табанының бір қабырғасы арқылы өтетін, қарсы қырға перпендикуляр қиманың ауданын табыңыз.
Берілгені: Н=40 см, а=AB=DC=AC=10 см, SO=H, қима ABM ┴SC
Табу керек : SқимAMB
Шешуі: ∆SOB – тікбұрышты, OB=R= = ,
SB= = = = =
теңбүйірлі ∆BSC , ауданын табамыз S∆BSC= h1 BC= h110=5h,
h1= = = =
S∆BSC= 10 = , ∆BSC-дан (мұндағы BM┴SC) BM табамыз
S∆BSC= SC*BM, BM= = =
∆AMB-дан, MP┴AB, PB=5см, MB= , PM= = = 12= , Sқим.= PM*AB= * *10=43
Жауабы: 43(кв.см) ....