Электротехника | Кирхгофтың I заңы электр тізбектерінің теориясы

Кирхгоф заңдары

Электр тізбектерін есептеу үшін Ом заңдарымен қатар Киргхофтың екі заңы қабылданады. Олар энергияның сақталу заңына бағынады. Киргхоф заңдарын пайцдалан отырып, есептейтін тәсілдер арқылы электр тізбектерінің кез-келген түрлерін есептеп шығаруға болады.
Кез-келген бір күрделі электр тізбегін есептеу үшін түйіндер мен тармақтар және контурлар санын білу керек.
Тізбектің түйіні деп үш немесе одан да кқп тармақтардың түйісетін нүктесін айтады. Мысалы, 1-суретте тек ғана «а» нүктесі мен «с» нүктесі түйіндер, ал схемада түйінді «жалпақ» нүктемен белгілейді.
Тармақ дегеніміз екі түйінді қосатын электр тізбегінің бөлігі. Екі түйңн арасында бірнеше тармақ бөлігі болуы мүмкін. Осы бөлік тек бірізді қосылған ЭҚК-нен және кедергілерден тұрады. Және осы бір тармақ бөлігімен бір ғана ток жүреді.
Контур дегеніміз-схеманың тұйықталған бөлігі, оған бірізді жалғасқан бірнеше тармақтардың кіруі мүмкін. Егер контурды, өзіне кірмейтін тармақтардан бөліп қарайтын болсақ, онда ол тармақсыз тізбек деп аталады. 1-суреттердегі тізбекке acda және acba тәуелсіз контурлары бар, көбінесе есептеуге жеңіл болуы үшін осындайц қарапайым контурларды таңдап алады.

1-сурет Тәуелсіз екі контурлы электр тізбегі
Сонымен, Киргхофтың бірінші заңы электр тізбектерінің түйіндеріне жолданылады. Және осы түйіндердегі токтың тепе-теңдігін анықтайды. Яғни, электр тізбегінің түйіндерінде токтардың алгебралық қосындысы нөлге тең:
∑I=0 (1)
Киргхофтың бірінші заңының басқаша анықтамасы былай:
Электр тізбегінің түйініне бағытталған токтардың қосындысы осы түйіннен ағып шығатын токтардың қосындысына тең. Мысалы, 1-сурет үшін:
І=І1+І2
Бұл қосындыда токтар өзінің түйінге қатысты бағытына қарай әртүрлі таңбамен алынады. Бұл заң токтың үздіксіздік принципіне негізделген. Егер қарастырылып отырған тізбектерге ток көзі жалғанса, онда осы ток көзінің тогы да есептелуге тиісті. Тармақтардағы токтардың алгебралық қосындысы (теңдіктің бір жағындағы), ток көзі тогының алгебралық қосындысына тең (теңдіктің басқа бөлігіндегі)
∑I=∑Iк (2)
Мұндағы І-қарастырылып отырған түйінге жалғанған тармақтардағы токтар.
∑I-қарастырылып отырған түйінге жалғанған ток көзі тогы. Келісім бойынша қарастырылып отырған түйінге қарай бағытталған токты оң таңбамен, ал керісінше түйіннен шыққан ток бағытын теріс таңбамен алады. Бұл арада керісінше де болуы мүмкін. Одан есептеу тәсілі өзгермейді. Iк ток көзі тогы қарастырылып отырған түйінге қарай бағытталса, онда теңдікке оң таңбамен кіреді, керісінше түйіннен сыртқа бағытталса, теріс таңбамен жазылады.
Киргхофтың екінші заңы электр тізбегінің контурына қолданылады және осы контурдағы кернеудің тепе-теңдігін білдіреді.
Электр тізбегінің контурындағы ЭКҚ-нің алгебралық қосындысы осы контурдағы кедергілердегі кернеулердің түсулерінің алгебралық қосындысына тең:
∑Е=∑IR (3)
Егер осы қосындылардағы қосылғыштар токтар және ЭКҚ бағыттары контурдың айналу бағытымен сәйкес келсе, оң таңбамен, ал бағытымен сәйкес келмесе, теріс таңбамен алынады.
Киргхофтың екінші заңының басқаша анықтамасы:
Тұйық контур бойындағы тармақ қосқыштарының кернеулерінің алгебралық қосындысы нөлге тең:
∑U=∑0 (4)
Киргхофтың заңдары электр схемасындағы тармақтардағы токтарды табуға болады.
Әр тармақтың өз тогы болатындықтан белгісіз токтың саны схеманың тармақ санына тең. Теңдеулерді құрар алдында:
а) тармақтардағы токтың оң бағытын қалауымызша таңдап алып оны схемада белгілеу қажет;
б) Киргхофтың екінші заңына теңдеулер құоу үшін контурдың айналу бағытын, қалауымызша таңдап алуымыз керек.
Есептеу қарапайым болу үшін контурдың айналу оң бағыты барлық контурларға сағат тілінің айналу бағытымен бірдей етіп алған дұрыс.
Схемадағы тармақтар санын nB, ал түйіндер санын ny әрпімен белгілесек, онда Киргхофтың бірінші заңы бойынша ny-1, немесе схемадағы түйіндер санынан біреуі кем теңдеулер құрылады. Ал, Киргхофтың екінші заңына k=nB-(ny-1)-ny, немесе тармақтар санынан Киргхофтың бірінші заңына құрылған теңдеулер санын алып тастағанға тең теңдеу құрамыз.
Киргхофтың екінші заңына теідеулер құрған кезде схеманың барлықтармақтары қамтылғанын қадағалау қажет. Тәуелсіз контурлар құрғанда ток көзі жоқ контурларды қабылдап алған жөн.
Көпшілік жағдайда Киргхофтың екінші заңына түзу сызықты тәуелсіз теңдеулер құру үшін әр контурға жаңадан бір тармақ қосылып отыруы тиіс. Ол тармақ басқа контурларға кірмеуі қажет. Күрделі схемаларда бұл шартты қанағаттандыра алмайтын жағдайлар да кездесуі мүмкін. Сондықтан бұл шарт жеткілікті болғанымен өте қажетті деп қарауға болмайды. Мысалы үшін 2-суреттегі схемаға теңдеу құрайық. Бұл схемада 7 тармақ, яғни 7 белгісіз ток бар. Схемада төрт түйін болғандықтан Киргхофтың бірінші заңы бойынша үш теңдеу құрамыз: ny-1=4-1=3. Түйінге бағытталған токты келісім бойынша оң деп, керісінше бағытталған токты теріс деп аламыз.

2-сурет. Тармақталған электр тізбегі


1-түйін үшін: І3-І2-І1=0
3-түйін үшін: І1+І2-І4-І7=0
4-түйін үшін: І4–І5+І6=0
Киргхофтың екінші заңы бойынша төрт теңдеу құрамыз:
k=nB-(ny-1)=7-(4-1)=4

Контур айналымының бағытын сағат тілінің бағытымен алсақ;
Контур 1-2-3-1 I1R1- I2R2=E1
Контур 1-6-3-1 I2R2+I7R7+I3R3=E2
Контур 3-4-6-3 I4R4+I5R5+ I7R7=-E2
Контур 4-5-6-4 - I5R5-I6R6=-E3
Киргхофтың бірінші және екінші заңдарына байланысты құрылған теңдеулерін біріктіріп, есептеп, бізге керекті электр тізбегінің барлық тармақтарындағы токтың мәнін табады.
Токтың оң бағытын қалауымызша алғандықтан есептеу нәтижесінде токтың мәнінің біреуі немесе бірнешеуі теріс таңбалы болып шығуы мүмкін.
Токтың теріс таңбалы болуын былай түсміндіруге болады. Бұл токтардың шын бағытын 2-суреттегі оң бағыт деп алынған бағытпен сәйкес келмегені, яғни бұл токтар кері бағытта алынуға тиісті.

Түйіндік потенциалдар әдісі

Кез-келген тізбектің режимі Киргхофтың заңдарына байланысты құрылған теңдеулер арқылы өрнектеледі. Барлық “m” тармақтағы токты анықтау үшін белгісіздері бар “” теңдеулер жүйесін шешу керек. Ал түйіндік потенциалдар әдісін пайдалана отырып, теңдеулер санын қысқартуға болады.
Егер Ом заңын пайдаланғыңыз келсе, онда түйіндік потенциалдарды білу керек. Мысалы, схемада ny түйін болсын делік. Ойша схеманың бір түйінін жерге жалғасақ, тармақтағы токтардың таралуы өзгеріссіз қалады. Яғни, сол түйіннің потенциалын нөлге тең деп аламыз. Бұл жағдайда, белгісіздер саны ny-тен ny-1-ге дейін кемиді.
Түйіндік потенциалдар тәсіліндегі белгісіздер саны Киргхофтың бірінші заңына құрылатын теңдеулер санына тең.
3-суреттегі мысалдарды қарастырайық:
Үшінші түйіннің потенциалын нөл деп аламыз, немесе φ3=0. Бұл есептің шартын өзгертпейді. Себебі, әрбір тармақтағы ток потенциалдардың абсолюттік мәніне емес, тармақтағы потенциалдар айырымына байланысты болады.

3-сурет Тармақталған электр схемасы

Схемада ток бағыттарын қалауымызша қабылдаймыз. Келісім бойынша, түйіннен шығар токты оң таңбамен, түйінге кірер токты теріс таңбамен аламыз. Қабылдап алынған токтардың бағыты мен схеманың бірінші және екінші түйіндері үшін Киргхофтың бірінші заңына жазылған теңдеулер құрамыз:

I5-I4-I1-I6=0 (7)
-I5-I6-I2-I3=0

Ом заңына жазылған тармақтағы токтар:
I1=(E1-φ1)g1; I4=-φ1g4
I2=(E2-φ2)g2; I5=(E5+φ1-φ2)g5
I3=(E3+φ2)g3; I6=(φ1-φ2)g6 (8)

φ1және φ2 бірінші және екінші түйіндерінің потенциалдары gk тармақтың өткізгіштігі:
gk =1/Rk, мұндағы k-бүтін сан.

(8) теңдеудегі токтардың мәнін (7) теңдеуге қойып, ұқсас мүшелерін біріктіруіміз керек.
Φ1(g6+g5+g4+g1)-φ2(g6+g5)=E1g1-E5g5
-φ(g6+g5)+φ2(g6+g5+g2+g3)=E5g5+E2g2-E3g3
немесе
φ1g11-φ2g12=∑E11g (9)
-φg21+φ2g22=∑E22g
Мұндағы g11=g8+g5+g4+gi;

g22=g6+g5+g2+g3

Бірінші және екінші түйіндерге қосылған тармақтардың өткізгіштігінің қосындысын меншікті өткізгіштік деп атайды.
g12=g21=g5+g6 – осы түйіндерді бір-бірімен байланыстыратын тармақтардағы өткізгіштерінің қосындысын жалпы өткізгіштік деп атайды. (9) теңдіктің оң жағында ΣΕg тармақтағы ЭҚК-і мен оның өткізгіштерінің көбейтінділерінің алгебралық қосындылары көрсетілген. Олардың сол құрастырылып отырған түйінге келіп қосылған тармақтарға ғана қатысты екенін айту қажет.
ЭҚК-і қарастырылып отырған түйінге қарай бағытталса, Εg көбейтіндісі оң таңбамен алынады. Ал егер, ЭҚК-і қарастырылып отырған түйіннен тыс бағытталса, теріс таңбамен алынады. (9) теңдеу алынған тармақтағы токтың бағытына байланысты болмайды. Қарастырылып отырған түйін дегеніміз ол меншікті өткізгіштігі бар түйіндер gkk.
Егер электр схемасы тек ғана энергия көзінің ЭҚК-нен ғана емес, ток көзінен де тұратын болса, онда Киргхофтың бірінші заңына байланысты алынған теңдеулер құрамына ток көзінің токтары да кіреді.
(9) теңдеуді құру кезінде берілген ток көзінің токтары әр түйін үшін теңдеудің оң жағындағы қосылғыштары болып табылады. Бұл жағдайда да ток көзінің бағыты қарастырылып отырған түйінге бағытталса оң, ал керісінше бағытталса, теріс алынады. Мысалға, 4-суреттегі схеманы қарастырайық.

4-сурет Тармақталған электр схемасы
Төртінші түйіннің потенциалын нөлге теңейміз. φ4=0; 1; 2 және 3 түйіндер үшін теңдеулер құрамыз:

Φ1g11-φ2g12-φ3g13=j+E1g1
-φ1g21+φ2g22-φ3g23=E2g2
-φ1g31-φ2g32+φ3g33=E4g4
мұндағы g11=g1+g5+g3; g22=g2+g3+g6; g33=g4+g5+g6;
g12=g21=g31; g13=g31=g5; g23=g32=g6;

Теңдеу құрғанда тағы да есте сақтайтын жайт ол тізбектің бір тармағында идеалды ЭҚК көзі болуы мүмкін. Яғни сол тармақтағы кедергің нөлге тең, сол кезде осы тармаққа байланысты теңдеуде анықталмағандық пайда болады. Себебі, осындай тармақтың өткізгіштігі шексіздікке тең болады. Осы қиыншылықтан құтылу үшін шартты түрдегі осы тармақтың бір ұшындағы потенциалды нөлге теңеу керек (5а-сурет). Сонда сол тармақтың екінші ұшындағы потенциал мәніне тең болады да, оның потенциалын белгілі деп есептейміз. Кедергісі нөлге тең тармақтағы берліген ЭҚК-н тиісті түйін арқылы жалғанған кедергісі бар басқа тармақтарға тасымалдау керек. Ол үшін тиісті түйінге жалғанған барлық тармақтарға берілген ЭҚК қарама-қарсы бағытталған ЭҚК-терін тасымалдап қосамыз. Осы ЭҚК-н есепке ала отырып, теңдеулер құрамыз. 5а-суретте осы ЭҚК-тері үзілмелі сызықпен белгіленген
5-сурет. Тармақталған электр схемалары

Бұдан токтардың барлық тармақтардағы мәндері өзгермейді. Себебі, 1”, 3”, 4” нүктелерінің арасындағы потенциалдар айырымы алғашқы берілген схемадағы сияқты нөлге тең болады. Енді екінші және төртінші түйіндердегі потенциалдар бір-біріне тең, сондықтан оларды бір нүктемен қосамыз . Сонда үш түйінді схемаға тек екі тәуелсіз теңдеу құрып, сол екі потенциалды табамыз. Содан кейін Ом заңын пайдаланып барлық тармақтардағы токтарды табамыз. Ал кедергісі нөлге тең тармақтағы токты 4 түйінге құрылған Киргхорфтың бірінші заңы бойынша табамыз. ....