Серпімді механикалық толқындар .Ауытқымалы және тұрақты толқындардың теңдеуі. Физика, 11 сынып, қосымша материал.

Тұрғын толқындар.

Бір-біріне қарама-қарсы жүгіретін монохроматты толқындар да интерференцияға түседі, бірақ мұнда қорытынды тербелістер кеңістікте жүгірмейді – энергияны тасымайтын бір орындарда тербелетін – тұрғын толқындар қоздырады. ОХ-осі бағытында оңға қарай қозғалатын жазық синусоидалық толқын тарасын, оның теңдеуі:

, ал оған қарама-қарсы жүгіретін толқын үшін: .

Толқындардың амплитудалары бірдей дейік

. Кеңістікте кездескен толқындар интерференцияға түседі, тербелістері қосылады, қорытынды тербелістер үшін:                                           демек

.                     (6.1)

Сонымен әрбір нүктенің тербелісін сипаттайтын екң шама / х пен t / еніп отыр. Формуланың екінші бөлігі  - ОХ-осі бойындағы жеке-жеке нүктелердің гармоникалық тербелістерін жасайтынын көрметеді, ал бірінші бөлігі әрбір нүктенің ауытқу амплитудасын береді, оның өзі нүктеден-нүктеге ауысқанда өзгереді: былайша айтқанда, кеңістіктің әр нүктесі өзіне тән амплитудамен тербеледі, оның модулі: . Былай жазуымыздың себебі амплитуда, әр қашанда оң шама, теріс амплитуда болмайды, сондықтан да косинустың   өзгеруіне қарай периодтық түрде үлкейіп, кеміп отырады. Сонымен, амплитуданың өсіп-кемуі Х-тің мәніне байланысты, косинустың азаю нүктелері үшін  болу үшін аргументтің мәндері мынадай: , , , ... жалпы , не , бұдан . Осы нүктелерде тербеліс болмайды – қозғалысы жоқ – түйіндер шығады. Қалған нүктелердің бәрі де тербелістер болады, бірақ әр бөлігі өзіне тән амплитудамен тербеледі, кейбір нүктелерде амплитуда өсіп, энергия қоры молырақ жиналып шоғырланады. Шоғырлану нүктелері үшін косинустың мәні бірге тең, демек: , болу керек. Сонымен бұл нүктелердің координаталары , не , мұнда 1,2...

Тұрғын толқындар алу үшін керілген ұзын жіптің бір ұшын / нүктесін / S – тетігінің көмегімен тербелтейік, сонда жіптің өн бойында көлденең толқын жүгіріп екінші шетке жетеді. 1-сурет.

1-сурет.

Қалқанға жетіп шағылысып толқындар жүгіреді. Ескерте кететін жай-қайтушы толқынның фазасы бірден қарама-қарсыға / π-ға / өзгереді: бұл толқындардың бәріне тән құбылыс. Селдір орталықта тарап тығыз /қатты/ бетке кетіп шағылысып кері қайтқанда, әрқашанда толқын фазасы бірден π-ға ауысады, жол есебінде ол - ні жоғалтады. Осы қағиданы есте сақтайық.

S-нүктесіндегі тербеліс сақталып, сөнбесе оңға қарай жүгіруші толқындар мен қайтушы толқындар кездесіп интерференцияға түседі, екі арада тұрған толқындар қозады: ABC, сол сияқты CDF аралықтары үздіксіз тербеледі. Ал C,F,... нүктелерінде түйіндер орналасады, тербеліс болмайды. АС-аралығындағы нүктелер келісімді / бірден фазада / төмен ұмтылады. CF аралығындағы нүктелер де бірден, бірақ қарама-қарсы фазада, жоғары қарай қозғалады, сөйтіп, екі аралықтың бөліктері алма кезек бірі жоғары, бірі төмен түсіп тербеледі, тек нүктелердің амплитудалары әртүрлі, оның ең үлкен мәндері В,Д,... тұстарына келеді, әрбір нүкте өзіне тән амплитудамен жоғары төмен түсіп, гармоникалық тербеліс жасайды.

Жоғарыдағы суреттен түйін мен түйін аралығының, шоғыр мен шоғыр аралығының - тең екендігін көрініп тұр. Бұл қорытындыны шоғырлар координаталарын анықтайтын теңдеулерден де шамалай аламыз: бір-біріне жақын орналасқан екі шоғыр арасы (к+1) мен /к+1/ толқындар үшін: .                                         (6.2)

Әдетте тұрғын толқындар қозу үшін ұштары тұйықталған жүйелер алу керек. Мысалы, екі шеті бекітілген домбыра шегі, ішінде ауасы бар түтік, не қобдишалар алу керек. Осыған байланысты, музыкалық дыбыстар өндіру үшін, тұрғын толқындар қоздыратын, күрделі қуыстары бар жүйелер қолданылады.

Қарапайым шектің тербелу түрлерін мына суреттерден көруге болады (2-сурет).

2-сурет.

Шек тартылған серпімді дене екі шеті бекітілген. Түртіп тербелтіп, өн бойында тұрғын толқындар қоздыра аламыз. Шектің ұзындығына, керілуіне қарай тербеліс жиілігін өзгертуге болады, ал тұрақты тартылған шек бойында, соғу /шерту/ нүктесіне қарай әр түрлі тұрғын толқындар қоздыра аламыз. Мысалы, соғу нүктесі шектің орта тұсында болса, өн бойында бір ғана  тұрғын толқын пайда болады, ол үшін , демек: , ал соғу нүктесі ығысып "В" нүктесіне барса, өн бойда тұрғын екі толқын енеді, қоздыру нүктесі әрі қарай жылжыса аралықта үш, төрт, ... толқындар енеді, демек  Осыған байланысты тербеліс жиіліктері еселеп өседі:   ді негізгі үн деп, қалғандарын  обертондар деп атайды. Шектің ұзындығына, жуандығына, керілуіне қарай шығатын үндер қатынасын, кезінде /Х-ғасырда/ Абу Насыр мұқият зерттеген болатын. Тәжірибе жүргізу үшін Абу Насыр біртектес 15-шекті, дыбыс-қобдишасына көріп бекітіп, бір үнге келтірген, сөйтіп салыстыруға ыңғайлы болу үшін керулері бірдей вибраторлар жасалды. Әр қайсысының астына тіреуіштер қойып,  ұзындығын өзгерте отырып, тербеліс үндерінің қатынастары зерттелген, Сонымен бірге, шектің керілуіне салмағына, ұзындығына қарай жиіліктің өзгеру заңдылықтарын анықтаған. Керілу артса негізгі кеміген, салмағы артса жиілік азайған. Осы тәуелділікті формула түрінде кейін Тейлор /1718ж/ қорытып щығарды:

, мұнда F – керу күші.

 - массаның бойлық тығыздығы.

Құбырлар ішінде тұрғын толқындар қоздыру үшін ауаны тербелететін тетік керек, сонда қуыс ішінде жүгіруші әрі, кері шағылысушы толқындар тобы пайда болып, қорыта келгенде, өн бойда  тұрғын толқындар қозады, оның орналасуы, жиілігі қоздырушы, мәжбүрлік жиілікке тәуелді. Бұл айтылғанды түсіну  үшін мына 3-суретті қарастырайық.

3-сурет.

Мұнда S толқын көзі, құбырдың бір шеті жабық. Тұрғын толқындар қозу үшін, құбырдың ұзындығы , болу керек. Толқын көзінің жиілігі үш есе артса, іште біржарым тұрғын толқындар қозады:, демек  не  - осы сияқты обетондар қоздыруға болады. Бұлар осы құбырға тән меншікті жиіліктер. Құбыр ішінде айтарлықтай тербелістер қозу үшін сыртқы - мәжбүрлік толқын көзінің жиілігі осы жиіліктердің біреуіне дәл келуі шарт, сонда ғана үйлесімді – резонанстық тербелістер туып, қуатты тұрғын толқындары қозады. Құбырдың меншікті тербеліс жиіліктерін өзгерту үшін іштегі ауаның тығыздығын, тереңдігін өзгерту керек, бірақ бұл күрделі мәселе. Сондықтан да, музыкалық аспаптар жасағанда құбырдың өздік жиілігін өзгерту үшін, тек көлеміне ұзындығына мән береді.