Жай және құрама сандар. Математика, 5 сынып, дидактикалық материал.

Эратосфен елегі.

 Ғалымдар жай сандарды ерте кездерден бастап-ақ зерттелген. Жай сан ұғымын біздің заманымыздан бұрынғы IV ғасырда ежелгі грек ғалымы Пифагор енгізген.

 Біздің заманымыздан бұрынғы ІІІ ғасырда өмір сүрген грек математигі Евклид жай сандардың шектеусіз көп екендігін, ең үлкен жай санды атап көрсету мүмкін болмайтынын дәлелдеген.

 Евклидтен біршама кейінірек Александрияда өмір сүрген ежелгі грек математигі Эратосфен жай сандардың кестесін жасауға арналған өзінің тәсілін ұсынды.

 Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал сандар кестесін жасап, одан 1 санын және құрама сандарды алып тастап отырған. Сонда алғашқы кесте елек тәрізденіп, онда тек қана жай сандар қалған. Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған.

 Жай сандардың кестесін даярлаудағы Эратосфен тәсілін үйренейік.

 Мысалы, 2 – ден бастап 50 – ге дейінгі барлық сандарды табайық. Ол үшін 1 –ден бастап 50 – ге дейінгі барлық натурал сандарды жазамыз. Алдымен 1 санын сызамыз, себебі 1 саны жай сан емес.

 Бірінші ретте – 2 санынан басқа, 2 – ге еселік сандардың барлығын үстінен сызамыз.

 Кестеде 2 санынан кейін 3 саны қалады. Екінші ретте – 3 санынан басқа 3 –ке еселік сандардың барлығын үстінен сызамыз. Нәтижесінде 2 және 3 сандарынан басқа кестеде қалған сандар 2 – ге де, 3 – ке де бөлінбейді (еселік емес).

 Кестеде 2 және 3 сандарынан кейін 5 саны қалады. Үшінші ретте – 5 санынан басқа 5 –ке еселік сандардың барлығын үстінен сызамыз. Осылайша жалғастырамыз.

 Сонда кестеде 50 – ден кіші жай сандар ғана қалады. Демек, 50 – ден кіші жай сандар кестесін жасадық:

 Кестедегі 2 санынан басқа қалған сандардың кез келгені 2 – ге бөлінбейді.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Осындай реттілікпен қалған санға дейінгі жай сандар кестесін даярлауымызға болады.

Жай сандарды зерттеуде орыс математиктері П.Л.Чебышев (1821 – 1894), И.М.Виноградов (1891 – 1983) зор еңбек сіңірді.

П.Л.Чебышев 1 – ден үлкен кез келген натурал сан мен берілген саннан екі есе үлкен санның арасында кем дегенде бір жай сан болатынын дәлелдеді.

Мысалдар, 1) 5 жай саны мен оның екі еселенгені 10 санның арасында бір жай сан – 7 саны бар.

2) 17 жай саны мен оның екі еселенгені 34 санының арасында 4 жай сан бар. Олар: 19, 23, 29 және 31 жай сандары.

И.М.Виноградов кез келген үлкен тақ санды одан кіші үш жай санның қосындысы түрінде жазуға болатындығын көрсетті.

Мысалдар, 15=3+5+7;

863=193+281+389.

Тапсырмалар:

• «Эратосфен елегі» тәсілін пайдаланып:

а) 2 – ден 20 – ға дейінгі;

ә) 2 – ден 50 – ге дейінгі жай сандар кестесін дайындаңдар;

• а) 13 пен 26 сандарының арасындағы;

ә) 9 бен 18 сандарының арасындағы жай сандарды жазыңдар.