Қима салу. Геометрия, 10 сынып, презентация.

Сабақтыңтақырыбы:

Қималарды салу

Оқу мақсаттары:

10.3.2.11 тетраэдр мен параллелепипедтің қималарын күрделі емес жағдайларда салады;

Нүкте – точка – Point

Түзу- прямая – straight

Линия –Line

Жазықтық – плоскость – Plane

Кеңістік - пространство – Space

параллель түзулер – параллельные прямые –Paralleilines

қиылысатын түзулер – пересекающиеся прямые – intersecting lines

перпендикуляр – перпендикулярные прямые – perpendicular lines

Суретте тікбұрышты параллелепипед бейнеленген.

а) DB1 және D1C түзулері қиылыса ма?

b) AD және B1C1 түзулері арқылы жазықтық жүргізу мүмкін бе?

DC және DB1 арқылы ше? BC және AA1арқылы ше?

Мысал 2.

EFGHE1F1G1H1 - куб. L,N және T - сәйкесінше F1G1, G1H1

және H1H қырларының орталары; К - EE1F1F жағының

диагоналдарының қиылысу нүктесі. Түзулердің өзара орналасу

кестесін толтырайық:

Анықтама:

Беті саны шектеулі көпбұрыштардың бірігуінен тұратын

денені көпжақ деп атайды.

Көпжақтың қарапайым екі түрін қарастырамыз:

1. Тік бұрышты параллелепипед

2. Тетраэдр (үшбұрышты пирамида)

Егер көпжақтың ең болмағанда екі нүктесі берілген

жазықтыққа қатысты әр түрлі жарты кеңістікте жатса,

онда жазықтық көпжақпен қиылысады. Бұл жағдайда

жазықтық - қиюшы жазықтық деп аталады.

Қиюшы жазықтық пен көпжақтың ортақ нүктелерінен

тұратын фигураны көпжақтың қимасы деп атайды

Көпжақтың  жазықтықпен қимасын салу дегеніміз-ол қима жазықтықтың көпжақтың қырларымен қиылысу нүктелерін салу және ол нүктелерді көпжақ жақтарында жататын кесінділермен қосу дегенді білдіреді. Көпжақтың қимасын салу үшін әрбір жақтың жазықтығындағы  қимаға тиісті екі нүктені көрсету және оларды көпжақтың  қырлымен қиылысатындай етіп, түзулермен қосу керек.

Қай суретте қима дұрыс салынбаған?

A

B

C

D

B1

C1

D1

M

N

K

Кубтың қырларына тиісті K , N , M нүктелері арқылы қима жүргізейік.

Бір жағына тиісті M, N нүктелері арқылы MN – қима жазықтығының ізін саламыз.

A1

A

B

C

D

B1

C1

D1

M

N

K

A1

E

К нүктесі В1С1 – түзуімен бір жазықтықта жататынын ескере отырып, MN- түзуімен қиылысу нүктесі – Е нүктесін белгілейміз.

A

B

C

D

B1

C1

D1

M

N

K

A1

E

Е және К нүктелері бір жазықтықта жатыр. FD1C1,

F

A

B

C

D

B1

C1

D1

M

N

K

A1

E

F

Кубтың А1В1 қыры ЕК түзуімен бір жазықтықта жатыр.

ЕК түзуіінің ізімен қиылысу нүктесін G- деп белгілейміз.

G

A

B

C

D

B1

C1

D1

M

N

K

A1

E

F

G

G – нүктесі М нүктесімен бір жазықтықта жатыр.

яғни екеуі де қима жазықтығында жатыр.

GM – кезекті «ізі» және GM∩АА1=Н.

H

A

B

C

D

C1

D1

M

N

K

A1

E

F

G

H

Алынған нүктелерді қосатын болса, кубтың ізделінді

қимасын аламыз.

B1

K

А

В

С

D

А1

D1

С1

B1

H

Блиц-опрос.

Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?

А

В

С

D

А1

D1

С1

B1

N

К

Н

Блиц-опрос.

Верите ли вы, что

прямые НК и ВВ1

пересекаются?

А

В

С

D

А1

D1

С1

B1

Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются?

N

Р

Н

К

М

Блиц-опрос.

На чертеже есть

ещё ошибка!

А

В

С

D

А1

D1

С1

B1

Верите ли вы, что прямые НR и NK

пересекаются?

N

Н

К

Блиц-опрос.

R

На чертеже есть

ещё ошибка!

А

В

С

D

А1

D1

С1

B1

Пересекаются ли прямые НR и А1В1?

N

Н

К

Блиц-опрос.

R

Пересекаются ли прямые НR и С1D1?

Пересекаются ли

прямые NK и DC?

Пересекаются ли

прямые NK и АD?

О

М

А

В

С

D

Верите ли вы,

что прямые МО и АС

пересекаются?

Блиц-опрос.

Верите ли вы,

что прямые МО и АВ

пересекаются?

A

B

C

D

K

L

M

N

F

G

Проводим через точки F и O прямую FO.

O

Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G

Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

A

B

C

D

K

L

M

N

F

G

Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания

Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO.

O

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

A

B

C

D

K

L

M

N

F

G

Шаг 3: делаем разрезы на других гранях

Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.

O

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все

делаем правильно?

C

B

A

D

K

L

M

N

F

G

Шаг 4: выделяем сечение многогранника

Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.

O

G

A1

А

В

В1

С

С1

D

D1

M

N

1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N

O

К

Е

P

Правила

1. MN

2.Продолжим MN,ВА

4. В1О

6. КМ

7. Продолжим MN и BD.

9. В1E

5. В1О ∩ А1А=К

8. MN ∩ BD=E

10. B1Е ∩ D1D=P , PN

3.MN ∩ BA=O

Самостоятельная работа.

(с последующей проверкой)

P

N

M

N

P

M

N

P

M

Решения варианта 1.

Решения варианта 2.

M

N

P

M

N

P

M

N

P