Тұрақты коэффициентті екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал. 4 сабақ.

Өзіндік жұмысы

Есеп 1. Функция қанағаттандыратын гармониялық тербелістердің теңдеуін табу:

1) x(t) = 2sin3t + cos3t;

2) x(t) = 2sin(2t + /4).

Жауап: 1) x + 9x = 0; 2) x + 4x = 0.

Есеп 2. T = π/6 периодымен және 4 амплитудасымен маятниктің шағын тербелестерінің дифференциалдық теңдеуі жазыңыз.

Шешімі: T = 2π/ω периоды маятниктің шағын тербелесі дифференциалдық y'' + ω² y = 0 түріндегі теңдеумен сипаттайтын болғандықтан, онда T = π / 6 периодымен маятниктің тербелесі ω = 2π/T = 12 параметрімен теңдеу арқылы сипатталады:

y'' + 144y = 0.

Тербелестердің амплитудасын y(0) = 4, y'(0) = 0 бастапқы шарттардан анықтаймыз.

Шын мәнінде, y(t) = C₁cos(ωt) + C₂sin(ωt), то y(0) = C₁cos(0) + C₂sin(0) = С₁ = 4, y '(0) = − ωC₁sin(0) + ωC₂cos(0) = ωC₂ = 0, С₁ = 4, С₂ = 0, y(t) = 4cos(12t)болғандықтан , яғни тербелестердің амплитудасы 4.

Сонымен, тербелестердің периоды T = π/6 және амплидудасы 4 маятниктің кіші тербелестері y(t) = 4cos(12t) Коши есебінің шешімімен сипатталады.

y'' + 144y = 0, y(0) = 4 , y '(0) = 0.

Есеп 3.

Материалдық нүктенің гармоникалық тербелісінің теңдеуін жазыңыз, егер тербеліс амплитудасы 8м болса және нүкте 1 мин- та 120 тербеліс жасаса. Тербелістің бастапқы фазасы .

Шешімі:

s=Acos(ω0t+φ)

ω0=2π/T

T=t/n=60/120=0,5

ω0=4π

s=8cos(4πt+π/4)(м) 

Есеп 4.

Массасы m болатын материалдық нүкте серіппеге ілулі тұр (рис. 2). Ол серпімді күш әсерінен гармоникалық тербелістерді орындайды. Осы материалдық нүктенің Ep – потенциалдық энергиясын табыңыз.

Шешімі:

F=ma

x=Acos(ω0t+φ)→a=d^2x/dt^2 =−Aω0^2*cos(ω0t+φ)

F=−mAω0^2*x 

Ep= (mω0^2*A^2*cos^2(ω0t+φ))/2