Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.
Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Сборник задач
по алгебре
Часть 2. Иррациональные,
тригонометрические, показательные уравнения и неравенства. Прогрессии
В помощь учащимся 10–11 классов
Москва 2009
УДК 512(076)
ББК 22.143я7
С23
Сборник задач по алгебре. Часть 2. Иррациональные, триго-нометрические, логарифмические уравнения и неравенства. Про-грессии. В помощь учащимся 10–11-х классов/ О.В. Нагорнов, А.В. Баскаков, О.Б. Баскакова, С.А. Гришин, Н.В. Мирошин, Р.Р. Резванов. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 160 с.
Данная книга является второй частью пособия, составленного в соот-ветствии с программой углубленного изучения математики в 10–11-х классах. Сборник включает задачи, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим уравнениям и неравенствам, а также прогрессиям. За-дачи сгруппированы по трем уровням сложности. В некоторых разделах даны краткие теоретические сведения. Задачи второй и третьей группы сложности могут быть использованы при проведении математических олимпиад.
Пособие предназначено для слушателей подготовительных курсов, а также поможет подготовиться к олимпиадам, поступлению в физико-математические лицеи и НИЯУ МИФИ. Учителя могут использовать данное пособие для подготовки к занятиям.
Рекомендовано редсоветом МИФИ
- качестве учебного пособия Рецензент проф. Н. А. Кудряшов
© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2009
ISBN 978-5-7262-1171-8
Редактор Е. Н. Кочубей
Макет подготовлен Е. Н. Кочубей
Подписано в печать 15.07.2009.Формат 60 84 1/16.
Изд. № 068-1. П.л. 10,0. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 4500 экз. Заказ №
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31
СОДЕРЖАНИЕ
I. Тригонометрия4
1. Начала тригонометрии7
- Тождественные преобразования тригонометрических
выражений16
3. Обратные тригонометрические функции20
4. Тригонометрические уравнения26
5. Тригонометрические системы уравнений44
6. Тригонометрические неравенства47
II. Логарифмические и показательные уравнения
и неравенства55
1. Тождественные преобразования55
2. Показательные и логарифмические уравнения68
3. Показательные и логарифмические неравенства78
4. Системы показательных и логарифмических уравнений84
5. Уравнения и неравенства с параметрами86
6. Построение графиков93
III. Понятие функции, область определения, область
значений, свойства функций95
1. Область определения функции95
2. Область значения функции98
3. Четность и нечетность функции103
4. Периодичность105
IV. Прогрессии107
1. Арифметическая прогрессия107
2. Геометрическая прогрессия116
Ответы123
3
- ТРИГОНОМЕТРИЯ
Для решения задач данной темы необходимо вспомнить триго-нометрический круг (рис. 1.1) и , тождественных .
I. Знаки тригонометрических функций по квадрантам.
1- | 2- | 3- | 4- | |
(0–90 ) | (90–180 ) | (180–270 ) | (270–360 ) | |
+ | + | |||
+ | + | |||
+ | + | |||
+ | + |
("+""".)
4
- Формулы приведения.
|
|
|
|
| |||||||||||
sin | -sinα | cosα | sinα | -cosα | sinα | ||||||||||
cos | cosα | sinα | -cosα | sinα | cosα | ||||||||||
tg | -tgα | ctgα | tgα | ctgα | tgα | ||||||||||
ctg | -ctgα | tgα | ctgα | tgα | ctgα |
- Тригонометрические функции основных углов.
0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 270 | 360 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 1 |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IV. Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла.
sin2α + cos2α =1; | tg = |
|
| ctg = | cos |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
cos | sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg ctg = 1 ; | sec = | 1 | ; | cosec = | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
| sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 = sec2 = | 1 | 1 ctg2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | = cosec2 = | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
V. Формулы тригонометрических функций сумы и разно-сти углов.
sin (α + ) = sin cos + cos sin ; sin (α – ) = sin cos – cos sin ; cos (α + ) = cos cos – sin sin ; сos (α – ) = cos cos + sin sin ;
5
tg () = tg tg ; | tg () = tg tg . | ||||
1 tg tg |
VI. Тригонометрические функции двойного и тройного угла.
sin 2α = 2sincos α;
cos 2α = cos2– sin2= 1 – 2sin2= 2cos2– 1;
cos2 | 1 cos 2 | ; | sin 2 | 1 cos 2 | ; | ||||
2 | 2 | ||||||||
tg 2 = | 2tg | ; | sin 3α = 3sin – 4sin3 ; | ||||||
cos 3α = 4cos3 – 3cos . | |||||||||
1 tg2 |
VII. Тригонометрические функции половинного угла.
sin | α | 1 cos α | ; | cos | α | 1 cos α | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg | = | sin | = | 1 cos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 cos | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2tg | 1 tg2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin = | 2 | ; | cos = | 2 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 | 1 tg2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VIII. Формулы преобразования суммы тригонометриче-ских функций в произведение.
sinsin= 2sincos;
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin sin = 2 cos | + | sin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos cos = 2cos |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos cos = 2sin | sin |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg tg = |
| ; | tg tg = |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6
1 cos = 2cos | 2 | ; | 1 cos = 2sin 2 |
| ||||||||
2 | 2 |
IX. Формулы преобразования произведений тригонометри-ческих функций в сумму.
sincos = 1 sin( ) sin( ) ; 2
coscos 1 cos( ) cos( ) ; 2
1
sinsincos()cos() .
- Начала тригонометрии
– А – | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1. | Перевести угол из градусной системы измерения в ради- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
анную и отметить угол на тригонометрической круге. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1)30 ; | 2) | –45 ; | 3) | 90 ; | 4) 150 ; | 5) –240 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 300 ; | 7) | –120 ; | 8) | –540 ; | 9) 135 ; | 10) | 1500 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) –270 ; | 12) –22,5 ; | 13) 105 ; | 14) 200 ; | 15) | –315 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. Перевести угол из радианной системы измерений в градус- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ную и отметить угол на тригонометрическом круге. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | ; | 2) | 2 | ; | 3) ; | 4) | 3 | ; | 5) | 5 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
| 8) | 17 |
|
| 17 |
| 13 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | 6 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) |
| ; | 12) |
| ; | 13) |
| ; | 14) |
| ; | 15) | 121 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | 12 | 18 | 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3. Найти синусы углов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 30 ; | 2) | –45 ; | 3) | 90 ; | 4) 150 ; | 5) –240 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | 300 ; | 7) | –120 ; | 8) | –540 ; | 9) 135 ; | 10) |
11) –270 .
7
1.4. Найти косинусы углов. | ||||||||||||||||||||||||||
1) | ; | 2) | 2 | ; | 3) ; | 4) | 3 | ; | 5) | 5 | ; | |||||||||||||||
6 | 3 | 4 | 6 | |||||||||||||||||||||||
6) | 3 | ; | 7)–3 ; | 8) | 17 | ; | 9) | 17 | 10) | 13 | ; | |||||||||||||||
2 | 4 | 6 | 6 | |||||||||||||||||||||||
11) | 7 | ; | 12) | 10 | . | |||||||||||||||||||||
4 | 3 |
1.5. Вычислить значения функции у = f(x) в точке х = х0.
- у = sin2x + cos3x, x0; 4
, x0 | 7 | |||||||||
2) | y tg x | sin | x | ; | ||||||
6 | ||||||||||
3 | ||||||||||
6 |
- y = sin2x + cos22x, x0; 12
x | |||||||||||
4) | y sin x | cos | x | , | ; | ||||||
12 | |||||||||||
4 | 4 | 0 |
- y = sin5x cos3x, x0. 8
1.6. Вычислить.
- sin(450 ) + cos(–690 ) sin(780 );
- ctg150 tg240 + sin(1260 );
- sin(105 )cos(15 ) 1 sin(960 ); 2
- cos2(570 ) : sin2(–840 );
- sin(–105 ) + sin(–915 ).
1.7. На тригонометрическом круге отметьте точки, соответст-вующие сериям.
1) k, k ℤ; | 2) | 2 п , n ℤ; | |||||||||||||
| |||||||||||||||
3) | 2 k , k ℤ; | 4) |
|
| |||||||||||
3 | 4 |
8
5) + 2 n, n ℤ; | 6) | 2 | 2 п , n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 2 |
| 2 |
- m , m ℤ; 12) 2 k , k ℤ;
2 | 3 | 3 | 3 | ||
13) | n | , n ℤ; | 14) ( 1)k | k , k ℤ; | |
3 | 2 | ||||
- ( 1)nn , n ℤ; 16) ( 1)k 1k , k ℤ;
23
- ( 1)n 1 2n , n ℤ. 3
1.8. Найти знак sinx, если:
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | x | ; | ; | 2) | x | ; 2 | ; | 3) | x | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.9. Найти знак tgх, если: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | x | ;0 | ; | 2) | x | ; | ; | 3) | x | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||
|
| 2 |
Вычислить.
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.10. 1) sin , если cos | и | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) cos , если sin | 12 | и | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) sin , если cos | и | ;0 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) cos , если sin | 2 | и | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9
3 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sin , если | cos | и | ; . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и | ;2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) sin , если | tg | и | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) cos , если ctg | и | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) cos , если tg | и | 2 ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
39 | |||||||||||
5) sin , если ctg | и | ; |
| ||||||||
5 | 2 |
1.12. 1) Знак sin, если( ; 2 ) ;
- знак cos , если( ; 0) ; 2
3 | |||||
3) знак tg | , если | ;2 | ; | ||
2 | |||||
2 |
- знак ctg , если3 ; 2 . 2
1.13. 1) cos | 15 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | tg | , | если sin |
| ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 25 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | sin | , | если cos | и | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49 |
- ctg , если cos21 и 2 ;3 .
229
10
1.14. 1) sin() , если sin | 1 | , cos | 2 | , | , | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | cos( 2 ) , | если | ctg 3, | tg2, |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;2 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | , если | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | sin | , | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ,3;4. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | cos | , если cos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.15. 1) cos 22,5 ; | 2) sin 15 ; | 3) tg 75 ; | 4) sin 67,5 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– В – | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.16. Упорядочить по возрастанию тройки чисел. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) cos 1; | cos 2; | cos 3; | 2) sin |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg | ; tg | 5 | ; tg | 7 | ; | 4) ctg | ; ctg | 7 | ; tg | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 4 | 5 | 5 |
5) cos(–1); cos(4); sin(–3).
1.17. Найти расстояние между точками х1 и х2 на ℝ.
- cos 8 ; x2 cos 17 ;
33
- x1 sin 17 ; x2 sin 61 ;
12121)x
3) | x | cos2 | ; | x | 2 | sin 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | x | cos | sin | ; | x | 2 | sin | cos | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 12 | 3 | 12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | x | cos | sin | ; | x | 2 | sin | cos | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 3 | 12 | 6 | 12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11
1.18. Значение cos= 0,2. Вычислить значения выражений.
1) |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | cos 2 | sin | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.19. 1) | 6sin 35 sin 55 | ; | 2) | sin 54 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 20 | cos 63 sin117 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | cos 35 2cos85 | ; | 4) | sin 50 2sin10 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 cos 55 | cos 50 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) сos195 cos105 + sin105 cos75 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg | 11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 3tg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 1 | tg | 13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | ; | 4) | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | 1 | 3 - tg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
- cos(2,9 )tg(2,4 )tg(1,1 ) . cos(0,9 )
1.21. 1) (sin15 + cos15 )2;2) sin15 cos75 sin2105 ;
- sin 2 15 sin 75 ; cos105
4) cos15 +cos75 –cos105 –cos165 ;5) sin 22sin 68 .
12
1.22. Какие значения принимает функция f(x) на множестве Х?
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | Х | ( 1)k (k 1) | k, | k Z | , | f(x) = 2sinx; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | Х | ( 1)k | k, | k | Z , f(x) = cos22x; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | Х | 7 | k, | k Z | , f(x) = 2cos2x; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2k 3 | 13 | , f(x) = tgx. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | Х | ( 1) | k, k Z | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.23. Определить значения, которые может принимать функ- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ция, при условии, что cosx = |
| . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) y = sin2x; |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) y = sin2x; | 5) y |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.24. Вычислить значение функции, если известно, что sinх |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и | х | ; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
1) | y | 1 | 2) | y | sin 2 х | 3) y = tg2x; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) y = sinx + sin2x; | 5) y = cos3x. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25. Определить, при каких х справедливы равенства. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 2x | cos2 x | x | x | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | sin | x ; | 2) | sin | cos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 sin x |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2sin x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
13
3) tg2 |
|
| 1; |
|
|
| |||||||||||
2 | 1 cos x | 2sin x 1 |
5) tgx ctgx = 1.
1.26. Вычислить значение cоs3 , если:
1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | sin 2 | , | ; | ; | 2) cos 2 | , | 0; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg2 |
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.27. Вычислить значение sin2 , если:
1) cos 2 | 1 | ; | 2) | sin 2 | 3 | ; | 3) tg | 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | tg | ; | 5) | tg2 2 | 2; | 0; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.28. Найти пересечения серий.
1) | x1 | ( 1)k | k, k ℤ; x2 |
| |||||||||||||||||||||
3 | 2 | 6 | |||||||||||||||||||||||
2) | x1 | ( 1)k | k, k ℤ; x2 |
|
| ||||||||||||||||||||
2 |
|
| 2 |
- x1k, k ℤ; x2k, k ℤ;
4537
4) | x1 |
| k, k ℤ; x2 | k, k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 16 | 40 | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | x1 |
| k, k ℤ; x2 | k, k ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
15 | 45 | 5 | 9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1.29. Найти функцию g(t), если: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) g(sinx) = sin2x cosx + сtg2x; | 2) g(cosx) = 2sin23xcosx; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) g(tgx) = sin2x cos2x; | 4) g(ctgx) = |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||
5) g(sinx + cisx) = sinx cosx.
14
1.30. Для числа | x | 3 | , для которого sin x cos x | 1 | , най- | ||
; | |||||||
4 | |||||||
2 |
ти значение sinx + cosx.
1.31. Для числа | x | , для которого sin x | 1 | , найти значе- | ||||||||||||||||||||||||
; | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||
| 2x |
| ||||||||||||||||||||||||||
|
1.32. Изобразите на единичном круге точки, которые соответ-ствуют числам х, удовлетворяющим условиям:
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) cosx = p для | р |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tgx = p для р ( ; |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) сtgx = p для р [1; ) ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sinx = p для р | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.33. Изобразите на единичном круге точки, которые соответ-ствуют числам х, удовлетворяющим условиям:
|
| |||||||||||
1) sinx = p + 1 для всех р | ; | ; | ||||||||||
22
2) cosx = | 1 | для всех | р [2; ); | ||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
3) tgx = | p | для всех | р [2;2 | ||||||||||||||||||||||||
3) ; | |||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
4) ctgx = p2 | для всех | р [ 1;1]; | |||||||||||||||||||||||||
5) sinx = |p| | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
для всех | р | ; | . | ||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
15
1.34. На единичном тригонометрическом круге изображены множества. Запишите эти множества на числовой оси.
абвгд
- Тождественные преобразования тригонометрических выражений
– А –
Упростить выражения.
2.1. 1) 7cos2 – 5 + 7sin2 ; | 2) –4sin2 + 7 – 4cos2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) cos + tg sin ; | 4) cos4 + sin2 cos2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 1 – sin ctg cos ; | 6) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 cos2 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. 1) | (sin / 2 cos / 2) | 2 | ; | 2) | 1 sin 2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
| 4) |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 1 | cos 3 | 1 cos 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. 1) cos | 2 | 2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | sin | sin | (); | 3) sin | cos(); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16
4) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | tg | cos | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos(4) | sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sincos | tg 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 cos2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4. 1) sin3 cos2– cos3 sin2 ;
- 2
- sin5 cos3 – sin3 cos5 + cos(2 – 2 );
4) sin4 sin3 – cos4 cos3 – sin | ; | |||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||
5) sin2,5 cos1,5 + sin1,5 cos2,5 + cos( + ); | ||||||||||||||||
6) sin2 sin4 – cos2 cos4 + sin | ; | |||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||
7) cos5 sin4 – sin5 cos4 + cos | . | |||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||
Вычислить. | ||||||||||||||||
2.5. 1) sin22,5 cos22,5 ; | 2) sin15 cos15 ; | |||||||||||||||
3) sin275 – cos275 ; | 4) cos267,5 – sin267,5 . |
2.6. 1) sin13 cos47 + sin47 cos13 ;
- cos27 cos63 – sin27 sin63 ;
- sin68 cos23 – sin23 cos68 ;
- cos103 cos43 + sin103 sin43 ;
17
- sin48 cos72 + cos48 sin72 ;
- cos53 cos82 – sin53 sin82 ;
- sin13 cos58 – cos13 sin58 ;
- cos24 cos54 + sin24 sin54 .
2.7. 1) | sin 20 cos 290 | ; | 2) | sin 40 cos 310 | ; | |||||
2sin10 cos10 | sin 20 cos 20 | |||||||||
3) | 2(cos2 80 sin 2 80 ) | 4) | 2(cos | 2 20 sin2 20 ) | ||||||
; | . | |||||||||
cos160 sin110 | cos | |||||||||
40 sin 230 |
– В –
2.8. Упростить выражения, преобразовав их произведения.
1) sin2x – 2sinx – 3;2) sin2x + 4sinxcosx – 5cos2x;
3) sin2x – cos3x – 4cosx;4) cos(5x + 1) – cos(x – 1);
5) cos3x – sin3x.
2.9. Доказать тождества.
- 2sin sin 2 = tg2 ;
2sin sin 2 | 2 | |||||||||||||||
2) sin23 – sin22 = sin5 sin ; | ||||||||||||||||
3) | sin 2 (1 tg2 tg ) (1 sin ) | tg2 tg | 2 | + | ; | |||||||||||
1 sin | 4 | |||||||||||||||
2 |
- ctg2 ctg2 cos2 cos2 ; sin2 sin2
5) | sin2 x | sin x + cos x | = sin x + cos x ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x cos x | tg | 2 x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 sin 2α | 1 tg | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | 2 | = sin α ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin α+cos α |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | cos2 | sin | sin | = | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 |
18
- sin6 + cos6 = 1 3 sin2 2 ; 4
3 | sin3 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg | cos | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 2 | = | sin | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | tg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
- ctg ctg(270 ) 2cos(135 )cos(315 ) = 0; ctg ctg(270 )
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
11) 2 |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
.
2.10. sin( 3 ) sin( 3 ) ctg .
sin(3 )sin(3 )
2.11. tg tg + (tg + tg ) ctg(+).
tg | tg | |||||||||||||||||||||
8 | 8 | |||||||||||||||||||||
2.12. | . | |||||||||||||||||||||
1 tg | tg | |||||||||||||||||||||
8 | 8 | |||||||||||||||||||||
2.13. 1) | cos4 | sin 4 | ; | 2) | sin 2 tg | |||
; | ||||||||
(sin cos )2 1 | ||||||||
cos 2 tg |
- tg2 tg2 60 3tg3 ctg ; tg2 ctg2 60
- 1 sin 2 cos 2 tg . 1 sin 2 cos 2
2.14. 1) |
| ; | 2) |
|
| ||||||
| sin 4 |
19
3) | sin 70 cos 40 | ; | 4) | sin 74 cos 74 | ; |
cos 50 cos110 | sin 89 cos 59 |
- 2cos 40 cos 20 . sin 20
2.15. 1) 2cos20 cos40 – cos20 ;
- sin10 sin50 sin70 ;
- 4sin20 sin40 sin60 sin80 .
2.16. 1) sin x cos x cos 2x ;
sin xcos x
- 1 sin 2xcos 2x sin 2x cos 2x ; cos2 x
- cos2 3x cos2 5x ;
sin 8x | sin x sin 3x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | cos 2x cos 4x cos 6x | ; | 5) | . | |||||||||||||||||||||||||||||
cos4 x 6sin 2 x cos2 x sin 4 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
2.17. Сократить дроби. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2x cos x cos 2x sin x | cos 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
| ; | 4) |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||
sin x sin 2x | cos2 x |
- sin 2x(1 2cos 2x) . sin 3x
- Обратные тригонометрические функции
– А – | ||||||||||||||||||||||||||||
3.1. Найти значения выражений. | ||||||||||||||||||||||||||||
1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
1) | ; | |||||||||||||||||||||||||||
arcsin | arctg( 3) | |||||||||||||||||||||||||||
arccos | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||
20
1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
2) | arcctg | arccos | arctg |
| |||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||
- arcsin1 arccos( 1) arctg1;
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | arcsin | arccos | arctg( 1) ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | arcsin | 2arctg 3; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | arctg1 arcsin | arccos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | arctg( | 2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) arccos0 arcsin | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin1 arccos | arcctg | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | arcsin1 arccos |
| arcctg0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 1 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) arcsin | 3arctg |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- arctg10 arcsin1 arcctg10.
Вычислить.
1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
3.2. 1) | ||||||||||||||||||||||||||||
|
| arcsin |
|
| ||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcctg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | arctg | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | tg arccos | arctg | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21
1 | |||||
5) | cos | 2arctg(-1) 2arcsin | . | ||
2 | |||||
– В –
3.3. Вычислить.
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sin arccos | ; | 2) | cos arcsin | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg | arccos | ; | 4) | ctg arccos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sin arctg 2 ; | 6) |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) ctg arccos | ; | 8) | cos | 2arcsin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) sin 2 arccos | ; | 10) | tg | 2arcsin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | cos(2arctg3); | 12) |
|
|
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | 4 | 14) | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | 3arccos | ; | sin | arccos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 2 | 9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | cos | arctg | 15 | ; | 16) cos arcsin | arccos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 13 | 13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) | 2 | 4 | ; | 18) | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg arctg | arccos | tg arcsin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) | tg | arcsin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20) |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22
21) sin 2arcsin | 3 | . | 22) cos(2arctg2). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23) cos | arccos | . | 24) sin arcsin | arccos | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 8 | 5 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.4. Найти значение выражений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 1 | 17 | 27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos | sin | cos | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 | 42 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | arccos sin | ; | 9) arcsin(sin5); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3.5. На единичном круге отмечены точки. Записать соответст-вующие им серии на числовой оси.
а | б | в | г | д | |||
3.6. 1) Вычислить значение функции f (x) cos2 (arctg |
| ) | |||||
в точке х = 1. | |||||||
2) | Вычислить значение функции | f (x) arcsin(cos(x2 3x)) в |
точке х = 1.
23
3.7. Решить уравнения.
1) | arccos 2x | ; | 2) | arcsin(1 3x) | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | arctg( 3(x | 1)) | ; | 4) | 2arcctg | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- arcctgx arcctg( x). 2
3.8. Определить, сколько целых значений принимает функция.
1) f(x) = 2arcsin(2x + 3) + 3; | 2) f(x) = 3arccos(1 – x) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) f(x) = 2arctg | – 2; | 4) f(x) = arcctg | + 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х | х 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) f(x) = 2(arccosx – arcos(–x)). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.9. Найти наибольшее целое х из области определения функ- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ций. | 3x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) f(x) = arcsin(x2 – 6x + 9); | 2) | f (x) arccos |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) f (x) arcsin | ; | 4) | f (x) arccos( | 1); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) f (x) | 4 x arccos |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.10. Определить, что больше. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) arccos |
|
| 4 |
| 2) arcsin |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 5 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) arccos | или arcсtg(–2); | 4) arcctg2 или arctg | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) arcctg |
| или arccos |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.11. Вычислить. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sin arccos | arcsin | ; | 2) | cos arctg | arccos | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | tg arcctg2 arcsin | ; | 4) ctg arctg | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.12. Решить неравенства. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin(2x 3) | x 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | ; | 2) arccos | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | x 1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 2arctg(3x + 1) > | ; | 4) | –arcctg(2x – 1) < arctg1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | arccos | 1 | 5 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | x | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13. Определить, при каких х справедливы тождества. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sin(arcsin2x) = 2x; | 2) arcsin(sinx) = x; | 3) arctg |
| = arcctgx; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) arcsin | 1 х2 | = arccosx; | 5) arccos | = arctgx. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 х2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.14. Найти наибольшее значение функции | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 2x | 2 | 4x 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– С –
3.15. Решить уравнения.
x | 1 | = arcctg(2x + а); | |||||||||||||||||||||
1) sin arcsin | 5x a; | 2) arctg | |||||||||||||||||||||
| х | ||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
5) arccos | 1 | = arctg(3x+a). | |||||||||||||||||||||
х2 1 |
25
- Тригонометрические уравнения
– А – | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1. Запишите решения простейших уравнений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2sinx = –1; | 2) cos2x = 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg 2x | 3; | 4) ctg | x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sin(3x 2) | 3 | ; | 6) cos = | 1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) sin2x = –1; | 8) ctg |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9) | 1 | ; | ||||
sin x | ||||||
2 | ||||||
6 |
- cos x; 2
x | 3 | ||||||
13) cos | ; | ||||||
2 | 2 | ||||||
6 |
3 | ||||
15) sin 2x cos x | 0 ; | |||
2 | ||||
10) | 2x | |||||||||
sin | 0. | |||||||||
3 | ||||||||||
12)ctg | x 1 ; | |||||||||
4
- sin(3x 2) 2 ; 2
16) cos3x(sinx + 1) = 0;
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) | (tg2x + 1) | sin 3x | 0 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) | 3tg | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8
- 2cosx ctgx + ctgx = 0;
18) ctg(3x + 4) = 1 ;
3
20) 2sin2x = sinx;
22) cosx cos2x = cosx.
4.2. Записать решения простейших уравнений с помощью об-ратных тригонометрических функций.
2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sin(2x) = | ; | 2) | 2cos | x | ; | 3) 3tg | 2x | = –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 2 – 3ctg | x | 3; | 5) 4cos | 2x |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 |
26
4.3. Определить, сколько корней имеет уравнение на отрезке.
1) | 3x | x | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2cos | 1, | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 2sin | 2x | 3, x | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 3tg 2 x | 1, x | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 2ctg 2x | 12, x | ; . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
4.4. Укажите наибольший корень уравнения на отрезке.
1) | 3tg(2x + 1) = 3 , | x [–2; 4]; |
2) | 2cos(2 – 3x) = 1, | x [–3; 5]; |
3) | –2sin(x + 3) = 1, | x [–2; 6]; |
- 3ctg(3 – 4x) = 3 , x [2; 8];
- 2cos(2x – 1) = – 3 , x [–5; –1].
Решить уравнения.
4.5. 1) | 2 | x | 2 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4sin | 3; | 2) 4cos 3x = 1; | 3) | cos | x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) tg x = | ; | 5) | sin | 2x |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 |
4.6. | 1) 3 sin x tgx = 0; | 2) sinx + 2cosx = 0; | |||||||||||||
3) cos x |
| sin x 0 ; | 4) |
|
| ||||||||||
5) 5sinx – 3cosx = 0; | 6) | 3cosx + 2sinx = 0. | |||||||||||||
4.7. | 1) 2cos2x = 3sinx; | 2) | 2cos2x + 4cosx = 3sin2x; | ||||||||||||
3) cosx + 2cos2x = 1; | 4) | 6cos2x – 13sinx – 13 = 0; |
27
5) cos2x + 3cosx + 2 = 0; | 6) | 3 + 5sin2x = cos4x; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) tg22x – 7tg2x + 10 = 0; | 8) tgx + 3ctgx = –4; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 6cos2x = 9cosx – | 4sin2x; | 10) cos2x + |
| cosx + 1 = 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | 2cos2x – 11sinx – 7 = 0; | 12) | 7cos2x – 3sinx = 5; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | 5tgx + | 1 | = 5; | 14) | 2sin2x + 7cosx + 2 = 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | 2sin2x – 5cosx + 1 = 0; | 16) | 3sinx + cos2x = 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) | 5sin25x + 20cos5x = 20; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) | 2cos2x = 12 – 21sinx; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 + 2cos2x – 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2
- 3cos2x – (2 + 3 3 )cosx + 3 +3 = 0;
- 4cos2x – 2(1 + 2 2 )cosx + 4 + 2 = 0.
4.8. 1) sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0;
- sin2x + 3sinx cosx + 2cos2x = 0;
- cos2x + 4sin2x + 2sin2x = 0;
- 4cos2x + 2sin2x = 3sin2x;
- 5sin2x + 4sinx cosx – 5cos2x = 2;
- 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 3;
- 3sin2x + 5cos2x – 2cos2x + 4sin2x = 0;
- 2sin2x – sinx cosx + 5cos2x = 2;
- sin2x – 30sinx cosx + 25cos2x = 25;
- (sinx + 2cosx)(3sinx + cosx) = sin2x;
- 5 – 4sin2x = 5cos2x;
- 3sin2x + sin2x = 2;
- 3 sin2x – sin2x = 3 cos2x;
- 4sin2x + 3sinxcosx – 7cos2x = 0.
28
– В –
4.9. Найти сумму корней уравнения на данном отрезке.
2 | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | cos | 0,5, | x | ; ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 2sin | x | 1,5, | x | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | сtg | 2x 3, | x | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 4cos | x | 1, | x | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
4.10. Найти х, удовлетворяющий уравнению: 1) sin2x = 0,5;
1
2) cos(1 – x) = –1; 3) tg(3x) =3 ;4) ctg(2x + 3) = ;5) sinx =
= sin2x, для которого функция у = х2 – 2х + 3 принимает наимень-шее значение.
Решить уравнения.
4.11. 1) sin x cos x |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
3) | sin x cos x | 4) sin x | cos x 1; | ||||||||||||||||||||||||
3 | 2; | 3 |
5) 3 sin xcos x 3.
4.12. | 1) (sin 2x 3 cos 2x)2 | ||||||||||||
5 cos | 2x ; | ||||||||||||
6 | |||||||||||||
2) cos 2x | 3 | sin 2x 5cos x 5 | 3 | sin x 6 0. | |||||||||
4.13. | 1) sinx + 3cosx = 2; | 2) 3sin2x – 2cos2x = 3; |
29
3) 3cosx – 4sinx = 5 .
2
4.14. 1) sin5x = sin3x;2) cos6x + cos4x = 0;
3) sin7x + sinx = 0;4) cos10x – cos4x = 0;
5) sin3x – cos5x = 0;6) sin2x + cos6x = 0;
7) cos3x + sin(9x + 2) = 0.
4.15. Найти наименьший положительный корень уравнения.
1) sin2x = sin x | ; | 2) | cos x | cos | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg 2x | = tg | x ; | 4) ctg x | = ctg | x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) cos2x = sin |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решить уравнения.
4.16. 1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0;
2) cosx + cos4x + cos7x = 0.
4.17. 1) sin2x sin6x = cosx cos3x;
3) cos3x sin7x = cos2x sin8x;
- sinx sin3x + sin4x sin8x = 0;
- sin5x cos3x = sin2xcos6x.
4.18. 1) | ||||
cos | 5x | sin x 2 cos 3x ; | ||
2 | ||||
2) sin9x + 3 cos 7x sin 7x | 3 cos 9x ; | |||||||||||||
3) 2cos3x sinx + 2cos | 2 | |||||||||||||
|
| |||||||||||||
4 |
- sin 2 4x sin 2 2x 9 ; 16
- cos2 x 2sin 2 5x 3 cos10x ; 2
- sin2x + sin22x + sin23x = 3 ;
2
30
7) cos22x + cos23x = cos2x + cos24x;
8) sin4x + cos4x = | 5 | ; | 9) cos4x – sin4x = cosx; | |
8 |
| sin 4 |
|
|
| cos4 |
| |||||||||||||||||||||||
6 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||
11) | sin6x + cos6x = | 7 | ; | 12) sin4x + | |||||||||||||||||||||||||
16 |
13) tg2x = 12cos2x.
4.19. 1) 1 – sin2x = cosx – sinx;
- 2(cosx – sinx)2 – 5(cosx – sinx) + 2 = 0;
- sinx + sinx = 1 + 2sin2x;
2
- 2(sin 2x cos 2x) 3 sin 4x.
- 2cos4x + 7(sinx + cosx)2 + 2 = 0;
- 1 + 5sinx = 3sin2x + 5cosx;
- 7sin2x + 15sinx = 9 + 15cosx.
4.20. 1) |
|
|
| |||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||
2) cos xsin x | 0; | |||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||
3 |
3) | 4sin x cos x | 3. | ||||||||||||
|
4.21. 1) 2sin 2 x cos x5 sin 2x 3cos x;
2
- sin2x = tgx(4 – 7cosx);
- 4sinx sin2x sin3x = –sin12x;
- 4cosx cos2x cos3x = 1 – cos8x;
- sin2x sinx – 0,5sinx – sin2x = 1 ; 2
- 3 tgx + 2cos2x = 2;
2 ;
6
cos4x = sin2x – 1 ; 2
31
- 3 cos3x = 4(sin3x – sin33x);
- sinx = 22(cos3 x cos x) ;
- 4ctgx + 8cosx – 2sinx – 1 = 0;
- 5tgx –15sinx – 3cosx + 1 = 0;
- cos32x – sin32x = cos2x – sin2x;
- 8cos3x + 1 = 2cosx + 1;
- 3sinx + 33 cosx – tgx – 3 = 0;
- cos7x(3cos3x + sin3x)2 = 10cos37x;
- sin3x – cos3x = –17 (sin4x – cos4x);
- cosx(6sin2x – 4) = –5sin2x;
- cosx – 1 = cos2x – cos3x;
- x (cos 5x cos 3x) 2x cos x.
4.22. 1) | 2 | |||||||||||||||
2sin x | 3 sin x | cos x | 2; | |||||||||||||
6 | 6 | |||||||||||||||
2 | |||||||||||||||
2) 2 | 2 sin x sin x | 3cos x | 1 0. | ||||||||||||
4 | 4 | ||||||||||||||
4.23. 1) cos6x – 12cos3x = 4 – 9cosx;
- 48sinx – 6cos6x = 5 + 64sin3x;
- 27sin3x + 81sin x= 4.
3
4.24. 1) 2sin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 6 2cos x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 2sin | x | 2cos x | 3. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.25. 1) 2cosx + cos2x + 1 = 2 cos2 |
| cos 2 |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) cosx + cos | x | cos | 2x | 1; | 3) sin2x – sin | 2x | cos | 4x | 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 |
32
4.26. Найти возможное значение tg4х, если х удовлетворяет уравнению:
- cоs4x – 3sin2x + 1 = 0;
- 2sin22x + ( 3 – 2)cos2x + 3 – 2 = 0;
- 3 tg28x – 2tg8x – 3 = 0;
- 4sin28x – 2(1 + 2 )sin8x + 2 = 0;
- 2cos24x + ( 3 – 2)cos4x – 3 = 0.
4.27.на указанном.
1) sin2x + 2sinx = 1 + cosx,[–4; –3];
2) | sin2 2x |
|
| x (0 , 45 ); | ||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | ctg | 2 | x | 1 | , | < x < | ; | |||||||||||||||||||||||||||
12 | 3 |
| 2 |
4) sin7 x = cos3 x, [0,1; 0,9].
Решить.
1 2sin2 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.28. 1) (sin x cos x)2 | 0 ; | 2) | 2 | 0 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | x 2 sin | 2x | 0; | 4) | 2x cos x | 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3x | 2x | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg | ctg | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
| 4 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.29. 1) (cos3x 1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 5x x2 | 0 ; |
- (sin2x + 2 – 3 sin2x – cos2x) х(4 х) = 0;
- 30 x 20x2 (cos 6 x cos 2 x) 0;
- (sinx – cosx) x2 19x 34 0;
33
- x 3 (cos 4x sin 3x cos 2x) 0;
1 x
- 2sin2 2 x 3cos 4 x 0.
x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
4.30. 1) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | tgx sin x | 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3) sin x (sin x 3 cos x)0;
2 | 1 | ||||||||||||||
4) | ctgx sin | x | 0; | ||||||||||||
4 |
5) sin xcos x(ctgx 3)0.
4.31. Найти число х, удовлетворяющее уравнению:
- 2sin2x + 2(sinx – cosx) – 1 = 0;
- 2sin2x + sinx – sin2x – cosx = 0;
- 2(sinx +cosx) + tgx + 1 = 0;
- 2sin2x – sinx – cosx + 1 = 0;
- tgx ctgx + tgx –ctgx = 1.
для которого функция у = 3 – |x – 2| принимает наибольшее значение.
4.32. Найти целые решения уравнений.
1) sin2x = sin(x2 + 1);2) cos3x = cos(2x – 3);
3) tg5x = tg(3x + 4);4) ctg(3x + 2) = ctg(5x – 4);
- sin x cos 2x 3 .
26
4.33. Пусть х1 и х2 (х1 х2) – два решения уравнения, принадле-жащие интервалу (0; ). Найти tg(x1 + x2) для уравнений:
- sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0;
- 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
- 2sin2x + 3sinxcosx – 5cos2x = 1;
- (sinx + cosx)2 – 3sinx cosx – cos2x = 0,5;
- cos2x – 3sinxcosx = 0.
34
4.34. Найти х – решения уравнения f(x) = 0, для которых g(x)0.
1) f(x) = 4sin 2 2x | 3 | ; | g(x) 2cos 3x | 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) f(x) = 2cos2 | 3x | 1 | ; | g(x) sin x | sin | 2x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) f(x) = tg2 | 2x |
|
| g(x) sin x cos 2x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) f(x) = ctg |
|
|
| ; |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) f(x) = cos22x – cos2x; | g(x) = 4cos2x – 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решить уравнения. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.35. 1) | sin 2x | 1; | 2) | cos 2x |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x | sin x cos x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
| 0; |
| sin 3x | 3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x | sin 2x | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | cos 3x | 3 | ; | 6) | 2 3sin x cos 2x | 0 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2x | 2 | 6x2 x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2cos x | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2sin 2 x 3 | sin x sin 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 2 | 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2sin x cos x 1 | 2 x 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) | 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2sin x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- cos 2x cos8x cos10x 0. cos x 1
- sin 3xsin 5x cos8x 0. sin x 1
35
- sin 2x 2sin 2 x 4cos 2x cos x sin x. sin x cos x
4.36. 1) 13 18tgx6tgx3 ;
- 6 sin x 7 cos2 x sin x 0 ;
- 2cos 2x 4cos x 3 cos x 1;
- sin3 x cos3 x sin x 0;
- cos x 2 sin x;
2
6) sin2 x 3 sin x1cos x;
7)sin 2 x3sin x17cos x.
9
4.37. Найти наименьшее расстояние между решениями уравне-ний.
1) | 1 4 cos x 2sin x; | 2) | sin x cos x sin x cos x; | ||||||||||||
3) | tgx; | 4) | sin x | ; | |||||||||||
sin x cos x | |||||||||||||||
tgx 2 | |||||||||||||||
| sin x | | |||||||||||||||
5) | tgx. | ||||||||||||||
1 cos 2x |
4.38. Найти х – решения уравнения f(x) = 0, для которых g(x)0.
1) f(x) = 2sin | g(x) 2cos x 1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
x sin x | 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
2) f (x) 2 sin | 2 cos x | 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||
4
- f (x) | sin x | 1; g(x) = 1 – 2sinx; cos x
- f(x) = tg3x ctg4x + 1; g(x) = (tgx – 1) |2cosx – 1|;
5) f(x) = sin 2 | (sin x cos x)2 3; | g(x) = sinx – cosx. | |||||||
x | |||||||||
4 |
36
4.39. Решить уравнения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | |–sinx| = 2cosx; | 2) |1 + 2sinx + cosx| + cosx = 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | |sinx – cosx| = 1 – sin2x; | 4) | cos2 x 2 | 5cos x 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 1 + 2|cosx|sinx = 0; | 6) | |cosx + cos3x| = –cos2x; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | sin | x cos | x cos x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x sin | sin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 3 2sin 2 x 2 |
| sin x cos x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 1 cos | xcos x 8sin(x ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 2cos2 x (1 cos x) sin x 4cos( x); 2
- 2sin2 x (1 cos x) sin( x) 5cos x.
2
4.40. Найти наибольшее решение х[ ; 2 ] уравнений.
1) | sin x | cos x | 0; | 2) | 2cos x | sin x | 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | tgx |
| 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.41. Найти отрицательное число х, наименее удаленное от
- = 0, удовлетворяющее уравнению:
2 | x | | | x | | ||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sin | 1; | 2) | 2cos |
| |||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3) tg(|x – 1|) = 3 ; | | x 1| | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ctg |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
37
5) | cos |
| | x | |
| |||||||||||
|
4.42. Найти решения системы уравнений с одним неизвестным.
sin | 3x | 1, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | 2x | 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | 1, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | 2x 0,25, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x | cos x. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решить уравнения.
4.43. 1) sinx cos2x = –1;
3) sin7x + cos6x = 1;
| 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin | 0,75, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x | 0,5; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 3cos2x + 5cos27x = 8;
- sin 2x cos 2x 1.
4.44. cos4 xcos3 x9 cos2 x 1 3 sin 2x.
4 | ||||||||||||||
13 |
| |||||||||||||
4.45. sin | sin x | . | ||||||||||||
9 | ||||||||||||||
2 |
4.46. 2 cosx = |x| – |x – |.
4.47. arcsin 1x .
- 2
4.48. Пусть х1 и х2 – два решения уравнения 2cos2x + cosx – 1 = 0, причем х1 х2 + 2 k, k ℤ. Найти значение выражения 4сos(х1 + х2).
38
4.49. Сколько решений уравнения |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||
принадлежат отрезку [0; 100]? |
|
| ||||||||||||||||||||||||||
sin(2 x) sin | ; | |||||||||||||||||||||||||||
4.50. Решить систему | 12 | В ответе указать ко- | ||||||||||||||||||||||||||
cos(3 x) cos | . | |||||||||||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||||||
личество решений в интервале (0; 10).
4.51. Решить уравнение sinx + sin5x = –2. В ответе указать от-ношение наименьшего решения на отрезке [–15; –1] к наибольше-му.
4.52. При каких значениях а уравнения имеют решения?
1) asinx = a + 1; | 2) | (a + 1)cosx = 2a – 3; |
3) sinx + a = a2 + 1; | 4) | 2asinx = a2 + 1; |
5) (a2 + 1)cosx = 2a. |
4.53. При каких значениях а уравнения не имеют решений?
1) asin2(3x) = a + 1; | 2) a – cos(3x + 1) = a2 – 1; | |||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||
3) a sin(2x – 1) = a – 2; | 4) | cos | 2x | a 2 ; | ||||||||||||||
|
5) cos3 (2x)2a1.
a2
4.54. При каких значениях а уравнение asinx + (a2 – 4)cosx = 1 имеет решение x 5 ? В ответе указать произведение таких а.
3
4.55. Найти наименьшее положительное значение а, при кото-ром число х = является решением уравнения:
3
2ax
1) 2sincos(2xa )1;
3
39
2) | 2cos | 2 | 3x | a | 1; | |
ax sin |
2
- sin(a +2x) cos(x + 2a) = 1;
4) sin(ax + 2 a) + cos | (а 2)х | 0 |
3
- 2cos(2ax) – 8sin(ax) + 3 = 0.
4.56. Определить, при каких значениях а уравнение f(x;a) = 0 имеет решения на отрезке [ ; ].
- f(x, a) = (x + 1)sina + cosa, = 0, =1;
- f(x, a) = (a + 1)sinx + cosx, = 0, = ; 4
1
3) f(x, a) = x2sina + xcosa,= ,= 3 ;
- f(x, a) = a2sinx + acosx, = , = .
43
4.57. Найти все значения а, при которых любое решение урав-нения f(x) = 0 является решением уравнения g(x, a) = 0.
- f (x) 1 cos 2x sin x ; g(x, a) = asinx + (a2 – 7)cos2x; tg2x
- f (x) cos x cos 2x ; g(x, a) = a2cosx + asin2x + 2a – 3; 4sin2 x 3
3) f (x)sin 2xcos 2xsin xcos x 1 ; g(x, a) = acos22x +
12cos2x
+ a2sin2x + 3a + 2;
sin 2x 2sin2 x cos x sin x | 22 | |||||||||||||
4) | f (x) | ; g(x,a) = a cos x + asin2x – 4; | ||||||||||||
2cos2x 1 | ||||||||||||||
5) | f (x) |
| ; g(x, a) = asinx + (a2 + | |||||||||||
cos2x |
+ 1)cos2x + 2a – 4.
Решите уравнения при всех значениях параметров.
4.58. 1) 4sin2x + acosx = cos3x;
40
- sin4x + (a – 5)sin2x – 2(a – 3) = 0;
- cos2x + asinx = 1.
4.59. 1) | b | a2 | sin 2 x a2 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5; | 2) | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b 5sin 2 | 5x | 1 tg2 x | cos 2x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |3sinx – a + 1| = 2sinx – 4a + 7; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |2cosx – a | – 2a = 3cosx + 1; | 5) | cos x. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| имеет на отрезке | 43 | ; | 13 | два различных реше- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния? |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.61. | При | каких | значениях | параметра | а | уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[10cos2 x (2 |
| )cos x |
| ](a cos x 2a 3) = 0 имеет на отрезке | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ровно два различных решения? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.62. Найдите все значения параметра а, при которых уравне- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние (1 a)tg2 x |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одного решения. |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.63. | При | каких | значениях | параметра | а | уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x sin2 x a(3cos x 2) | имеет на интервале arccos |
| ; | един- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ственное решение? |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.64. | При | каких | значениях | параметра | а | уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2tgx(8 7sin | 2 | x) 2cos 2x a sin 2x 10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет на интервале 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ровно три различных решения? |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.65. | При | каких | значениях | параметра | а | уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | cos x sin | 2a x | 2 | 1 3 | имеет единственное решение? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1
41
4.66. | При каких | значениях параметра а | уравнение | ||||||||||||||||||||
4cos(arcsin x) 2sin(arccos x) cos(arccos x) 2a имеет | единствен- | ||||||||||||||||||||||
ное решение? | |||||||||||||||||||||||
4.67. |
|
| |||||||||||||||||||||
2asin x cos y 2. | |||||||||||||||||||||||
4.68. | При каких значениях р неравенство | ||||||||||||||||||||||
sin 2x ( p 1)(sin x cos x) 2 p 1 0 | |||||||||||||||||||||||
выполняется при всех действительных значениях х? | |||||||||||||||||||||||
4.69. | При каких значениях с неравенство | ||||||||||||||||||||||
cos2 x (c 1)sin x 3c 2 | |||||||||||||||||||||||
выполняется при всех действительных значениях х? | |||||||||||||||||||||||
4.70. | Найдите все а R, при которых все корни уравнения | ||||||||||||||||||||||
(4x 1)[2 2sin 2x | (a 2)(sin x cos x) 1] 5a2 x | 5 | a2 0 | ||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||
4 |
неотрицательные.
4.71. При каждом значении параметра а найти наименьшее зна-чение функции у = (arccosx)2 – 2·a·arccosx – 1 + a2.
4.72. При каждом действительном значении а найти наимень-шее значение функции
- (x) cos2 (1 24x x2 3) 4a cos (1 24x x2 3) 3a 1.
33
– С –
4.73. При каких целых значениях параметра а уравнения имеют
на отрезке | ; |
| ровно пять решений? | ||||||||||||||||||
2 2 | |||||||||||||||||||||
1) sin(a + 1)x = 0; | 2) cos(2ax) = 1; | ax | |||||||||||||||||||
3) tg | 1; | ||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||
42 |
4) ctg | a x | 3 | ; | 5) sinax + cosax = 2 . | |||||||||||||||||||
3 |
4.74. При каких значениях параметра а уравнение
sin((3a2)(x1) )1
не имеет решений на отрезке [1; 2]?
4.75. При каких значениях параметра а расстояние между лю-быми различными решениями уравнения
sin | 2ax | cos | ax | |||
3 | 4 |
на числовой прямой будет не менее 1?
4.76. При каких значениях параметра а на любом отрезке дли-ны числовой оси содержатся решения уравнения
3 | |||||||
sin | a | 2x | cos(ax) ? | ||||
3 |
4.77. Найти наименьшее положительное целое число а, при ко-тором уравнения не имеют решений.
1) | a cos x sin x; | 2) | 2 a sin x cos x; | ||
3cos x; | a sin x. | ||||
3) | a2 9a sin x | 4) | |||
a sin x 8 |
4.78. При каких значениях параметра а (а >0) уравнение
1 | ||||||||||
sin a x | 1 | |||||||||
3 | ||||||||||
имеет на отрезке [0; 1] ровно два решения?
4.79. При каких значениях параметра а положительные реше-ния уравнения f(x, a) = 0 образуют арифметическую прогрессию? В ответе указать сумму таких а.
- f(x, a) = asin(x + a) – (a – 2)2;
- f(x, a) = sin2x + (a2 – a)sinx – a3;
43
5
3) f(x, a) = |sinx| sin(x + a); a;;
22
4) f(x, a) = cosxsin(2x + a); a(–5 ; 3 );
- f(x, a) = sinx cosx + 1 а 1 . 2
4.80. При каких значениях а уравнение f(x, a) = 0 имеет хотя бы одно решение?
- f(x, a) = asin2x – (a – a2 – 1) sinx – a(a – 1);
- f(x, a) = 3sin2 x а + 3 – a.
4.81. При каких значениях а уравнение f(x, a) = 0 имеет реше-ние? В ответе указать наибольшее целое а 100.
- f(x, a) = а2 4 sinx + 2сosx + a2 – 2;
- f(x, a) = cos2x + a2sinx.
4.83. При каких значениях а уравнение sinax = sinx не имеет
решений на интервале | 0; | ? | ||
2
- Тригонометрические системы уравнений
– В –
Решить системы уравнений.
5.1. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||
2cos 2x sin y sin 540 . | |||||||||||||||||||||||||
2 | x cos | 2 | y | 3 | |||||||||||||||||||||
5.2. | sin | ; | |||||||||||||||||||||||
4 |
cos 2x2 cos y3.
44
5.3. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos(x y) 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.4. | x y |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx tgy 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x y | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos(x y) cos(x y) | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin xsin y | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.6. | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos xcos y |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | х 2cos y | 11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.7. |
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x 10cos y 7. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.8. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 2x cos 2 y 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos xsin 2 y | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.9. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x cos 2 y | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin( xy)3sin x cos y1;
5.10.
sin( xy)2cos xsin y.
sin 2 x3cos2 x;
5.11.
| x1| 2.
45
3 5.12. sin xsin y 4 ;
tgxtgy 3.
1 5.13. cos xcos y 2 ;
tgx tgy 2.
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx ctgx 2sin y | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.14. | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgy ctgy 2sin x | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | y | 2 | )( | 2 | 1); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. | 16xy(x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4x)sin |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2tgx cos y | 3; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.16. | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos y | tgx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x cos y cos x; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.17. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(arctgx)2 (arccosy)2 2k; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.18. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arctgx arccos y | , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos x (arcsin y)2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.19. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(arcsin y) | arccos x | , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ℤ.
kℤ.
46
Тригонометрические неравенства
– А –
6.1. Изобразить на единичном круге решения простейших не-равенств.
1) sin x | 1 | ; | 2) cоsx < 1; | 3) 1 < tgx < |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) –1 < ctg x < | ; | 5) sinx > cosx. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.2. Записать на числовой прямой решения неравенств. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | 2) cos x | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) sinx < | 3 | 3) 1 < tgx < | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | ctgx < | ; | 5) sinx + cosx < 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.3. Определить, сколько целых решений имеет неравенство на | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервале (0; 2 ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x | 1 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 3x | 4) | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3tg | 1; | 3ctg | 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | cos | 2x | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6.4. На единичном круге отметить множество решений нера-венств (применить метод интервалов).
1) (2sin x 1)(2cos x | 3) 0; | 2) | (2 cos x 1)(2sin x | 3) 0; | ||||||||||||
3) | (2 cos x |
| )(1 2sin x) 0; | 4) | (tgx + 1)( |
| – ctgx) 0; | |||||||||
5) (2sinx + 1)(tgx – 1) 0. | ||||||||||||||||
6.5. Записать решения неравенств на числовой оси. | ||||||||||||||||
1) | (2sin x 1)(2cos x | 2) | (2 cos x 1)(2sin x | |||||||||||||
3) 0; | 3) 0; |
47
3) (2 cos x 2)(12sin x)0;4) (tgx + 1)(3 – ctgx) > 0;
5) (2sinx + 1)(tgx – 1) < 0.
6.6. Решить «квадратные» тригонометрические неравенства на
отрезке 2 ; .
1) 2sin2x – 3sinx + 1 <0;2) 4cos2x + 2(3 – 1)cosx – 30;
tg2x + (1 –3 )tgx – 3 < 0; 4) 3 ctg2x + (3 + 1)ctgx + 1 0;
tgx ctgx – cos2x > 0.
– В –
6.7. Определить, при каких значениях параметра а неравенство справедливо для всех значений х.
1) |
|
|
| |||||||||||||||
a 1 | ||||||||||||||||||
3) tg(x sina) 0; |
|
|
| |||||||||||||||
|
5) sinax + cosax0.
6.8. Решить неравенства.
2sin x 1(cos 2x 1) 0;
cos x cos (sin 2x 1) 0;
3
sin 2x sin (sin x cos x)2 0;
6
tg x 3 sin2 2x 0;
1 3 ctg x | sin x cos x | 0.
6.9. Найти значения параметра р, при которых неравенство не имеет решений.
48
1) 2sin3x p(p + 1); | 2) psin2x < p – 3; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) psinx + (p + 1)cosx > 1; | 4) (p2 – 1)sin4x < p – 5; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sin2x + psinx + 2 < 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.10. Найти х на отрезке [a; b], удовлетворяющий системе нера- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венств f (x) 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g(x) 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) f(x) = (1 – sinx)(2cosx + 1), | g(x) = tg2x – 1, a = 0, b = ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) f(x) = (cosx –1)(2sinx – 1), | g(x) = cosx – sinx, | a = | , b = | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) f(x) = cosx –cos2x – 1, g(x) = 2sin2x – 1, a = | 3 | , b = | 5 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | cos x | |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) f(x) = sinx – |cosx|, | g(x) = 2sin|x| – 1, | a = | , b = |
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
– С –
6.11. Найти х, для которых неравенство
4xsina – cos2a(1 + x2) + 2x2 + 0,20
выполняется при всех а.
6.12. Найти х , удовлетворяющие неравенству
4a sin x a12 cos x2 ,
для всех допустимых значений а.
Тригонометрические функции
– B –
7.1. Построить графики функций на указанных отрезках. В от-вете указать наибольшие и наименьшие значения функции на от-резке.
49
x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | y 2sin | , | x | ;2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x | x 0;2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y tg | , | x | 2 ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | y ctg | x | , | x | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
y = sinx – cosx, x 0; 2 .
7.2. Определить, при каких х справедливы тождества.
1) sin|x| = |sinx|; | 2) cosx = cos|x|; | 3) tg|x – | = tgx; | |||||||||||
4) |ctgx| = ctg|x|; | x | cos x. | |||||||||||
5) sin | |||||||||||||
2 | |||||||||||||
7.3. Найти х, при которых верны равенства.
1) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 sin x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 3x 4cos2 x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2x cos x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 |
cos x cos 5x ctgx(1 2cos 2x). sin x sin 3x
7.4. Найти наименьший положительный период функции.
1) y = sin15x + cos21x; | 2) | y cos | 2 | 2x 1 | ||||||||
| ||||||||||||
|
50
y sin
3x |
| ||||||
|
5) y = sin2x – cos22x.
7.5. Пусть f(x) = cos2x. Найти наибольшее значение величины
2
|f(x1) – f(x2)|, если х1, х2;.
63
7.6. Пусть f(x) = sin2x. Найти наибольшее значение величины
f(x1) –| f(x2)|, если х1, х2 12 ; 6 .
7.7. Найти наибольшее значение функции f(x) = 2cosx + 3cos5x
на отрезке 0; | . | |
2 |
7.8. Найти наибольшее возможное значение функции f(x) = = (sinx + sin3x)2.
7.9. Определить, сколько найдется на отрезке [5; 10] чисел, яв-ляющихся периодами функции у = sin(4 x + 1)?
7.10. Построить графики функций на указанных отрезках. В от-вете указать множество значений этих функций.
3
y = sin x, x 4 ; 4 ;
2) y = sinxcosx, | x | 13 27 | ; | ||||
; | |||||||
4 | 8 | ||||||
3
3) y = sinx|cosx|, x4 ; 4 ;
3 5
y = |sinx|cosx, x 4 ; 4 ;
51
y | sin x | , x | 3 3 | |||||
5) | ; | . | ||||||
| cos x | | ||||||||
4 | 2 | |||||||
7.11. Функция у = f(x) в точке х1 принимает значение А. Найти значение функции в точке х2.
1) y | = sin2x, | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||
A | , x | x | , x | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||
5 | 2 | 1 | 4 | 1 | 4 | 4 | ||||||||||||||||||||||||
2) y | = cos | x | , | A | 5 | , | x | 2 | x | 3 | , | x 2 ; 3 ; | ||||||||||||||||||
2 | 13 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
y2 x1 7 ;
29
y = ctg x , A = 2, x2 x1 3 ;
34=tg3x,A1,x
5) y | = sin2x + cos2x, | 1 | 3 | 3 | 5 | ||||||||||
A | , | x | x | , | x | ; | . | ||||||||
4 | |||||||||||||||
3 | 2 | 1 | 1 | 8 | 8 |
– С –
7.12. Найти значения а, при которых неравенства не выполня-ются ни при каких х.
1) asin2x – a3;
3) a |sinx|a – 2;
5) |tgx| + |ctgx| < a.
2) acosxa – 2;
4) (3 – 2a)|cosx|a – 1;
7.13. Указать наименьшее положительное целое число х из об-ласти определения функций.
1) | f (x) |
|
| 2) | f (x) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
| (cos x cos 2 x)cos |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | f (x) | ; | 4) f (x) | 8 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 x | 23 x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | cos | 10x x2 21 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30
f (x) cos(x 2).
52
7.14. При каких х функция f(x) принимает целые значения?
f (x) 2 sin 2xsin x ; cos x
2) | 1 cos 2x | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 (3 x) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | f (x) cos( 2x) sin( 2x)tg | x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | f (x) cos | x | sin x | tg x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | f (x) 2cos x | tg x | tg 8 x . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 |
7.15. При каком положительном k наибольшее значение функ-ции у = ksinx + (k + 1)cosx равно 5?
7.16. Определить, при каком наибольшем целом а < 0 график функции у = f(x) проходит через точку А.
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | y sin ax | , | А | ;1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | y cos x | , | А | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y tg ax | a , | А | ; 1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ax | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | y ctg | , | А | ; | 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) y = sin(ax) – cos(ax), А | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
7.17. Определить, при каких значениях параметров а и b график функции y = f(x) проходит через точки А и В. В ответе указать наи-меньшее возможное значение |a| + |b|.
53
2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) y = sin(ax + b ), | А | ;1 ; | B | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y = cos(2ax – b ), | А |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| B |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | y ctg | 3ax | , | А | ; | ; | B |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 3 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) y = sin(ax + b ) + cos(ax + b ), A ( ; 1), B;2 .
7.18. Для каждого допустимого а найти множество значений функции f(х, а).
f (x, a) a2 4 sin x 2cos x a2 2;
f (x, a) a cos2 x a2 sin x;
f (x, a) sin( x a) cos(x a) 1;
f (x, a) x2 sin a x cos a 3 .
8
54
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Основные формулы, используемые при тождественных преобра-зованиях степенных и логарифмических выражений:
am an am n ; | am : an am n , | a > 0; | ||||||||||||
(am )n am n ; | n |
| am / n , | a > 0; | ||||||||||
a b (ab) ; | ||||||||||||||
aloga b b, | a > 0, | b > 0, a 1; | ||||||||||||
log | m аn |
| , | a > 0, | a 1; | |||||||||
a |
|
loga b loga c loga b loga c
log a b logс b , loga c
logс b |
|
| ||||||
|
loga (b c) ,
a > 0, b > 0, c > 0, a1;
loga (b / c) ,
a > 0, b > 0, c > 0, a1, b1, c1.
1. Тождественные преобразования
– А – | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1. Вынести множитель из-под знака корня. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
| 2) | a4 | 3) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. Внести множитель под знак корня. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | a5 |
| 2) | 97 |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 2a | 3a | ; | 5) 3b3 | b | ; | 6) n2 | n | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) m2 3 | m2 | ; | 8) 2q7 | q3 | . |
55
1.3.Упростить выражения.
0,3 10 6 15 0,1;
360 450;
5) 30,008 27;
7) 30,027 125;
9) 64 0,01;
11) 325 9 316 34;
13)4( 3)2 2 48 9;
15) 3152 ;
4319
17) 41620 ;
6420
19) 49 1;
3
21)381 31;
3
23) 448 27;
427
25) 443 425;
4 100
2) 4 27 48;
4) 4625 0,0016;
6) 40,0625 81;
8) 3 27 0,064;
10) 6510 37 332,5 5;
12) 427 5 435 125;
14) 3 250 ;
43 2
8318;
3144
18) 6 256 3 1;
2
20)338 3 4;
19
22) 440 2;
4 10
24) 4162 32 ;
48
5 | 4 | |||||||||||||||
4 | 128 | |||||||||||||||
26) | 8 | . | ||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||
125 |
1.4. Вынести множитель из-под знака корня.
1) 4 81a16 ; | 2) | 6 64b18 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 |
| ; |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 5 | 1115 d10 | ; | 6) | 5 | 310 a5 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 4 | a12b4 | при a > 0, b < 0; | 8) | a6b4 |
56
5 | 192t | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 4 27a 4 3a3 | при a > 0; | 10) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6t11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16ab12 | 2a4b9 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | 16a5b7 | 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | ab | 3 | , если a > 0, b > 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2ab | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) 3 |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. Упростить выражения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) b 5,6 11b0,4; | 2) k 5,2 4k 0,1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) c4,5 13c 0,5; |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 8c 4 3c 4 ; | 6) b 3 b 9 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 2b7 : (0,2b7 ); |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) (a0,45 : a0,3 )2; | 10) (a2,05 a 0,85 )10; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 2,4 | 2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) a 2,5 : a | 3 | m | m | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| 1 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Найти: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наименьшее из чисел | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 1 | ; (3 | )4,7}; | 3 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) {( | ) | 2 | ; 4 | 5 | ; 2 | 3 | 2) {( | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 3)4,2;94 ; (3 3)4,7;33}; |
наибольшее из чисел
3) {(0,5)2,8; 40,1; 2 0,5; (0,25)0,25};
57
1 |
| 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.7. Представить в виде степени с основанием 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 23 | 1 | 1 | 1 | 3) 2 (8 23); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | 2 | 821/4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 248; |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.8. Представить в виде степени с основанием 3. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| 3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 35 33 :34; | 2)34 5 |
| : 4 |
| 3) (3 2,3 | : 3 | 5)2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | (31,3 30,45 )2 ; | 5) | 32,4 3 | 5 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.9. Найти значения выражений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 34а 3–2а | при а |
|
|
|
| 1 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 83b 8–5b | при b |
|
|
|
| 1 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | (a 2,3 : a 5 )2 | при a = 3; | 8) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1,5 | 0,5 | 2 | 1 | 1,5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a = 2; | (a | : a | 4 ) при a = 9; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | (a | : a | ) | 10) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 0,75 1 | 162 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | при a = 16; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12) | 1 a 0,75 | при a = 16; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 0,25 (a 0,5 a 0,25 1) |
58
a1,5 | 8b1,5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | 3b 2 при a = 4 и b = 25; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2a | 2 | b | 2 | 4b | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) | a 1 | : | 1 a |
| 4 | а | 2 при a = 81. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 3 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | 2 | a | 4 | a | 2 | a | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 2 | 1,5 | 1,4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 3 | 2 | : 3 | 3 | ; | 5) | 11 | ; | 6) | 6 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,3 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
610 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
9632 ;
2 123
22,4
10) 5 20,4 ;
1
13) 52 54;
3
105
2
252 273 62 ;
25
2
1
17)4 8 3 252;
27
1.11. 1) log77;
1
4) log0,3 0,09 ;
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 2 | ; | 9) | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
182 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | )6 2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | 7 | 4 | 2 | 3 | 12) | (3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1966 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
95/ 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 | 7 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) | 7 | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18) 64 | 9814. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) log164; | 3) log525; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) log625 |
| ; | 6) log0,532; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
59
7) log8 |
| ; |
| ||||
|
1.12. 1) log2 log2 42 ;
log2 log2 (26 16);
log3 log3 33;
1
1.13. 1) log3 54log3;
3575
3 log5 7
log5 20 log5 500;;3)log
7) log2 80log2 5;
9) 2log3 75 log3 |
|
| ||||
|
7
1.14. 1) log0,5 32log7 49 ;
3) log2 1log 1 9;
4
3
1
5) log 17 49 log64 16;
1.15. 1) log68 – log62 + log69;
log7 14 log7 49 log7 3,5; 4
5) log 1 54log1 2log 1 81;
333
7) log448 – log49 + log43;
9) log 1 | 9; | 10) log 1 | 1 | . | |||
32 | |||||||
3 | 8 | ||||||
2) log3 log3 3 33 ;
log5 log5 5 55 ;
log2 log5 5.
7
2) log12 144 log12 7;
11
3 (log1/ 2 27 log1/ 2 64);
lg50 lg 20;
1
8) log36 16log6 9 ;
log8 14 log8 32 ; 7
1
2) log16 8log25 5;
4) log 1 7log0,1100;
49
6) log | 1 | ||||||||||||||||||||
0,25 | 2 log | 0,5 |
| ||||||||||||||||||
3 | 2 | ||||||||||||||||||||
2) log3 15log3 5log3 1 ;
88
log496 – log43 + log42;
log390 – log32 – log35;
log565 + log510 – log526.
60
1.16. 1) 72 log7 5; | 2) | ( |
| )log5 16 ; | 3) | 101 lg5; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 4,5 | log4,5 | 9 | 15; | 8) | 6 4,5 | log4,5 9 | ; 9) | 3 6 | log | 6 | 4 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) 5log5 3 log2 8.
– В –
1.17. Вычислить.
3
83 250 25 2 (213)0;
2
42 18 27 3 320;
2 | 2 | 1 |
| 5 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||
3) 0,001 | 2 | 5 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ( 3) | 27 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
32 | 3 |
3
273 320 16 2 (252 )0;
5) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 3 | 6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5 | ) | 4273 | 3 | 8192 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0,5) | 5(2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 4 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 (70 )3 | 16 |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 4 | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1287 | 32 5 | 16 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | 32 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
61
9) | 20 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(25) | 2 9 (70)3 1251 27 9 2 32 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) | 36 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 7 | 6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(8 | ) | 42733 | 8192 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4 3 25 |
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(7,3 3 49 | 73 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) | 7 | 0,3 | 49 | ) 11; |
15)3812545 638 1210 616.
1.18. Найти значение выражения.
100 t 1 6t0,5 при t = 25;
10 t 0,5
25 d 1 4t 0,5 при d = 64; 5 d 0,5
16 p 1 10 p0,5 при р = 4;
4 p 0,5
49 d 1 6 p0,5 при d = 64. 7 d 0,5
Вычислить.
)log | 5 log3 81 ; | 2) 5log | 4 2 | 3 | 5log25 (2 | 4)2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.19. 1) ( |
|
|
| 3 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 7log | 2 log | 3 log | 10 ; | 4)13log | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 11log121( | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 7 | 7 | 13 |
62
4log2 5 3 2log16 (3 5)4;
(13)log13 (27 102 ) (5)log5 (62 11) ;
(7 )log7 (21 123) (3)log3 (13 43 ) ;
1001–lg2 +3log9 25 49log1/ 4 0,5 .
1.20. 1) (2 log25 1,4log5 71) 132 log13 6 ;
(2 log4 2,5 log 2 5 4) 93log9 2 ;
(3 log8 15 log2 60 3) 74log49 2 ;
(6 log27 5 log3 75 3) 52 log25 7 ;
1 | log7 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | (log7 245 log49 25 1) 5log25 4; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | (5 log2 48 log2 3) 6log2 6 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | (log3 108 2log9 5 2log3 2 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | (2 log25 1,6 log5 8 3) 62 log6 3. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.21. 1) | 25log6 5 49log8 7 ; | 2) (7 log13 7 | 5log14 5 ) |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | (121log4 11 49log3 7 ) |
| ; | 4) (3log16 9 | 7 log9 49 )2 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | log | 9 log | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(25 2 log5 32 log5 6 3log 3 5 ) : 7;
(27 2log9 20 log3 5 7log 7 5 ) : 23;
(8 6 log8 15 log2 5 7log 7 5 )2 .
63
1.23. 1) | log2 | 4 log2 | 10 | ; | 2) | log3 5 log3 | 7 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log2 20 3log2 2 | log3 35 log3 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log | 5 2 log5 | 72 | ; | 4) | log | 7 8 log7 | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log5 2 | log5 3 | log7 | 2 | log | 7 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log | 11 | 3 |
| log 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
| 11 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log11 9log1115
1.24. 1) 7log 7 2 log 7 3 log 7 10;
3log 3 4 log 3 2 log 3 20;
252log5 2 1 lg 25 2lg 0,5;
(log6 9 log6 4 2,7log2,7 3 )log5 7 ;
(log13 52 log13 4 7,8log7,8 5 )log6 5;
(log14 7 log14 2 3,5log3,5 6 )log7 3;
(log48 6 log48 8 2log 2 10 )log11 5;
(lg 2 lg 5 3log3 7 )log2 3;
(log12 3 log12 4 7log7 4 )log5 11.
1.25. Упростить и вычислить выражения.
|
|
| log9 25 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log100 a | log100 b | 2 logab (a b) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | (b |
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log4 n | log4 m | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | (m | log2 n | n | log2 m | )2logmn 3 при т = 7, | т = 0,2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log8 b | log8 a | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | (a | log2 b | b | log2 a | )3logab 5 при а = 0,5, | b = 0,2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log27 b |
5) (a log3 b b log3 a )3logab 2 при а = 4,3, b = 7;
64
2(loga b loga 9):(3loga 2 loga 8b) при а = 7, b = 3;
7) | 5 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.26. Найти значения выражений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 13 log96 | (276 | 2) | 4log57 | (1257 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3); |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 3 |
|
|
|
|
((9 log32 5) log135 3 log3 5) 11log1119;
((1 log22 7) log14 2 log2 7) 5log5 24;
7) | log2 (1 tg2 x) log 2 (1 ctg2 x) 2log2 (sin 2x) при х = 14 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 3log3 (3 tg2 x) log3 (3 ctg2 x) 2log2 cos2 3x при х = /3. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
1.27. 1) 2log4 ( x 2 |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
| 5log25 ( x 4 |
|
| 4log16 ( x 4 |
| |||||||||||||||||||||||||||
3) | 4log2 (6 | x 5 | ) 36log6 (3 2 | x 5 | ) прих=7; | |||||||||||||||||||||||||||
25log5 (6 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | x 1) 64log8 (3 4 x 1) при х = 2,1. |
1.28. 1) log214 – log25 log53 log37;
log436 – log29 log913 log136;
log336 – log37 log75 log54;
log535 – log511 log119 log97;
log11187 – log1117 log1723 log2317.
1.29. 1) | log 2 24 | log2 192 | 2) | log | 3 45 | log3 | 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log | 2 96 | log2 3 | 4) | log | 3 216 | log3 24 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log | 5 250 | log5 50 | 6) | log | 3 36 | log3 | 12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| log 4 3 |
|
65
7) | log62 7 | log | 8 7 | log6 7 | ; | 8) log22 3 | log5 3 | log | 2 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||
|
|
| log |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | log3 7 | log | 7 5 | log5 10; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
log3 5 log | 2 5 |
log22 6 log2 6 log2 3 2log22 3 . log2 6 2log2 3
1.30. 1) 3log5 7 7log5 3; 2) 11log3 5 5log3 11; 3) 5log9 7 7log9 5.
– С –
1.31. Упростить выражения.
(m n)2 4mn | ||||||||
2n | m | |||||||
1) n y m n : | y m2 n | 2; |
(5a4 / 3 )3/ 2 (a3a2b )4 ; (5a4 )3 (4ab )6
7 | 5 | 2 | 4 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | a 3 | 2a 3b 3 ab 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
: a 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 4 | 1 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | 3 | a | 3 | b | 3 | ab | 3 | a | 3 | b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | )2 4a | m n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | (a | m | a | n | mn | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | )1 (m | n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a |
|
| a | am 1 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ) (m | 3n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x | 9x | x1 m | x1 n | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | m | n | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| 1 |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m | 3 | 27m | 3 | n | n | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | 3 | m | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | : 1 3 | m | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m3 33 | mn 9n 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
66
p 3123
z p2 3 p : z 9 p2 z 3 p p2 ;
1 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b | 6 | 3 | b | 3 | b | 3 | b | 2 | b | 2 | 3a | 3 | ab | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2a2 b2 ab) 6 a9b4 | 2a | 2 | b | 2 | ab | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a b |
1.32. Вычислить.
log 3 (2 3) log3 (5 26);
2 log4 (8(7 3)) log4 (10 221);
2 log4 (8(7 5) log 4 (12 235);
2 log3 (37 810) log 3 (42 5);
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) log | log |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 3 | 11 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 2 | log | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 11log | 2 log3 | 6 | 1 ( | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 | 2 | 3). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.33. Найти.
log2784, если log27 = а;
lg5, если lg64 = b;
log604, если lg5 = а и lg3 = b;
log830, если lg5 = а и lg3 = b;
lg56, если lg2 = а и log27 = b;
log3200, если log35 = а и log23 = b.
1.34. Определить.
1
1) а = log0,30,09 и blog1/ 3 11;
67
a 8 и b = 2;
a = log34 и b = log45;
a = logn(n + 1) и b = logn+1(n + 2), n 2;
1 | log | 3 | |||
5) a 2log7 3 5 | 6 | и b 3log7 2 63 | 6 . |
Показательные и логарифмические уравнения
– А –
Решить уравнения.
2.1. 1) 2x | 1 | ; | 2) 3x |
| 3) 4x |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 9x 273 3; | 6) 6x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 625; | 216; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 2x | 1 x | 9) 2x 1 5x 200; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
512 | 2; | 8) | 64; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) 3x 5 7; | 11) 52x 1 |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) 17x2 1 1; | 14) 3x 5 |
| . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. 1) 2 |
|
|
| ; |
|
| 9 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 252x 4 | ; | 4) 82 3x 43 x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) (3 3)2x 4 9x 1; | 6) | (64)3 x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) ( | 2 | 1)3x (3 2 | 2 | )x 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) (2 3)7 x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 4 3 |
9) (52)3x 1(945)2 x ;
68
x | 4 | x 2 | 1 | 2x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
x2 2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
10) (9) | (27) | 3 ; | 11) 32 3х | . | ||||||||||||||||||||||||||||||
27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. 1) 3x 2 3x 216; | 2) | 5x 2 11 5x | 180; | |||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 3x 2 3x 1 3x | 39; | 4) | 4x 1 22x 3 62; | ||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 9x 1 32x 1 32x 3 33; | 6) | 52x 1 25x 1 126. |
2.4. 1) 6x7x0;
5x 2 3 x 2 ;
23 x (3)3 x ;
6x 6x 1 2x 2x 1 2x 2;
5x 2 3 5x 1 3x 2 3x ;
4x 1 22x 1 9x 2 25 32x 1;
3 | x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 33x 4 18 9 2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) 2x 3 2x 1 9x 1 6 32x 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 | 1 1 x | 1 x | x 1 | 3x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 10 | 3252 | 8 | 3 42. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5. 1) log3x = –1; | 2) log |
| (x 2) 4; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log2 (x2 3) 0; | 4) log1/ 2 (3 5x) 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) log | 5 | (x2 9) 2; | 6) log3 | (x2 16) 6; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | log | (x2 6x 2) 2; | 10) log | (x2 5x 8) 4. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6. 1) log1/ 2 (5 log3 x) 2; | 2) log3 (2 log1/ 3 x) 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log3 (1 log2 (x 1)) 1; | 4) log1/ 3 (2 log3 (x 1)) 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7. 1) log16 x log4 x log2 x 7; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | log4 | x log | x log9 x 26; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 |
69
log125 x 2log25 x 3log5 x 7;
log1/ 9 x 2log1/ 3 x log9 x 6;
4log3 x log1/ 3 x 2log 3 x 3.
2.8. 1) log4 log 2 log |
| x 0,5; | 2) | log2 log3 lg x 0,5; | |||||
3) | log2 log3 log4 x 0; | 4) | lg log2 (log3 |
| 1) 0; | ||||
5) | log2 log 22 (x 4) 0; | 6) | log1/ 2 (5 log3 x) 2; | ||||||
7) | log3 (2 log1/ 3 x) 1. |
– В –
Решить уравнения.
2.9. 1) | 5 x 1 | 9 x2 2x 11 | 5 9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 25 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x2 3x 2 | 16 | x 3 | 4 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 9 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 5 | x 17 | x 1 | 1 | 2x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)32 | x 7 | 0,25 128 | x 3 | ; | 4) 27 | 2x 5 | 9 | x 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
81 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 10 | x 5 | x | 25 x2 12 | 27 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 16 x 10 0,5 8 x 5 ; | 6) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0,6) | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 125 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.10. 1) | 2x 3 | 4x (0,125)1/ x | 43 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2; |
x x x
((527 ) 4 3 )4 3 4 37 .x
2.11. 1) 3|3x 4| 92x 2 ; | 2) | 2|2 x 1| 64 x ; | ||||||||||
1 | ||||||||||||
3) 52|x 1| | 5 125x 2 ; | 4) 3 |5x 3| 8 | log2 |
|
| |||||||
5) 2|3x 5| | 4 8|x 1| ; | 6) 5|2x 1| ( | 5 |
|
70
2.12. | 1) 2x 3x 2 6x 3x ; | 2) 2x 1 5x 2 0,2 101 x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 4x 3 5x 2 100 | ; | 4) 2x 8 53x 102x 4 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 32x 3 33x 1 625x 2 600x 7 ; | 6) 316 x 44 x 53x 5408 x. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 4 | 1 | x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13. | (5 |
| 2 | (0,2) |
| 2 | ) |
| 125 (0,04) |
| . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.14. 16 ( |
| )x 4 22 23 ... 2x 1, х ℕ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 73x 9 22x 52x | 9 73x ; | x | 1 | x | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15. |
| 2 2 | 2 8 32 x ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 5x |
| 9x 32x 2 5x |
| ; | 4) 3x2 2 2x2 1 2x2 1 3x2 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.16. |
|
| 3) 52( x 3) 79 x2 | . |
x2 x 1 2x 3 2.17. 1) (x 5) (x 5) ;
2.18. 1) 49 72x50 7x10;
52x 4 5x 5 0;
72x 6 7x 5 0;
3 52x 1 2 5x 1 0,2;
| x 3 |3x2 10x 3 1;
| x 2 |2x2 x 6 1.
2) 4x2x 148;
22x 14 2x 2 29;
4x 2x 1 80;
52x 1 575 5x 1 250 0;
9) 82 / x 2 | 2x 3 | 3 21 | 24 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 0; | 10) 4 | 2x 1 | 2x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
11) | 3x |
|
| 3 0; | 12) |
| ||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| 1 |
| 15 4х 4. |
| ||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x x2 2 5 2x 1 x2 2 6;
(11 62)x 6(3 2 )x 7 0;
9 23x2 2 x 2 43x2 2 x 1.
71
2.19. 1) 2x 2 x | 15 | ; | 2) | 3x 3 3 x 1 8 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 101 x2 | 101 x2 |
|
| 3 |
| 31 |
| 26 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 3x 1 18 3 x 29; | 8) | 23x 3 5 6 23 3x 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 3 22 x 2x 1 5 0; | 10) 2x 3x log3 2 62 x 3 0. |
2.20. 1) (3 8 )x(3 8 )x6;
(4 15)x (4 15)x 62;
(35 24 )x (35 24 )x 10;
(52 7)x 6(52 7)x 7.
2.21.1)4х+36х–49х=0; | 2)4х + 10х – 2 25х = 0; | ||||||||||||||||||||
3) 24х – 7 4х 3х–1 + 4 32х–1 = 0; | 4)32х+3–306х+84х=0; | ||||||||||||||||||||
5) 3 16х+ 2 81х = 5 36х; | 6) 8 9х +6х+1 = 27 4х; | ||||||||||||||||||||
7) 4–1/х + 6–1/х = 9–1/х; | 8) 5 32х + 15 52х–1 = 8 15х; | ||||||||||||||||||||
9) |
| 4x |
| 9x ( |
|
| |||||||||||||||
10) | 24х–310х=525х; | 11)54х+2310х–1025х=0; | |||||||||||||||||||
12) | 49х+1312х–1216х=0. | ||||||||||||||||||||
2.22. 1) 22x2 | 2x2 2x 2 25 4 x ; | ||||||||||||||||||||
2) 32x2 | 2 3x2 x 6 32( x 6) 0. |
2.23. 1) x2 22x 1 12x22x 1 1x2 2x 2 ;
x2 2x 1 2|x 3| 2 x2 2|x 3| 4 2x 1.
2.24. 1) 9x10 3x21 92 3x ;
4x 2x 3 8 3 2x 1 ;
2 4 3x 4 32 x 4 33x 34 x ;
72
7 2x 9 2x 5;
24 3x 2 9x 5 2 3x ;
11 25x 102 5x 1 2(3 5x 1).
2.25. 1) log3(1 + log3(2x – 7)) = 1; | 2) log2(2 4x–2 –1) = 2x – 4; | ||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||
|
2.26. 1) logx+1(x2 + 8x + 37) = 2;
logx+2x2 – x – 13 = 1;
logx+2(2x2 – 4x + 11) = 2;
4) log 1 10x223x142.
4 3x
2.27. 1) log2(3x2 – x – 4) = log2(1 – 3x);
log1/3(x2 + 4x – 3) = log1/3(3x – 1);
log (2x2 + x – 7) = log (2x + 3);
log9(x2 + 2x – 11) = log3(2x – 8);
log25(4x – x2 + 5) = log5(1 – 2x);
x
6) log5 (x 1) log5 x 1 .
2.28. 1) log2(x – 3) = log1/2(3x – 5);
log3(2x – 3) = log1/3(3 – x);
log2(x + 2) = log1/4(3x + 4);
log3x – 2log1/3x = 6.
2.29. 1) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3;
log2x + log2(x + 2) = 3;
log6(x + 1) + log6(2x + 1) = 1;
log3 x + log3(x – 2) = log3(2x – 3);
lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(1 – 2x);
log2(x –1) + log2(x + 1) = 3.
2.30. 1) lg(x31)1 lg(x2 2x 1) lg 3;
2
73
2) | log2 | x 2 | 1 log | 2 | 3x 7 | ; | |||||||||||||||||||
x 1 |
| ||||||||||||||||||||||||
3) | 2log2 | x | 7 | log | 2 | x 1 | 1; | ||||||||||||||||||
x | 1 | ||||||||||||||||||||||||
x 1 |
log3 (5x 2) 2log3 3x 1 1 log3 4;
lg(3x 2) 2 1 lg(x 2) lg 50;
2
log2 182 2log2 5 x log 2 (11 x) 1;
lg(x3 8) 0,5lg(x2 4x 4) lg 7.
2.31. 1) log2(x + 2)2 + log2(x + 10)2 = 4log23;
log22 (x 1)2 5 log0,5 (x 1);
lg(3x 4)2 lg(2x 4)2 2;
2log3 (x 2) log3 (x 4)2 0;
25log322 (x 7)4 16log4 (x 7)2 96.
2.32. 1) lg2x – lgx – 2 = 0;
log52 x 2log5 x 0;
lg2 (2x 1) lg(x 0,5) lg 2;
(log2 x 2)log2 x 2log2 3;
7) log2 | x log | (9x3 ); | |||
3 | |||||
3 |
7
2.33. 1) log x 2log4 x0;
3) log3 xlog x 93;
2.34. 1) log9x xlog x 3;
3) log x 3 3log3x 7 3;
log22 x log2 16 2; x
log12/ 3 9x log3 x2 8; 27
8) log22 4x4 log4 x12.
log2 x log x 2 5 ; 2
4) 2log x 2 5 1log5 (x2).
2) log3x 5 2log x 1 2;
32
log3xlog3 x 1;
x
74
log3x2 (9x4 ) log x2 / 3 x2 0;
log1/ 2 x2 14log16x x3 80log4x x 0.
2.35. 1) || log5 x | 1| 1log25 x;
2) 1 | log 3 x 1| | log3 x 1|.
2.36. 1) 3 xlog2 9 5 3log2 x 2 0;
25 xlog7 25 24 5log7 x 1 0;
49 (x 1)log3 49 97 7log3 ( x 1) 2 0.
2.37. 1) log3x 7 (5x3)log5x 3 (3x7)2;
log1 2x (6x2 5x 1) log1 3x (4x2 4x 1) 2;
log3x 7 (9 12x 4x2 ) log2x 3 (6x2 23x 21) 4;
log3 4x2 (9 16x4 ) 2 log2 (31 4x2 ) .
2.38. 1) | log2 | x | ; | |||||
log2 x | ||||||||
|
1 2log9 x 4 log3 x 3;
log x 0,5x log0,5 x 1.
– C –
2.39.1) lg 2lg(4x 29)1lg(2x 21);
2) log3 (9x9)xlog1/ 3 (282 3x );
3) | log | (4x 6) log | 5 | (2x 2)2 | 2. | |||||||||||
5 | ||||||||||||||||
2.40. 1) xlog 2 x2 1 2x log2 x; | ||||||||||||||||
2) | log2 x log3 x log 2 x2 log3 x3 6; |
75
3) | log3 x log4 x log3 x3 log 4 x4 12; | ||||||||||||||
x | x3 | 1 | |||||||||||||
4) | log3 | log | 2 | x log3 | log | 2 | x; | ||||||||
3 | |||||||||||||||
3 | 2 |
log3 x log5 x log5 25 log3 x2 2.
5x3
2.41. 1) lgsin xlg cos xlg 2;
log3 sin x log1/ 3 ( cos x) 1 ; 2
log2 sin 2x log1/ 2 cos x 1 ; 2
1 log3 (5cos2 x 3cos x 1) log3 (1 2cos x);
log2 (15sin2 x 7sin x) 1 log2 (3sin x 1).
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x | 2log3 | x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 | 17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | log | 7x x2 (1 sin 2x sin x cos x) log 7x x2 (cos 2x); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | 25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log | 2x | (1 sin x cos x) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 cos | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | 2 4x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log | sin x | 1 | 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.43. 1) 3x 32 x 3(1 cos 2 x); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) log2[x(1 x)] | sin | 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
76
2x 2 x 2cos x ; 3
4) | 1 x2 2x | (x 1) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | sin | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 3 log14/ 2 (x2 x 1) 3 | cos( (x 1))cos 2x |; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | log3 (x | 2 | 2x 10) | x | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 sin | cos | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 2 | x2 6x 11 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
| cos |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 |
2.44. Решить уравнения.
2 22cos x 3 2cos x 1 0;
3 32sin x 10 3sin x 3 0;
42 cos2 x 12 16cos 2 x 5 0;
43 2 cos 2x 2 7 16sin2 x.
2.45. Найти корни уравнения 4cos 2x 4cos2 x | 3, лежащие на от- | ||||||||||||||||||||||||||
резке [6; 3 ]. | |||||||||||||||||||||||||||
2.46. Решить уравнения. | |||||||||||||||||||||||||||
1) (ctgx)2sinx = 1; | 2) | (1 – sinx)cosx = 1; | |||||||||||||||||||||||||
3) 2|x 3|cos x | )x|cos x|; | 4) | 5 |2x 3|sin x | 1 |x 1|sin x | |||||||||||||||||||||||
( | 2 | . | |||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||
2.47. 1) 7x | ; | 2) | 3x 2 | 9 | ; | ||||||||||||||||||||||
52 3x | |||||||||||||||||||||||||||
3) 25 2x 3x 4; |
|
| |||||||||||||||||||||||||
5) 8x + 18x = 2 27x; |
|
77
Показательные и логарифмические неравенства
– А –
Решить неравенства.
3.1. 1) 2х 8; | 2) 3x | 1 | 3) | 1 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | 4; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 4x | 6) 9x 27; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 27 | 32 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 5x | 1 | 1 | 2x 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) 32 x 2; | 4 3x 1 | 27 | 3 2x 5 | 25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | ; | 12) | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 | 2 3x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2x 1 | 15) 32x 1 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) 2 3 x | 14) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4; | 27; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) | 1 x | 17) | 3 5 2x | 9 | 18) 5 | x2 | 1 | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 4 х |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) | 27 ; | 20)32 | 3 | 3 ; | 21) (0,2) x 2 5 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 3 6x 10 x2 | 27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22) 2 | > 5; | 23) | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 64 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24) | 1 log3 (x2 2x 3) | 1; | 25) | 3 | log | ( x2 | 3x 2) | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
1 | x2 | 2 x | 1 | 16 x | 2 | х2 | |||||||||||||||||||||||||||
26) | ; | 27) | х 24 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||
(6,25) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 9 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 x 1 | 1 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||
16 x 0,125 ; | 1 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
28) | 29) | . | |||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
78
3.2. 1) log2 x 4; | 2) | log1/ 3 (x 1) 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log3 x 1; | 4) | log1/ 5 (3 x) 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log4 x |
| ; | 6) | log1/ 7 (3 2x) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | log5 (x2 2x 3 1; | 8) | log1/ 2 (x2 9) 4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | log3 (2x2 x 9) 3; | 10) | log1/ 3 (7x x2 1) 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | log3 (6x 5) 1; | 12) | log1/ 7 (5x 3 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | log2 (x2 2x) 3; | 14) | log1/ 6 (x2 3x 2) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | log3 |
|
| 16) | log1/ 4 |
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | x 3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) | lg(x2 2x 2) 0 ; | 18) | log 5 (x2 11x 43) 2 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) | 2 log 2 (x2 3x) 0 ; | 20) | log4 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21) | log2 |
|
|
| log8 (x2 4x 3) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23) | log1/ 3 | 2 3x | 1; | 24) | 35 x2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
log0,25 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– B –
1 | 1 | ||||||
3.3. 1) | x 1 | x 2 | |||||
2 | ; | ||||||
16
2x2 6x 0,5 (162) 1;
5) 2x2 4 х8;
7) (0,25)2 5x 14 25x 1 ;
3.4. 1) log1/ 3 (log 4 (x25))0;
1 | 1 | ||||||
2) | x 2 | x 3 | |||||
5 | ; | ||||||
25
317x 2x2 1 (3 33) 6 ;
6) 3x2 9 2x(93)2;
1 | 1 | 1 | 2 3x | |||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 2 3x | |||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | log | 1/ 6 | log | 6 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
x 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
79
x | 1 | 2 | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) log | 2 | log | 1/ 3 | 1; | 4) log | log | 1/ 3 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 4 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5. 1) log3 x 2log | x log1/ 3 х 6; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
log1/ 5 x log25 x log1/ 25 9;
log1/ 2 x log16 x log1/ 4 x 2,5.
3.6. 1) 42x 4x 6; | 2) | 1 | 2x | 1 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 28 | 40 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 52x 3 2 5x 2 3; | 4) 92 x2 5x 32x2 5x 1 4 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 4x 2x 1 8 0; | 6) | 1 x | 1 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 52 | x | 5 5 | x | 1 5 | x | ; | 8) 52x 1 5x 4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 9x 2 3x 3 0; | 10) 3 4x 7 2x 1 5 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) 4x 7 2x 12 0; | 12) 22x 13 2x 2 |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) 491/ x 343 342 71/ x. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.7. 1) 2x 2 x 3; | 2) | (0,1)x 1 0,8 2 10x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3x 2 31 x ; |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 7 |
|
|
| 13. |
3.8. 1) 8 9x6x 127 4x ;
3 16x 2 81x 5 36x ;
63 9x 370 21x 147 49x 0;
5 4x 7 10x 2 25x 0;
32x 1 4 21x 1 72x 1 0.
3.9. 1) |
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
3x 5 3x 1 |
| 2x 1 2x |
80
3) | 6 | 2x ; | 4) 21 x 2x 1 0; | |||||||||||||||||
2x 1 | ||||||||||||||||||||
5) | 7 | 2 | . | |||||||||||||||||
9x 2 | ||||||||||||||||||||
3x 1 |
3.10. 1) (20x – 25x2 – 3)(log35x)0;
(9x2 – 9x + 2)(log23x) 0;
(x2 – 7x + 10)(5x – 25) 0;
4) | 9 x2 | 0; | |||||||||||||
log3 (x 1) | |||||||||||||||
x | x | ||||||||||||||
6) | xlog8 | 1 | 3log | 2 |
| ||||||||||
5 | 5 |
(lg x 1)(x2 11x 10) 0; (2x 2)2
(5 7x )log3 x 0;
2 10x 9
10) | xlog | x | x | ||||||||||||||||
3 | 2 | 8log1/ 9 | 2 | . | |||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||
3.11. 1) | 5х 1 | 1; | |||||||||||||||||
2 5x | 4 | ||||||||||||||||||
log5 (x2 3) 0; 4x2 16x
(2x 1)3 (5 x)2 0;
2x 1
2) 9 x3x 23x9 ;
3) | 2 2x 3 3 2x 7; | 4) | 4x 2x 3 8 3 2x 1 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
|
| ; | 7) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
4x 5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 4x 1 8 |
3.12. 1) log5 (x22x3)log5 (x1);
log1/ 3 (3x 5) log1/ 3 (x2 1);
log3 (x2 3x 4) log3 ( x2 6x 11);
log1/ 2 (x2 3x 2) log1/ 2 (6 x2 4x);
81
log0,1(x2 x 2) log0,1(x 3) ;
log1/ 2 (x 1) log2 (2 x);
log4 (x 7) log4 (3x 5);
8) log 1 | x2 6x | 9 | log2 | (x 1) . | ||
2(x 1) | ||||||
2 | ||||||
3.13. 1) lg2 x3lg x40 ;
log02,5 x log0,5 x 2 0 ;
a) lg 2 x3 2 lg x5 2 log 3 3 0 ; б) lg2 x3 2lg x5 2log3 3 0 .
а) log32 3x log3 x 3log3 5 ;
б) log32 3xlog3 x3log3 5;
lg2 (2x 1) lg(x 0,5) lg 2 ;
lg(x 1) lg(x 2) lg(x 2) ;
log2 (2 x) log 1 (x 1) log 2 3;
2
1 log2 (x 2) log2 (x2 3x 2) ;
log7 x log7 (2x 5) log7 2 log7 (x 3) ;
log 1 (x 1) log 1 (x 1) log3 (5 x) 1.
3
1
log4 x log4 4 x 2 ;
log 2 x2 log 2 (x 1)2 2 .
3.14. | 1 log4 | x | 1 | 1 | 2lg x 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | ; | 2) | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log2 x | 2 | ; | 4) | lg(x2 ) 2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(log2 x) 2 | (log2 x) 6 | 4 3lg(x4 ) | 2 |
82
3 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. | 1) | 1 | 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x) 1 | x | 3 x) 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(log | log3 | (log | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log2 2x |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.16. | 1) | log0,2 (x 2)2 2 | 4log5 | x 2 | 8; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) log0,25 (x 3)2 2 16log4 | x 3 | 12 0. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.17. | 1) | log3 |
| log5 x log5 45log3 x 1 2log5 3; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
log3 16 log4 x log4 24log3 x 2log3 24. x
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log 2x 3 x2 | 1; | 6) | 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
log x 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 2х | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 2x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log x 2 4 | 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8) log( x–3)(2(x2 – 10x +24)log(x–3)(x2 – 9);
5x7
9) log x 11 .
3.19. 1) (3 + x – 2x2)logx+2(3x + 5)0;
3.20. 1 + log0,5(8 – x) < log[(x+1)(x–2)](x2 – x – 2).
1
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.21. 1) x logx | 3 | 27x4 ; | 2) x logx | 33 9; | 3) x | 2 log3 | x | 2. | |||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
83
3.22. 1) (x 3)log2 (3x 1) (x 1)(x 1)
3
(x 1)(x 2) | |||||||||||||||||||
| log2 | (3x 1) | | ; | |||||||||||||||||
x 3 | |||||||||||||||||||
(x 1)(x 2)log x2 | 2 | x2 | 3x 1 log|x| | |||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||
2) | x2 | . | ||||||||||||||||||||||
| x 2 | | x 2 | |||||||||||||||||||||||
3.23. 1) log2(5x + 1) 7 – x; | 2) log1/3(3 – 2x) –(8 + 2x); | |||||||||||||||||||||||
3) log3(2x – 3) < 4 – 2x. |
3.24. 1) 4x23 x 1x 3 x2x2 3 x2x6;
2) 4x82x24(x2x) 2xx2x2 2x 1.
4. Системы показательных и логарифмических уравнений
– А –
4.1. Решить системы уравнений.
x | 2 | 2 y | 65, | ||||||||||||||||||||
1) | 3 | ||||||||||||||||||||||
|
|
| y | ||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
3) | 5 | ||||||||||||||||||||||
x | y | ||||||||||||||||||||||
5 | 180; | ||||||||||||||||||||||
6 |
1
5)2 log 2 x log 4 y 0,
|
| 5y |
| 4 0; | ||||||||||
1 log7 y | ||||||||||||||
7) x | 49x, | |||||||||||||
log | 7 | y log | 7 | x 1; | ||||||||||
x | 2 | 2 y | 77, | ||||||||||||||||||||
2) | 3 | ||||||||||||||||||||||
x / 2 | y | ||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||
2 | x | ||||||||||||||||||||||
4) | y | 4 | 8, | ||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||
x2 2xy | |||||||||||||||||||||||
6) | 3 | 1, | (5x 1); | ||||||||||||||||||||
2log | 3 | ( y 2) log | 3 | ||||||||||||||||||||
2log25 x log5 у 1,
6x y 1;
84
log | x | y log | y | x 2, | log | 3 x log3 y 1 log3 2, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 10) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.2. Решить системы уравнений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | x y log | 2 | 3 1 2log | 2 | 3, | log y x 2, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
53x 2 y 3 1; | 4x | 49 y 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y | log 2 x 4, | x y | 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 4 | 8) | y2 x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 2 y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log | 4; | x2 y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
– С –
Решить системы уравнений.
| 2 |
| y 0, |
|
| 1, | ||||||||||
| x 4 | y 1; | y log | 2 | (4 x) 1. | |||||||||||||
5|x2 2x 8| log5 9 3 y 4;
4.4. 1)
3 | y1| 2 | y | ( y1)28;
7|x2 3x 28| log7 4 2y 6 ;
2)
| y3 || y1| (y2)26.
85
64x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.5. 1) | 3x 2log | log | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctgx ctg( y 5); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2log9 3 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4log | 6x | 27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg4x tg | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | log1 | y5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4x) 25 |
| , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
6x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2log | 3х, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log | x2 y | |
4.6. Решить систему уравнений | ||
log | y x | 2 |
(xy)log 4 (xy),
( yx)log y x2 (2x).
ответе записать величину х + у.
Уравнения и неравенства
параметрами
– В –
Решить уравнения при каждом значении параметра.
5.1. 1) (2х + 2а – 1)(а + 1 – 2х) = 0;
(2–х + 3с + 4)(5 – с – 2–х) = 0;
(3+2а–3х)(3х–3а+4)=0.
5.2. 1) 16–х – 4b 4–x = 7b + 6;
alg2(x2 + 10) + lg(x2 + 10) + 8a + 1 = 0;
a 25x2 1 5x2 1 15a 1 0;
9 |x 2| 4 3 |x 2| a 0;
4sinx – a – 3 = (a + 2) 2sinx;
6) | 1 cos x | c 4 (2c 6) 3 | cos x | |||
4 | . | |||||
9
86
5.3. Найти все значения параметров, при которых уравнения имеют хотя бы одно решение.
(а–3)4х–86х+(а+3)9х=0;
(а + 1)(а + 2) 24х – (16а + 32) 2х2 = 0;
(а2 – 4) 3–2х + (а2 – 3а + 2) 3х2 = 0.
5.4. Найти все значения параметров, при которых уравнения имеют единственное решение.
x 3 | (c 2) 3 x (1 c)(2c 1) 0; |
1)279 2 |
(х + а)(log2(x – 1) + 1) = 0;
2 9x (a 16) 3x a2 8a 0.
5.5. Найти все значения параметра р, при которых уравнение p log22 x ( p 3)log 2 x 1 0 имеет решение на полуоси х > 1.
5.6. Решить уравнения при каждом значении параметра.
1) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 4 | 2x 1 2x 1 | 4x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x 2a 2x a2 4 0.
2 5x 6
5.7. Для любого допустимого х найти у, удовлетворяющий уравнению.
1) | 2x2 3x log2 y 2log 22 y 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | log|x| (x( y2 2 y 2)) 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log x y log y | x | 10 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log | x | log | y |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
y | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
87
Решить уравнения при каждом значении параметра.
5.8. 1) (log3 | (x 5) 2) | x 3a |
|
(log3 (x 15) 2) x 2b 0;
b 3x
(lg2 (x 1) lg(x 1)3 2) x a 0;
(log32 (x 6) 6log 3 x 6 8) x c 3 0.
5.9. 1) log4 (x5)log0,25 (| ax | 3);
log3 (6 x) 2log9 (3 | b x |);
logd (4x d ) logd (x2 4);
log3 (31 | x2 6x 5 |) c;
| 49 x 4 7 x 5 | a.
5.10. Найти наименьшее значение р, при котором уравнение log3(х2 + pх + 3) = 2 имеет решение на отрезке [1; 3].
5.11. Найти значения параметра р, при которых расстояние ме-
жду решениями уравнения x2 x log2 |
| log |
| ||||
|
больше 3.
5.12. Изобразить на плоскости множество точек А (х; у), коор-динаты которых удовлетворяют уравнениям.
log x (4x 2 y y2 ) log xy (x2 y2 );
log xy ((x 1)2 2 | y |) log xy (1 y2 );
log y x 7 (x 6 y) log y x 7 (y2 7);
4) log |x| (5xy x2 y y2 x) log x | 6(5 x y). | |||
y | y |
5.13. Решить неравенства при каждом значении параметра а.
88
1) (a6) 2 x 3a2;2) (a5)(2a3) 4 x 2.
5.14. Решить неравенства при каждом значении параметра.
x lg2 (x a) | 2 | x a | ||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 0; | 2) | ( x | 5x 6) | 0; | |||||||||||||||||||||||||||||
x 4 | log3 (x 2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | (x 1)log32 (x a) | 0; | 4) | x2 | log1/3 (x a) 0; | |||||||||||||||||||||||||||||
x 2 | x 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5.15. Найти значения параметра, при которых неравенства вы-полняются при всех х ℝ.
a 9x (1 a) 3x 7 a 1 0; 4
c 5 x (5c 3) 5x c 1 0;
2(a 1)x2 2a 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | log | 3a 6 | 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4a 5)x2 2x 4a 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | log | 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | log b 1 (x2 3) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | log 1 | (2 | x | 6) 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a(a 1) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.16. Изобразить на плоскости множество точек А (х; у), коор-динаты которых удовлетворяют неравенствам. В ответе указать площадь полученной области.
log|x| | y| (x2 y2 ) log|x| |y| (2x);
log xy 1 | x y 3| logx x2 log y y.
5.17. Найти значение параметра р, при котором число х = 1 яв-ляется решением уравнения
89
3log xp 4 ( p2x)log p 2x ( p 4x)2log4 p 5x (xp 5)2.
В ответе записать наименьшее целое значение р.
5.18. Найти значение параметра р, при котором число х = 2 яв-ляется решением неравенства
log| p| ( px3)log p2 (x38x27p) .
В ответе записать наименьшее целое значение р.
5.19. Найти значение у, при которых неравенство
y log 22 x4y log2 xy270
выполняется при всех х > 0. В ответе записать наименьшее воз-можное значение у.
5.20. Совокупность точек А (х; у), координаты которых удов-
log2 xlog2 (2x3y),
летворяют системе неравенствlog3 (x 2 y) log3 (3 y), образу-x p,
ют область на плоскости. Найти площадь этой области в зависи-мости от р.
5.21. Числа х и у удовлетворяют неравенству х2 + у2 1. Найти наибольшее возможное при этом значение выражения f(x,y) = = log2|x + y|.
5.22. Числа х и у удовлетворяют неравенству х + у 18. Найти наибольшее возможное при этом значение выражения f(x,y) = = log3x + log3y.
5.23. Найти значение параметра, при котором неравенство вы-полняется для всех х ℝ.
log3(x2 + 1) + log3 6 log1/3 (2bx2 x 2b);
1+ log53 – log1/5 (x2 1) log5 (3cx2 4x 3c).
5.24. Решить системы уравнений при всех значениях парамет-ра а.
90
1 | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 11cos y c, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 5 7 | y | d, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 6 5 | 2) | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
5.25. Найти значение параметра, при котором системы уравне-ний не имеют решений.
1) | 2 3x (9a2 2)log7 ( y 3) 3a, | |||||||||||||||||||
(y 3) 1; | ||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||
(a2 | 1 | y | ||||||||||||||||||
2log | 5 x | 2) | 6a 2, | |||||||||||||||||
| 1 y |
| ||||||||||||||||||
log5 | x | 5. | ||||||||||||||||||
|
5.26. Найти значение параметра, при котором системы уравне-ний имеют единственное решение.
x | log2 ( y 2) a 1, | y | log5 | (2x 4) a, | ||||||||||
1) | 3 2 | 2) | 5 | |||||||||||
log | ( y 2)2 | 1; | (2x 4) 2. | |||||||||||
2x | 2 | 2 5y log | 5 | |||||||||||
5.27. Найти значение параметра, при котором уравнения име-ют единственное решение.
1) logcx 7 | 1 ; | 2) logkx 7 | 1 | ||||||||||||
8x x2 15 | 6x x2 8 |
| |||||||||||||
2 |
log1/ 9 (x2 x 12) log9 (kx 37) ;
1
1 log1/ 2 kx 5 2 log2 (4 x) 0.
5.28. Найти значение параметра, при котором уравнение:
(b – x + 2)(log3(6 – x) + 1) = 0 имеет два различных решения;
lg(x |x – 2|) = lg х а имеет три различных решения;
2
log2(x2 + |x| – 2) = log2 х а имеет два различных решения.
2
91
5.29. Найти все значения параметра а, при которых неравенст-во 56 3х > 9x – a не имеет ни одного целочисленного решения.
5.30. Найти все значения параметра b, при которых наименьшее значение функции
= log2(1 + 3sin2x)[log2(1 + 3sin2x) – b – 1] – b2 + 3b + 7
равно 2.
5.31. Найти все значения параметра d, при которых наименьшее значение функции
1 | 8 | 1 | 8 | |||||||||||||||
y log | cos2 x | log | cos2 x | d 3 d2 | d 11 | |||||||||||||
1/ 3 | 9 | 81 | 1/ 9 | 9 | 81 | |||||||||||||
не меньше (–1).
5.32. Решить неравенство logpx > logxp для всех значений р.
5.33. При каких значениях параметра р уравнение
x | px | ||||||||
log | 2 sin | log3 | cos | 0 | |||||
2 | 1 x2 | ||||||||
1 x |
имеет решение? Найти это решение.
5.34. Пусть х – решение неравенства
1
log2 (sin( px)cos( px)).
Для каждого целого р > 2 найти максимальное значение величины f(x) = x(2 – x).
5.35. Для каждого допустимого р найти область значений функции f(x) = logp(x2 – 2px + p2(1 + 2p–1)).
5.36. Найти наибольшее значение х, удовлетворяющее неравен-ству у2log2(x + 1) + 2ylog2(x + 1) + log4(x + 3) 0 при всех у.
92
Построение графиков
– А – | |||||||||||||||||||||||||||||
Построить графики функций. | |||||||||||||||||||||||||||||
6.1. 1) у = 2х; | 2) у = 2–x; | 3) у = 2х–5; | |||||||||||||||||||||||||||
4)у=2х–5; | 5)у=2х+1+3; | 6)у=5–2х. | |||||||||||||||||||||||||||
1 x | 1 | x | 1 x 4 | ||||||||||||||||||||||||||
6.2. 1) y | ; | 2) y | ; | 3) | y |
| |||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
1 x | 1 x 4 | 1 x 2 | |||||||||||||||||||||||||||
4) y | 2; | 5) | y | 1; |
|
|
| ||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
6.3. 1) y = log3x; | 2) y = log3(–x); | 3) y = log3(x – 3); | |||||||||||||||||||||||||||
4) y = log3(x) – 3; | 5) y = log3(x + 2) +1; | 6) y = 3 –log3(x – 1). |
6.4. 1) y log 1 x; | 2) | y log 1 ( x); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y log 1 (x 4); | 4) | 4; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y log | 1 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y log 1 (x 2) 3; | 6) | y 2 log 1 (x 4). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.5. Построить графики функций и уравнений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | y 2|x| 1; | 2) | y 2|x 2|; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | | y | 2|x| 1; | 4) | y 2cos x ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 sin2 x | 6) |y + 2| = 2 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y | ; | – 4. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
6.6. Найти области определения функций.
1) f (x) 0,5x 30,5;2) f (x) 52x 31;
93
|
|
| 1 | |||||||||||||||||||||
3) f (x) 1 6 | 36 | . | 4) | f (x) ln | 9 | . | ||||||||||||||||||
27 |
f (x) x 3 log2 (x2 8).
x 2
6.7. Найти область значений функций.
y 2sin x ; | 1 1 x2 | y 16x | 2 | x ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | 2) | y | ; | 3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 cos2 x | x2 |
|
| 6x x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | y | ; | 5) | y (4) | 2 ; | 6) | y | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.8. Найти области значений функций. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | y log 2 (x2 16); | 2) | y log1/ 2 (16 x2 ); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y log3 (cos2 x); | 4) | y 3 2x2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y 4 log3 (x2 6x 18). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.9. Найти области значений функций. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | g(x) log 1 (4 x2 ); | 2) g(x) = 2x + 2–x; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | g(x) 3 |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | g(x) log | 30 | 4 log4 | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,25 |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | g(x) log |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 | 1 | ln x | | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.10. Найти количество целых чисел, принадлежащих области | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x cos x 3 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значений функции g(x) 16log 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
94
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ, СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Область определения функции
– А –
Найти область определения функции.
1.1.1) у 23х;
3) у 23х5х2;
х 3
у x 1 8 2x x2 ;
у | x 2 | 3 ;
9) у| х1|| x2 | ;
x3
1.2. 1) y = tg3x;2) y = ctg
y 1 ; cos x
2) | у | 1 х | ; | |||||
2х 2 | ||||||||
4) | у | (x 2)(3 х) | ; | |||||
x 1 |
у x 2 х 1 ;
x 3 | |||||
8) у | х 1 | 4 ; | |||
x 2 | |||||
у 6 х x2 .
| x 1| | |||||||||||||||
| ; | 3) y = tg(2x – 3); | |||||||||||||
2 | 1 | ||||||||||||||
5) | y | ; | |||||||||||||
2x | |||||||||||||||
sin | |||||||||||||||
3 |
6) y | 1 | ; |
sin x cos x | ||
y sin 2x 1; 1 x
y cos 1 ; x
1 | |||||||
9) y cos | . | ||||||
2 | x | |||||||
3 | |
1.3. 1) у = arcsin(3x + 2);2) y = arcсos(3 – x2);
95
x | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y | arccos | 5 | ; | 4) | y arcsin | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 3 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y | arccos x | ; | 6) | y arcsin | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | y arccos | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. 1) y |
| ; | 2) y | 3 ; | 3) y |
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 4 | 1 | 3x | 16 x 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. 1) y = log2(3 – 2x); | 2) y = log1/3(5x – 2); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) y = log4(x2 – 3); | 4) y = log1/2(3x + 1); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | x 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) y = log3(4 – x | ); | 6) | y lg | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) y = log1/3(2x – 8); |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | y | 1 | ; | 10) | y | 1 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log5 (5 x2 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log1/ 75 (3x 5) |
– В –
1.6. Сколько целых чисел принадлежит области определения функции.
x 1 | arccos | x 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | у arcsin | ; | 2) | y | x 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y log10 | ( | 3) ; | 4) | y log3 (sin(arcsin(2x 3))); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log2 | 1 sin | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y | . |
32xx2
1.7. Заданы функции f(х) и g(х). Найти область определения функций при: а) f(х) g(х); б) f(х) : g(х); в) f(g(х)); г) g(f(х)).
96
1) | f (x) | x 1 | , g(x) = x2 – 3; | ||||||||
2) | f (x) | x 1 | , g(x) = |
|
| ||||||
x 2 |
f (x) x 1 8 x , g(x) 1 ; x
1 | ||||||||||||||||||||
4) | f (x) | , g(x) x 2 1 x ; | ||||||||||||||||||
x | |
| |||||||||||||||||||
5) | f (x) | 1 | , g(x) | x 1 | . | |||||||||||||||
| x | | x 4 | 4 | ||||||||||||||||||||
1.8. Найти все значения х, для которых число x2 не принадле-
жит области определения функции: |
| |||||||||||||||||||
|
|
|
| 2) y arcsin(2x 3); | ||||||||||||||||
x 3 | ||||||||||||||||||||
3) y |
|
|
| |||||||||||||||||
log3 (x 3) | ||||||||||||||||||||
5) | y | x 2 | log 2 | x 1| . |
1.9. Область определения функции у = f(х) совпадает с промежут-ком (–1; 2]. Найти область определении функций.
y f (2x 3) ; | 1 | x | |||||||||||||||||||||||||
1) | 2) | y f | ; | ||||||||||||||||||||||||
1 | x | ||||||||||||||||||||||||||
3) | y f (| x 1|); | 4) | y f (2sin x) ; | ||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
5) | y f | | x 1| | | x 3 | 1 . | ||||||||||||||||||||||||
2 |
|
1.10. На координатной плоскости изобразить множество точек (х, у) для которых существует число и, равное:
1) u | x y | ; | 2) u | 3) u log x 1(x y2 ); | ||||
x | xy |; | ||||||||
|
97
4) u = arcsin(x2 + y2 – 3); | 5) u |
|
| ||||
x | x | | |||||||
– С – |
1.11. При каких значениях параметра а число 3 не принадлежит
ax2 | (a 1)x 9 | |||||||||
области определения функции | y |
| ||||||||
|
1.12. При каких значениях параметра а область определения функции y loga x (ax a 2) содержит отрезок [1; 2]?
1.13. При каких значениях параметра а | 1 | ||||||||||||
функция f (x) | , | ||||||||||||
g(x) 1 | |||||||||||||
где g(x) | (2a 3)x2 | 2(2 a)x (2a 3) | определена для всех х? | ||||||||||
(2a)(x2 1) | |||||||||||||
1.14. Функция у = f(x) имеет отрезок [9; 10] своей областью опре-деления. При каком значении а областью определения функции у
f(ax + + 2 – 9a) является отрезок [2; 5]?
Область значений функции
– А – | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определить область значений функций. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. 1) у = 25 – x2; |
| y |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) у = 4х – x2; |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) у = – x2 – 10x – 16; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) y | x2 10x 16; |
9) y2 x210x 16.
98
2.2. 1) y = 2 – 3sinx; | 2) y = 2cos3x – 5; | |||||||||||||||||||||
3) | y | 1 | 5 | sin 2x; | 4) y = 4cosx – 3; | |||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||
5) | y 2 | cos x | 5; | 6) y = –2 – 7|sin3x|; | ||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||
7) y = cos22x + 4; | 8) y 3 2sin 2 | x | ; | |||||||||||||||||||
3 |
y 5 3 cos x. 2 2
2.3. 1) y = arctg2x;
y = 4 – arccos3x;
y = 2 – 6arccos3x;
3
2.4. 1) y = cosx, где x ; ; 3 2
5
2) y = sinx, где x6 ; 6 ;
3
3) y = cosx, где x2 ; 2 ;
7
4) y = sinx, где x3 ; 6 ;
y = cos2x, где x 6 ; ;
y = sinx, где x6 ; .
2.5. 1) y = sinx – sin2x;
y 3 2arcsin x; 2
y 4 arcsin x 3 ; 3
6) y =– 2arctgx.
y = 2cos2x + cosx;
y = sinx + cosx;
99
5) | y sin x | cos x; | 6) y sin x | 1 | cos x; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | y | 1 | ; | 10) | y | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x | cos2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6. 1) y x | 1 | ; | 2) y 4x | 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | y 4x | 1 | ; | 4) y x2 | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9(x 2)2 | sin x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | y 5 | 1 | x2 | ; | 8) | y 6 | 1 | 4sin2 x. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7. 1) y = 2 | x | 2) y 2 | x2 | 1 x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | 3) | y | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | y 3 | x2 2 | ; | 1 x2 1 | 6) y 2 | x2 4x | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) y | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 2x | 1 x | 2 | 1 | x x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | y | ; | 8) y 4 | ; | 9) | y | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 81 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |1 x| | x | x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) | y 4 | ; | 11) | y 2 | x ; | 12) | y | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) | y 2sin x ; | 14) | y | 1 | sin 2 x | 15) | y 42 cos 2x ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) | y | 1 | 3sin 2 x | 17) | y | 1 | 2 |2x 3| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8. 1) y = log2(4 + x2); | 2) y = log3(9 – x2); |
100
2 | 1 | |||||||||||||||||||||
3) y = log1/3(3 + 2x ); | 4) y log1/ 4 | x | ; | |||||||||||||||||||
x | ||||||||||||||||||||||
5) | y 3 log5 (x2 10x 50); | 6) y log1/ 8 (2 3x ); | ||||||||||||||||||||
7) | y log32 (x2 4x 13). | |||||||||||||||||||||
– B – | ||||||||||||||||||||||
2.9. 1) y | x 1 | ; | 2)у=х2–2х+3; | |||||||||||||||||||
3
y 3 4x 7x2;
y 3sin(2x 3) 4cos(2x 3 );
6) y 3 2 4 x2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | y 5 3sin 2 x | 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | y |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 cos x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.10. Сколько целых значений принимает функция. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16x2 64x 65 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 36x | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) y 12sin | 4) | y arccos | (3 2x x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) y418 | x1|| x3 |.
2.11. Функция y = f(x) имеет отрезок [-2; 3] областью определения.
Найти область значений функций.
1) y = f(2x – 3); | 2) y = 2f(x) – 3; | 3) y = |2f(x) – 3|; | ||
4) y = f2(3x – 2); | 5) y | . | ||
f (log 2 x) |
101
2.12. Заданы две функции y = f(x) и y = g(x). Найти область значений функций: а) y f (x); б) y g 2 (x); в) y f (g(x)); г) y = g(f(x)).
f (x) 4 x2 , g(x) x 1 ;
x2
1
2) f(x) = 1 – x2,g(x) =;
3) f(x) = sinx, g(x) = arccos(2x – 3);
4) f(x) = |x + 2| – |x – 3|, g(x) = 4 – x2.
2.13. Пусть | f (x) x | 1 | . Найти область значений функции у = | ||||||||||||||||||||||||||||||
x | |||||||||||||||||||||||||||||||||
= f(g(x)) для функций: | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1) g(x) | 4x | 1; | 2) | g(x) | sin x cos x | 5 | ; | ||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3) g(x) = |x + 1| + 2; | 4) g(x) = f(x); | 5) g(x) |
| arccos(x 1)2. | |||||||||||||||||||||||||||||
– C –
2.14. При каких значениях параметра а область определения
функцииf (x) (a 2)x (a 6) совпадает с множеством ее зна-(2a 3)x 3a 4
чений?
При каких значениях параметра а число А = 0 принадлежит области значений функции f(x) = ax2 – (a + 1)x + a + 1?
2.16. При каких значениях параметра а область значений функ-
ax 1 | ||||
ции f (x) | не содержит хотя бы одно из чисел А = 2 и | |||
(a 1)x a | ||||
В=3? |
102
2.17. При каких значениях параметра а область значений функ-ции f(x) = ax2 + (2a – 3)x + 4a содержит полуось (0; + )?
2.18. | Для всех значений а найти область значений функции | |||
f (x) |
| |||
3. Четность и нечетность функции | ||||
3.1. Среди предложенных функций выбрать нечетные.
1) | y sin | x | ; | 2) y | x 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||
x2 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| x 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
3.2. Среди предложенных функций выбрать четные.
1) y = sin(|x|);2) y = sin|x + |;
3) y = arccos2x;4) y = x arctg2x.
3.3. Какое из предложенных множеств Е может быть областью значений нечетной функции?
1) | Е=(0;+ ); | 2) E = [–1; 1]; | ||||||||
E = [–3; 2] [2; 3]; | Е | 1 | ||||||||
3) | 4) |
| ||||||||
2 |
3.4. При каких значениях параметра а множество Da может быть областью определения четной функции?
1) Da = [2a – 3; 2 – a];2) Da = [sina; cosa].
3.5. При каких значениях параметра а функции нечетные.
1)у=ах+а–2; | y | (a2 | a 2)x a 1 | ||
2) | ; | ||||
axa2
103
y ax cos a .
2 1
3.6. При каких значениях параметра а функции четные?
1) у = ах2 + (а – 3)х + а2;2) у = |ax + a2 – 1|;
3) y = cos(x + 2a).
3.7. Пусть f(x) – нечетная, а g(x) – четная функции, определенные для всех х. Укажите, какие из следующих функций четные, нечет-ные или общего вида.
1) f 2(x);2) f(x)g(x);3) g(f(x));
4) f(x) + g(x);5) f(g(x)).
3.8. Пусть f(x) и g(x) – нечетные функции, определенные на всей оси. Укажите, какие из функций четные, нечетные, общего вида?
1) f(x) + g(x);2) f(x) g(x);3) f(g(x));
4) g(x)| f(x)|;5) g2(x) f(x).
3.9. Доказать, что для любой функции f(х), определенной для всех х, функция g1(x) = f(x) + f(–x) – четная, g2(x) = f(x) – f(–x) – нечетная.
– В –
3.10. Пусть f(х) – нечетная функция, определенная на всей оси. При каких значениях параметра а приведенные функции являются нечет-ными? В ответе указать сумму таких а.
y af (ax a2 a 7) ;
y af (a2 x) a 8 | a |;
2 | 3 | ||||||||||
3) | y af (x) a | x |
| ||||||||
2 |
2
1|)x.
3.11. Пусть f(х) – четная функция, определенная на всей оси. При каких значениях параметра а приведенные функции являются четны-ми? В ответе указать сумму таких а.
104
y f (x2 (a2 2a 6)x 3) ;
у = f (ах + (а + 2)(а – 3));
у = f ((1 – 3а + 5а2)sinx + acosx).
3.12. Доказать, что если х = 0 принадлежит области определения нечетной функции f(х), то f(0) = 0.
3.13. Доказать, что любая функция f(х), определенная для всех х, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функ-ций.
– С –
3.14. При каких значениях параметра а уравнение х4 + log2(2a+2 – 12) = a – |x|
имеет единственное решение?
3.15. При каких значениях параметра а уравнение
arcsinx =
имеет два решения?
xa | x |
x
Периодичность
– А –
4.1. Найти наименьший положительный период Т > 0 функции.
1) y = sin2x; | 2) y = cos(3x + 2); | 3) у = tg | 3х 4; | |||||||
y sin | 2 | 5) y 2 | cos4 | 2x | ||||||
4) | ; | . | ||||||||
3 | ||||||||||
– В –
4.2. Найти наименьший положительный период Т < 0 функций.
105
1) | y sin 2x sin 3x ; | 2) y = cоs121x – 2tg | x | ; | ||||||||||||||
|
| x |
| 2x |
|
| ||||||||||||
|
|
4.3. Функция f(х) имеет период Т = 2 и на промежутке [7; 9) опре-
деляется формулой: | |
1) f(x) = 8 – x; | 2) f(x) = |x – 8| – x; |
3) f(x) = (x – 8)2; | 4) f(x) = (x – 7)2. |
Найти: а) значение f(3) f(2) – f(1); б) область значений Ef; в) ре-шение уравнения f(x) = 0.
– С –
4.4. Доказать, что функция y = sinx + sin 2 x не является периодической.
4.5. Пусть функция f(x) = x – [x], где [x] – целая часть числа х.
Доказать, что функция f(х) периодическая, и найти ее период.
Найти наименьший положительный период функции f(2х +3).
4.6. Периодическая (Т = 4) функция f(х) на отрезке [–2; 2] задает-ся формулой f(x) = x2 – 2. При каких значениях параметра а уравне-ние f(ax) = 0 имеет на интервале (–2; 2) ровно четыре решения.
106
IV. ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия
– A –
1.1. Найти:
номер члена арифметической прогрессии, равного 26, если первый член равен 2, а разность равна 3;
разность арифметической прогрессии, если первый член ра-вен –5, а восьмой член равен 16;
пятый член арифметической прогрессии, если первый член равен –6, а разность равна –3;
первый член арифметической прогрессии, если разность рав-на 3, а десятый член равен 48;
третий член арифметической прогрессии равен –11, разность равна 7. Найти девятый член прогрессии;
четвертый член арифметической прогрессии равен 17, раз-ность равна 2. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.
1.2. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии,
если: | ||||||||||||
1) a1 | = 2 и d = 1; | 2) a2 | = 4 и d = –2; | |||||||||
3) a3 | = –1 и d = |
| ; |
|
| |||||||
2 |
1.3. Найти:
девятнадцатый член арифметической прогрессии, если извест-но, что ее девятый член равен –24, а разность прогрессии равна –3;
номер члена арифметической прогрессии, равного 26, если десятый член арифметической прогрессии равен 20, а разность 3;
сумму пятого и девятого членов арифметической прогрессии, если седьмой член равен 12;
разность тринадцатого и девятого членов арифметической прогрессии, если разность равна 4.
107
1.4. Между числами –5 и 7 вставили три числа, которые с дан-ными числами образуют арифметическую прогрессию. Определить разность этой прогрессии.
1.5. Определить, сколько чисел вставили между числами 5 и 35, если вставленные числа образуют с данными числами арифметиче-скую прогрессию с разностью 6.
1.6. Если между двумя числами вставить четыре числа, то они образуют с данными числами арифметическую прогрессию с раз-ностью 6. Определить эти числа, если их сумма равна 42.
1.7. Между числом 4 и неизвестным числом вставили 6 чисел, при этом все числа образуют арифметическую прогрессию с разно-стью 10. Найти неизвестное число.
1.8. В амфитеатре расположено 10 рядов, причем в каждом сле-дующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает кинотеатр?
1.9. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. В первый час он проехал 8 км, а в каждый следующий час на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов он был в пути, если расстояние АВ равно 38 км?
1.10. Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. руб., причем за каждый метр глубины платили на 2 тыс. руб. больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. руб.
1.11. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту на 25 м меньшую, чем предыдущая. За сколько часов он достигнет высоты
5700 м?
1.12. Найти сумму:
75 членов последовательности с общим членом ап = 3п – 19;
40 членов последовательности с общим членом ап = 5п + 7;
22 членов последовательности с общим членом ап = 2(п+2);
21 членов последовательности с общим членом ап = –п/2 + 2.
108
1.13. Найти формулу общего члена арифметической прогрессии вида an = f(n), для которой:
1) a1 = 5, а2 = –5;2) а3 = 4, a5 = 8;
3) а4 = 10,4) a10 = 12, а20 = 22.
1.14. Найти наибольшее число d, при котором следующие числа могут быть членами арифметической прогрессии с разностью d:
1) 2, 21 и 59; | 2) | 7, | 15 | и 31; |
3) 4, 41 и 45; | 4) | 5, | 17 | и 45? |
1.15. Сумма восемнадцатого и сорокового членов арифметиче-ской прогрессии равна 0. Найти двадцать девятый член этой про-грессии.
1.16. Сумма первого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 22. Найти шестой член этой прогрессии.
1.17.Сумма десятого и шестнадцатого членов арифметической прогрессии равна -8. Найти тринадцатый член этой прогрессии.
1.18. Сумма второго и десятого членов арифметической про-грессии равна 34/21. Найти шестой член этой прогрессии.
– В –
1.19. Сумма третьего, седьмого, восемнадцатого и тридцать второго членов арифметической прогрессии равна 84. Найти сем-надцатый член прогрессии.
1.20. Первый член арифметической прогрессии равен а, по-следний член b, а разность d. Найти номер последнего члена про-грессии.
а = 7, b = 112, d = 3;
а = 113, b = 878, d = 5;
2) а = –5, b = 83, d = 4;
1) а = 325, b = –233, d = –6.
1.21. Найти сумму:
всех двузначных четных чисел;
всех двузначных нечетных чисел;
всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в ос-татке 3;
109
всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в ос-татке 1.
1.22. Найти сумму:
всех трехзначных нечетных чисел;
всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 9;
всех трехзначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 5;
всех трехзначных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 11.
1.23. Решить уравнения:
1+7+13+...+х=280;
(х+1)+(х+4)+(х+7)+...+(х+28)=155;
(х – 1)/х + (х – 2)/х + (х – 3)/х +...+ (х (х 1)) = 3, где х – целое
х
положительное число;
4) (1 + x) + (1 + 2x) +...+ (1 + 10x) = 175.
1.24. Найти первый член возрастающей арифметической про-грессии, если:
сумма ее первого и четвертого членов равна 16, а произве-дение второго и третьего членов равно 60;
сумма второго и четвертого членов равна 20, а произведение первого и пятого членов равна 36;
сумма второго и шестого членов равна 28, а произведение первого и седьмого членов равно 52;
сумма первого и пятого членов арифметической про-грессии равна 20, а произведение второго и четвертого равно 64.
1.25. Сумма шестого и девятого членов арифметической про-грессии равна 20, а их произведение равно 64. Найти десятый член этой прогрессии, если ее первый член отрицателен.
1.26. Сумма второго и пятого членов возрастающей арифмети-ческой прогрессии равна 16, а их произведение равно 55. Найти третий член этой прогрессии.
110
1.27. Разность четвертого и первого членов убывающей ариф-метической прогрессии равна -12, а их произведение равно 160. Найти шестой член этой прогрессии.
1.28. Найти возрастающую арифметическую прогрессию (т.е.
найти а1 и d), у которой:
сумма первых трех членов равна 27, а сумма квадратов этих же трех членов равна 275;
сумма первых трех членов равна 18, а сумма квадратов этих же трех членов равна 116;
сумма первых трех членов равна 0, а сумма квадратов этих же трех членов равна 98;
сумма первых трех членов равна 6, а сумма квадратов этих же трех членов равна 16,5.
1.29. Найти арифметическую прогрессию (т.е. найти а1 и d), у которой:
сумма второго, третьего и четвертого членов арифметиче-ской прогрессии равна 15, а их произведение равно 105;
сумма первого, второго и третьего членов арифметической прогрессии равна 3, а их произведение равно –15;
сумма третьего, четвертого и пятого членов арифметической прогрессии равна –24, а их произведение равно –480;
сумма второго, третьего и четвертого членов арифметиче-ской прогрессии равна 12, а их произведение равно 48.
1.30. Образуют ли арифметическую прогрессиюположитель-
ные корни | уравнения, расположенные в порядке возрастания: | ||||
1) sinx = 0; | 2) sinx = | 1 | ; | ||
1 | 2 | ||||
3) tgx = | ; | 4) cosx = 0. | |||
2 | |||||
1.31. Найти первый член и разность арифметической прогрес-сии, если:
сумма седьмого и второго членов арифметической прогрес-сии равна 35, а разность квадратов этих членов равна 525;
сумма девятого и третьего членов арифметической прогрес-сии равна 30, а разность квадратов этих членов равна 360;
111
сумма седьмого и четвертого членов арифметической про-грессии равна (–38), а разность квадратов этих членов равна 456;
сумма одиннадцатого и пятого членов арифметической про-грессии равна 15, а разность квадратов этих членов равна 135.
1.32. Найти разность арифметической прогрессии, у которой:
сумма первых одиннадцати членов прогрессии равна 242, а сумма первых пяти членов равна 65;
сумма первых десяти членов прогрессии равна 190, а сумма первых двух членов равна 6;
сумма первых семи прогрессии равна 21, а сумма первых трех членов равна –9;
сумма первых двенадцати членов прогрессии равна 270, а сумма первых четырех членов равна 10.
1.33. Найти сумму:
первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма второго, пятого, седьмого и двадцать восьмого членов этой прогрессии равна 79;
первых тридцати членов арифметической прогрессии, если сумма четвертого, пятого, восьмого и одиннадцатого членов этой прогрессии равна 120;
первых шести членов арифметической прогрессии, если сумма первого, второго, пятого и шестого членов этой прогрессии равна –4.
1.34. Сумма второго и шестнадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 52, а произведение этих членов равно 235. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.
1.35. Сумма второго и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 8, а произведение этих членов равно 9,75. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.
1.36. От деления шестнадцатого члена арифметической про-грессии на пятый в частном получается 3, а от деления двадцать первого члена на шестой в частном получается 3 и 12 в остатке. Найти сумму первых трех членов прогрессии.
112
1.37. От деления пятого члена арифметической прогрессии на второй в частном получается 2 и 2 в остатке, а от деления одинна-дцатого члена на седьмой в частном получается 1 и 12 в остатке. Найти сумму первых четырех членов прогрессии.
1.38. От деления восьмого члена арифметической прогрессии на третий в частном получается 3, а от деления семнадцатого члена на девятый в частном получается 1 и 16 в остатке. Найти сумму первых четырех членов прогрессии.
1.39. Найти первый член и разность арифметической прогрес-сии, для которой:
произведение третьего и шестого членов равно 406, а при де-лении девятого члена прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6;
произведение 2-го и 5-го членов равно 27, а при делении 7-го члена прогрессии на ее третий член в частном получается 2, а в ос-татке 3;
произведение третьего и девятого членов равно 55, а при де-лении двенадцатого члена прогрессии на ее четвертый член в част-ном получается 2,ав остатке 2.
1.40. Найти:
20-й член возрастающей арифметической прогрессии, если
а2а5=52,а2+а3+а4+а5=34;
12-й член возрастающей арифметической прогрессии, если а1а6 = 24, a1 + а3 + a5 + а6 = 30;
15-й член возрастающей арифметической прогрессии, если a1a5 = 12, a1 + а2 + а4 + а5 = 16.
1.41. Внутренние углы многоугольника составляют арифмети-ческую прогрессию, разность которой равна 5 градусам. Наимень-ший угол 120 градусов. Сколько сторон имеет многоугольник?
1.42. Внутренние углы десятиугольника составляют арифмети-ческую прогрессию, разность которой равна 10 градусам. Опреде-лите наименьший угол многоугольника.
1.43. Внутренние углы девятиугольника составляют арифмети-ческую прогрессию. Наименьший угол 100 градусов. Определите разность этой прогрессии.
113
1.44. Сколько сторон имеет многоугольник, внутренние углы которого составляют арифметическую прогрессию, разность кото-рой равна 20 градусам, а наибольший угол равен 234 градуса?
1.45. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35. Сколько членов в другой арифметической прогрессии, крайние члены которой 38 и 13, если четвертые члены обеих прогрессий одинаковы?
1.46. Первый и пятый члены арифметической прогрессии равны соответственно 7 и –5. У второй арифметической прогрессии пер-
вый член равен 0, а последний член равен 7 . Найти сумму членов 2
второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих про-грессий равны между собой.
1.47. Крайние члены арифметической прогрессии, имеющей 8 членов, равны –2 и 19. Сколько членов в другой арифметической прогрессии, крайние члены которой 6 и 16, если пятые члены обеих прогрессий одинаковы?
1.48. При каких х числа, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии:
1) 2, х – 2, 4х –16;
2) x11, 2x5, 3x19;
|2х – 3|, 3х – 13, |12 – х|;
2х–1,3х–2,3х;
2|x – 2|, |x – 5|, 6x + 36;
4|0,5x – 3|, –3|x|, –12x;
3x2 2x , x, 1;
x 10 , 3, x 2 ;
cos2x, sin3x, sinx;
sin2x, 2cosx, 4 – 4sinx;
4x, 2 9x, 3 6x;
log5(x – 8)2, log5(x – 2), –2.
114
– C –
1.49. Найти число а, если известно, что корни указанного урав-нения составляют арифметическую прогрессию:
1) х4– 10х2 + a = 0;2) 16х4 – 40х2 + а = 0;
3) х4 – 40х2 + а = 0;4) 9x4– 10x2 + a = 0.
1.50. Найти десятый член некоторой последовательности и до-казать, что эта последовательность является арифметической про-грессией, если известно, что при любом п сумма первых п членов этой последовательности выражается формулой:
1) п2 + 3п;2) п2 + 2п;3) 2п2 + 2п.
1.51. Для членов арифметической прогрессии а1, а2, а3, ... из-вестно, что:
а4 + а8 + а12 + а16 = 224, найти S10;
a4 + a5 + a11 + a12 = 32, найти S15;
а1 + а5 + а13 + а17 = 144, найти S17;
a2 + a5 + a9 + a12 = 168, найти S13.
1.52. В арифметической прогрессии для любых т и п 1 Sm/Sn = m2/n2. Доказать, что ат/ап = (2т –1)/(2п – 1).
1.53. Числа а2, b2, с2 образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что числа 1 , 1 , 1 также образуют арифмети-
bccaab
ческую прогрессию.
1.54. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43,... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующего и преды-дущего) образуют арифметическую прогрессию 7, 14, 21,... . Найти номер члена последовательности, равного 35351.
1.55. При каких неотрицательных а все неотрицательные реше-ния уравнения cos((6a – 3)х) = cos((12a + 5)x), расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
1.56. При каких положительных а все неотрицательные реше-ния уравнения cos((8a – 3)x) = cos((14a + 5)x), расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
115
Геометрическая прогрессия
– А –
2.1. Написать формулу общего члена геометрической прогрес-сии, в которой:
1) | а1 | =5,а2 | = 10; | 2) а1 | = 2, а3= 18; | ||||||||||||||
3) а1 | =3,а4 | = |
|
| 4) а1 | = | 1 |
| |||||||||||
8 | 4 | ||||||||||||||||||
5) а1 | =2,а2 | = |
| ; | 6) a1 | = 3, а4= |
|
| |||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||
7) | а3= а5= –1; | 8) a4 = –54, a5= 162. |
2.2. Написать формулу общего члена геометрической прогрес-сии, в которой:
1) a1 | = sin , a2 = sin2 ; | 2) a1 = tg , a2 = 1/2tg ; |
3) a1 | = tg , a2=1; | 4) ai = 1, a4 = 8. |
2.3. Найти:
шестой член геометрической прогрессии, у которой первый
член равен 5, а знаменатель равен1 ;
2
четвертый член геометрической прогрессии, у которой пер-вый член равен 7, а знаменатель равен 2;
третий член геометрической прогрессии, у которой первый член равен 6, а знаменатель равен 3;
пятый член геометрической прогрессии, у которой первый член равен 3, а знаменатель равен 0,1.
2.4. Третий член геометрической прогрессии равен 1, шестой
равен 1 . Найти девятый член прогрессии.
8
2.5. Пятый член геометрической прогрессии равен 8, седьмой равен 16 . Найти третий член прогрессии.
2.6. Первый член геометрической прогрессии равен 5, шестой равен 25. Найти одиннадцатый член прогрессии.
116
2.7. Четвертый член геометрической прогрессии равен 1, седь-мой равен 1 . Найти первый член прогрессии.
47
2.8. Четвертый член геометрической прогрессии равен 3. Найти произведение первых семи членов этой прогрессии.
2.9. Третий член геометрической прогрессии равен 5. Найти произведение первых пяти членов этой прогрессии.
2.10. Шестой член геометрической прогрессии равен 9. Найти произведение первых одиннадцати членов этой прогрессии.
2.11. Пятый член геометрической прогрессии равен 3. Найти произведение первых девяти членов этой прогрессии.
2.12. Найти суммы:
1) 1 + 2 + 22 +...+ 210;
1 | 1 2 | 1 | 3 | 1 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ... |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 2 | 1 | 3 | 1 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
| 3 |
|
4) 1 – 2 + 22 – 23 +...+ 212.
2.13. Найти сумму первых трех членов прогрессии, для кото-рой:
второй член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 10, а сумма третьего и четвертого членов про-грессии равна 60;
третий член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 3, а сумма четвертого и пятого членов про-грессии равна 36;
второй член геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равен 20, а сумма третьего и четвертого членов про-грессии равна 40;
второй член геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем равен 6, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна 36.
117
2.14. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-грессии:
1) | 1, | 1 | , | 1 | ,...; | 2) | 3, 1, | 1 | , | 1 | ,...; | ||||||||||||
2 | 4 | 3 | 9 | ||||||||||||||||||||
3) | 1, | 2 | , | 4 | , | 8 | ...; | 4) | 4, 1, | 1 | , | 1 | ,... | ||||||||||
3 | 9 | 27 | 4 | 16 |
– В –
2.15. Найти геометрическую прогрессию (т.е. найти ее первый член и знаменатель), у которой:
сумма первых трех членов равна 26, а сумма квадратов тех же членов равна 364;
сумма первых трех членов равна 21, а сумма квадратов тех же членов равна 189;
сумма первых трех членов равна 14, а сумма квадратов тех же членов равна 84;
сумма первых трех членов равна 13, а сумма квадратов тех же членов равна 91.
2.16. Определить бесконечно убывающую геометрическую про-грессию, знаменатель которой равен отношению суммы квадратов
членов к сумме членов, а сумма кубов ее членов, поделенная на первый член, так относится к сумме квадратов ее членов, как 6:7.
2.17. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-сии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64 . Найти первый член
7
и знаменатель этой прогрессии.
2.18. Найти сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, про которую известно, что ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме чле-
нов равно 16 .
3
118
2.19. Определить сумму квадратов бесконечно убывающей гео-метрической прогрессии, второй член которой равен 1, а сумма ее членов равна 4.
2.20. Найти сумму первых пяти членов бесконечно убы-вающей геометрической прогрессии, если сумма членов этой про-
грессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна 108 .
13
2.21. Найти сумму первых шести членов бесконечно убываю-щей геометрической прогрессии, если сумма членов этой прогрес-
8
сии равна 2, а сумма кубов ее членов равна.
2.22. Найти сумму первых четырех членов геометрической про-грессии, если:
разность между четвертым и первым членами равна 78, а сумма первых трех членов прогрессии равна 39;
разность между четвертым и первым членами равна 126, а сумма первых трех членов прогрессии равна 42;
разность между четвертым и первым членами равна 35, а сумма первых трех членов прогрессии равна 35.
2.23. Найти сумму четырех членов прогрессии возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами, если:
произведение второго и четвертого членов равно 36, а их среднее арифметическое равно 10;
произведение второго и четвертого членов равно 81, а их среднее арифметическое равно 15;
произведение второго и четвертого членов равно 4, а их сред-нее арифметическое равно 2,5.
2.24 Найти шестой член возрастающей геометрической про-грессии с положительными членами, если:
четвертый член на 3 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 5;
четвертый член на 6 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 15;
119
четвертый член на 18 больше ее второго члена, а сумма пер-вых четырех членов прогрессии равна 45.
2.25. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:
1)х–1,2х–1,3х+3;2)х+1,х+3,5х+3;
3)х–1,х+3,6х;4)х+3,2х+7,7–х.
2.26. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:
1) sin(x), | 1 | , cos(x); | 2) sin(x), cos(x), | 3 | ; | |||||||||||||||
| 3 |
|
| 5 |
| |||||||||||||||
|
|
2.27. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:
|
|
| , | 3 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 3 |
| 6 |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| cos x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x,3x, 4x.
2.28. При каких значениях х указанные числа являются после-довательными членами геометрической прогрессии:
1) | 2–х, | 3 2x, |6 – 5x|; | 2) 4–х, | 2x 4, |2x – 8|; | ||
3) | х, | 4)1+х, | ||||
x 3, |1 – x|; | 7x 1, |1 – 3x|. |
2.29. Найти три числа, образующих геометрическую прогрес-сию, если:
их сумма равна 28. Если к этим числам прибавить соответст-венно 1, 4 и 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);
их сумма равна 26. Если к этим числам прибавить соответст-венно 2, 6 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);
120
их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-венно 3, 7 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке);
их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-венно 1, 3 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию (в том же порядке).
2.30. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-сию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 0, 3 и 15, то получим три числа, образующих геометрическую прогрес-сию (в том же порядке). Найти исходные числа.
2.31. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-сию, равна 33. Если к этим числам прибавить соответственно 1, –1
2, то получим три числа, образующих геометрическую прогрес-сию (в том же порядке). Найти исходные числа.
2.32. Первый член арифметической прогрессии и первый член геометрической прогрессии равны 3. Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической на 6; третьи члены прогрессии одинаковы. Найти эти прогрессии.
2.33. Найти арифметическую и геометрическую прогрессии, если известно, что первый член каждой прогрессии равен 2, третьи члены обеих прогрессий равны между собой, а 11-й член арифме-тической прогрессии равен 5-му члену геометрической.
– С –
2.34. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы три числа х, у и z в указанном порядке составляли геометрическую про-
грессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (x2 + y2)(y2 + z2) = (xy + yz)2.
2.35. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
121
2.36. Три числа, из которых третье равно 16, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 16 взять 12, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
2.37. Три числа, из которых третье равно 20, образуют геомет-рическую прогрессию. Если вместо 20 взять 15, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
2.38. Найти трехзначное число по следующим условиям:
– его цифры образуют арифметическую прогрессию;
– если к нему прибавить 396, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке;
– если первую цифру искомого числа уменьшить на 1, вторую также уменьшить на 1, а третью увеличить на 3, то получится гео-метрическая прогрессия.
2.39. Найти две прогрессии – арифметическую и геометриче-скую, удовлетворяющие следующим условиям:
– первые члены этих прогрессий равны;
– сумма первых двух членов арифметической прогрессии боль-ше суммы первых двух членов геометрической прогрессии на утроенный первый член;
– суммы первых трех членов обеих прогрессий равны.
2.40. Доказать равенство
12+222+323+424+525+...+п2п=(п–1)2п+1+2.
2.41. Найти сумму 1 + 2 3 + 3 7 +...+ п(2п – 1).
122
ОТВЕТЫ
Тема I | ||||||||||
1.1. 1) | ; | 2);3) | ; | 4) | 5 | ; | ||||
6 | 4 | 2 | 6 |
5)4;6)5;7) 2;8)3;
3 | 3 | 3 | ||||||||||||||||
9) |
| ; | 10) 8 |
| ; | 11) |
|
| ||||||||||
| 3 | 2 |
12); 13) 7 ; 14)11 ;
8129
7 . 4
1.2. 1) 30 ; 2) –120 ; 3) 180 ;
4) 135 ;5) 150 ;6) –270 ;
7) –540 ; 8) –765 ; 9) 510
–390 ; 11) 315 ; 12) –600 ;
105 ; 14) 110 ; 15) 907,5 .
1.3. 1) | 1 | ; | 2) | 2 | ; | 3) 1; | 4) | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 3 | ; 6) | 3 | ; 7) | 3 | ; | 8) 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; 11) 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 2 | 10) | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; 2)– | 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. 1) | 3 | 3) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 2 | ; | 5) | 3 | ; | 6) 0; 7) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; 10) | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 2 | 9) | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2; 12)–1.
22
1.5. | 1) | 1 – | 2 | ; 2) | 3 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 . 2
1.8. 1) Положительный; 2) положи-тельный; 3) отрицательный.
1.9. 1) Отрицательный; 2) положи-тельный; 3) отрицательный.
1.10. 1) | 3 | ; | 2) | 5 | ; 3) | 5 | ; | 4) | 1 | ; |
3 | ||||||||||
5 | 13 | 3 |
5) 2.
7 | ||||||||||
1.11. 1) | 12 | ; | 2) | 12 | ; | 3) | 4 | ; | ||
13 | 37 | 5 |
3; 5) 5.
78
1.12. 1) и 2) Положительный; 3) и 4) отрицательный.
1.13. | 1) | 8 | ; | 2) | 4 | ; | 3) | 3 | ; | 4) | 2 . | ||||||||
17 | 3 | 7 | 5 | ||||||||||||||||
1.14. | 1) | 2(1 | 10 | ) ; | 2) | 13 | 10 | ; | |||||||||||
50
1; 4)3 4 3.
5 | 2 | 10 |
1.15. 1) | 222)23; |
2
2 3;4) 2 2. 2
123
1.16. 1) cos3 < cos2 < cos1; 7
13
tg 5 tg tg 7 ;
435
4) ctg 7ctgtg 2 ;
455
cos( 1) cos 4 sin( 3).
1.17. | 1) 1; | 2) | 2 | ; | 3) | 3 | 2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 3 | 2 | 5) | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 0,92; | 5) –0,184. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.19. | 1) 3; | 2) 2; | 3) 1; | 4) |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 0,5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.20. | 1) 0,75; | 2) 1; | 3)2+ |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 1 | ; | 5) 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
| ; | 5) 0,5. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. | 1) Е = { 0,5}; | 2)Е={ 1}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) Е = {0}; | 4) Е = {1}; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5)Е={ |
| }. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.23. | 1) E | 24 | 2) E | 23 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | 25 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 4 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 | 6 1) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) E | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.24. 1) 5 | ; | 2) | 9 | ; | 3) | 24 | ; | |
4 | 20 | 7 |
9; 5) 44.
25125
1.25. 1) xk , kℤ,
4
x2 k , k ℤ, 2
x2 k , k ℤ,
x ( 1)kk , k ℤ, 6
xk , k ℤ;
2
22
2
2; 5)–1.
2
1.27. 1) 0,375; 2) 0,1; 3) 0,2;
4) 0,36; 5) 1/3.
1.28. 1) x2 k , kℤ;
2) xk , kℤ;3);
xk , k ℤ; 40 8
xk , k ℤ;
5 9
1.29. 1) g(t) = 2t – 2t3 + t–2 – 1;
2) g(t) = (–32t6 + 48t4 –18t2 + 2)t;
3) g(t) = | 2t 1 | t | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
1 t 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) g(t) = | t | 2 1 | ; | 5) g(t) = | t2 | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||
t3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
124
1.30. 31 .
4
1.31. 73 15 .
16
1.32.
3
2 k,2 k 44 ,2 k ,
kℤ;
2) | n, | 2 | n , п ℤ; | |||||||||||||||||||||
| 3 | |||||||||||||||||||||||
k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||
3) | k, | k | , | |||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||
3 |
m, m 4 , т ℤ;
5) | 2 n, | 2 n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 7 | , п | ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 n, | 2 n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. 33. 1) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 n, | 2 n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 4 | , п | ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 n, | 2 n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 2 m, | 2 m | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 m, | 2 m , т ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | k, | k , k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | n, | n , п ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
5)4m, 4m , тℤ;
1.34. а) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) | k, |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) | 2 k; | 2 k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k, (2k 1) ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) | 2 k, | 2 k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2k | 1), | (2k 1) . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. 1) 2; | 2) 3; 3) | 1 | ; | 4) cos 2 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) sin2 ; |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. 1) 1; | 2) sin – cos ; | 3) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 2sin2 ; | 5) ctg2 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. 1) 1; | 2) cos2 ; | 3) 0; | 4) –cos ; |
sin ; 6) –1; 7) ctg ; 8) –1;
–1.
2.4. 1) sin ; 2) cos | 3 | ; | |
2 |
sin2 + cos2 ; 4) cos – cos7 ;
sin4 – cos ; 6) cos – cos6 ;
–2sin .
2.5. 1) | 2 | ; | 2) | 1 | ; | 3) | 3 | ; | 4) | 2 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
| 2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | 4) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6. 1) | 3 | ; | 2) 0; | 3) | 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 |
125
5) | 3 | ; 6) | 2 | ; 7)– | 2 | ; |
2 | 2 | 2 |
3 . 2
2.7. | 1) 2; | 2) 4; | 3) 1; | 4) 1. |
2.8. | 1) (sinx + 1)(sinx – 3); |
(sinx – cosx)(sinx + 5cosx);
2cosx(sinx + 1)(2sinx – 1);
–2sin(2x + 1)sin3x;
(cosx – sinx)(1 + 0,5sin2x). 2.10. ctg3 .
2.11. 1.
2.12. 1.
2.13. | 1) ctg2 ; | 2) 1; | 3) 0; | 4) 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
| . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15. | 1) |
| ; | 2) |
| ; | 3) | 3 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.16. |
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 2(1 + sin2x); | 3) 2sin2x; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 1 + 2cos2x; | 5) 2sin2x. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.17. | 1) 2cos2x + 1, x | k, k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kℤ;
4sin3x, x k ; 2
4sinx, xk, k ℤ; 2
2cosx, xk , k ℤ. 3
3.1. 1) – ; | 2) |
| 3) |
| 4) |
|
| ||||||||||||||||||||||
2 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||
5) |
| ; | 6) |
| ; | 7) |
|
|
| ||||||||||||||||||||
6 | 4 |
|
9) | 4 | ; | 10) 0; | 11) . | |
3 | |||||
3.2. 1) 0; | 2) 0; | 3) 0; | 4) 1; |
3 . 2
3.3. 1) | 7 | ; 2) | 4 | ; | 3) 8; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
| 2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 2 |
| 8) | 7 | ; | 9) | 120 | ; | 10) | 24 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | 169 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | 4 | ; | 12) | 23 | ; | 13) | 44 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 27 | 125 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| 119 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 2 | 169 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 | 3 | 5 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21) | 24 | ; | 22) | 3 ; | 23) | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 | 5 |
7 . 25
3.4. 1) | 2 | ; 2) | 3 | ; 3) | ; | 4) | 7 ; | |||||||
5 | 14 | 14 | 10 | |||||||||||
5) | 17 | ; | 6) | ; | 7) | 2; | ||||||||
20 | 7 | 2 |
1; 9)5–2 ; 10)4 –10; 2
11)– 4.
1
3.5. a) x = arcsink;
б) x( 1)k arcsin 1 k; 3
в) xarcsin 1 k; 3
126
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x arccos | 2 k, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) | 3 | k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | k, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) x = arccos | k. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.6. | 1) 0,2; | 2) 4 | 3 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.7. | 1) 0,25; | 2) | 1 | ; | 3) | 4 | ; 4)4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
5) 1.
3.8. 1) 7; 2) 10; 3) 6; 4) 3; 5) 13.
3.9. 1) 4; 2) 2;3) 1; 4) 5; 5) 4.
3.10. 1) >; 2) <; 3) <; 4) >; 5) <.
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2( |
|
|
2 (1 ( 1)k 115). 8
3 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.12. 1) x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2; | 4 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) x | 3) | x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
4) x(– ; 1);
5) x; 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13. 1) x | ; | ; 2) x | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x [0; + ). 3.14. 3.
2а
3.15. 1) При |a| 9 x =;
при |a| > 9 x =;
при a 0 x = –a; при a > 0 x= ;
при | a |x a k ,
2
a k, k ℤ; 2 2
при axk,
2 | 4 | ||||||
при a | x | k, | |||||
2 | 4 | ||||||
при | a | | x = ; | ||||||
2 |
при a < 0 x = ;
при a = 0 x = t, t [–1; 0]; при a (0; 2] x a ;
2
при a > 2 x =;
при a 0 x а ; 4
при a0 xа .
2
4.1. 1) x( 1)k 1k;
6
2) x = k; 3) xk;
x = k;
x 2 ( 1)k 1k;
393
kℤ;
2 2 k, k ℤ; 3
127
7)+ п , nℤ;
2 п , n ℤ;
3
2 k; 2 2 m , k, m ℤ; 3
10)п ; n ℤ;
6 2
;
k, k ℤ;
2 4 п , 4 k, n, k ℤ;
3
14) | 2 | + | 2 | n, | 2 | + | 2 | k, | |||||
3 | 12 | 3 | 3 | 4 | 3 |
n, kℤ;
k ; 5 2 n , n, k ℤ;
26
+ n , n ℤ; 6 3
+ k ,2 n ,
8293
22
m , n, k, mℤ;
4k
18), kℤ;
7l , l ℤ;
24
k;2 n ; 5 2 m ,
6 | 6 | ||||
n, k, m ℤ; | |||||
21) | + n ; | 2 | 2 k, n, k ℤ; | ||
3
k , k ℤ;
2
4.2. 1) x( 1)k 1 arcsin 2k;
232
2) xarccos 12 k;
6
x1 arctg 1 k;
6 | 2 | 3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | x | arcctg | k; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | x | 1 | 1 | k; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.3. 1) 2; | 2) 8; | 3) 3; | 4) 2; | 5) 3. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.4. 1) | 13 6 | ; | 2) | 11 6 | ; |
9
11 18; 4)26 9;5)6 7 .
61212
4.5. 1)+ 3 n, – + 3 k, n, kℤ;
n ,k , n, k ℤ;
9 | 3 | 9 | 3 | |||||||
3) | k | , | k ℤ; | |||||||
12 | 2 | |||||||||
4) | k, | n, n, k ℤ; | ||||||||
6
5п, n ℤ.
12
1
4.6. 1) k;arccos 2 n,
n, kℤ;
–arctg2 + k, k ℤ;
+ n , n ℤ; 6
n , n ℤ; 12 2
128
5) arctg 3 | k , k ℤ; | |
5 |
–arctg 3 n , n ℤ; 2
4.7. 1) ( 1)nn , nℤ;
6
arccos 19 2 2 k , k ℤ; 5
+ 2 п; arccos 3 2 k , k ℤ; 4
2 т , m ℤ;
2
+ 2 k; 2 2 т , k, m ℤ; 3
п ; 5т , n, m ℤ;
12
1 arctg2 k ; 1 arctg5 n ,
2222
k, nℤ;
n ; –arctg3 + m, 4
n, mℤ;
2 k, k ℤ; 3
k, 5 2 n, k, n ℤ;
26
n 1
11) ( 1)n, nℤ;
( 1)n arcsin 3 65 n, 14
nℤ;
х = arctg 4 2 k , 3
х = arctg |
|
| ||||
4 |
2 2 k, k ℤ; 3
2 2 k, k ℤ; 3
( 1)n arcsin 3 5 n, n ℤ; 2
2 п , n ℤ;
5 | ||||||||||||||||||||||||||
18) | 4 | arccos | 1 | 8 k | , k ℤ; | |||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||
19) | ( 1)n | n , n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||
20) | 2 n , | n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||
21) | 2 n , | arccos | 1 | 2 k , | ||||||||||||||||||||||
6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||
k, п ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||
22) | 2 n , | arccos | 1 | 2 k , | ||||||||||||||||||||||
4 |
k, nℤ;
4.8. 1) arctg3 + n; arctg7 + m,
n, mℤ;
n ; –arctg2 + m, 4
n, mℤ;
3) –arctg 1п , nℤ;
2 | |||||||||||
4) | n ; | arctg2 + k, n, k ℤ; | |||||||||
4 | |||||||||||
5) | n ; | –arctg | 7 | т ; | |||||||
3
n ; –arctg 1 т , n, m ℤ;
22
129
7) | n ; | –arctg 3 | k , | |||||
4 | 5 | |||||||
n, k ℤ; | ||||||||
8) | п; | arctg3 + k, k, n ℤ; | ||||||
2 |
n; –arctg 5 k , n, k ℤ; 4
n ; –arctg 2 k ;
3
k, k ℤ;
arctg (3 1) k;
–arctg (3 1) n, n, k ℤ; 13) n , n ℤ;
2
k ; –arctg 7 n ,
44
n, kℤ;
n, n ℤ. 12
4.9. 1) ; 2) | 5 | ; | 3) | ; | 4) | 11 | ; | |||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 19 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.10. 1) | 5 | ;2)1 ; | 3) | 4 | ; | 4) | ; | |||||||||||||||||||||||||||
12 | 9 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
4.11. 1) ( 1)nn , nℤ;
4
2 n, + 2 k, n, k ℤ; 2
( 1)nn , n ℤ; 4 6
( 1)nn , n ℤ; 6 3
( 1)nn , n ℤ. 3 6
4.12. 1)5n , nℤ;
12
2 k, 2 п 2 , n, k ℤ.
3
4.13. 1) ( 1)n arcsin 2
10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos | 1 | n, n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 0,5 ( 1)n arcsin | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos 3 2 k, k ℤ.
35
4.14. | 1) k, | п , n, k ℤ; | ||||||||||||||||
8 | 4 | |||||||||||||||||
2) | k , | п , n, k ℤ; | ||||||||||||||||
10 | 5 | 2 | ||||||||||||||||
3) | k | , | п | , n, k ℤ; | ||||||||||||||
4 | 6 | 3 |
k , п , n, k ℤ; 3 7
k3
5),п , n, kℤ;
k ,n , n, k ℤ;
82164
7)1n ,1k ,
12332466
n, kℤ.
130
4.15. 1) | 4 | ; | 2) | 11 | ; | 3) | ; | |
9 | 30 | 36 |
;5) .
218
4.16. 1) | 2 n | ; | k; + 2 l; | |
5 | 2 |
n, k, lℤ;
n ; 2 2 k ; n, k ℤ.
8 | 4 | 9 | 3 | ||||||
4.17. 1) | k | ; | n | ; n, k ℤ; | |||||
10 | 5 | 6 | 3 |
k ; n ; n, k ℤ; 5 7
k
3) n,, n, kℤ;
n
4);k; n, kℤ.
п
4.18. 1);k , п, kℤ;
п;k , п, k ℤ; 48 8
n , п ℤ;
4
4)1 arccos 3 n , п ℤ;
4 2
n ; m , п, т ℤ; 4 6
n ; m , п, т ℤ;
843
n ; m , п, т ℤ; 2105
n ; п ℤ;
62
2п; 2 2т,п,т ℤ; 3
п,п ℤ; 6
n ; п ℤ; 6 2
k , k ℤ; 4
п,п ℤ. 3
4.19. 1)2 п ; 2 k,2 l ,
24
п, k, lℤ;
arccos 22 n , п ℤ; 4 4
3) 2 k;2 п;т ,
24
т, п, kℤ;
k , k ℤ; 8
–+п,п ℤ; 4
п | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
6)( 1) | arcsin | 4 | ||||||||||||||||||||||||
3 | 2 |
ℤ;
п | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
7)( 1) | arcsin | 4 | |||||||||||||||||||||||||||
7 | 2 |
ℤ.
5k
4.20. 1), kℤ;
2)+ п; 7k , п, kℤ;
412
131
n , п ℤ. 6 2
4.21. 1)+ п; ( 1)k 1k;
6
п, kℤ;
2)+ п,k, п, kℤ;
k ;n ;m ;
3 | 10 | 5 | 8 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т, п, k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | k | ; | n; | m | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | 2 | 10 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т, п, k ℤ; | n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
п, kℤ;
k; ( 1)nn ; п, k ℤ; 6 2
k ; ( 1)n n ;
63186
п, kℤ;
k; ( 1)n 1n ; п, k ℤ;
8 2
9) arctg 1n;22 k;
3
п, kℤ;
arccos 1 2 n; 3
1 | k; | п, k ℤ; | |||
arctg | |||||
5
l ; k ; l, k ℤ; 4 8 2
12)+ п;+ k; п, kℤ;
3
arccos 1 2 n; – + k;
3
п, kℤ;
14) | k |
|
|
| arccos |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 | 7 | 10 | 10 | 10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| arccos |
|
| п, l, k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 |
|
k; 4
arcsin 4 17 k ; п, k ℤ;
2
k; ( 1)n arcsin 1 n;
2 | 3 | |||||||||||
п, k ℤ; | 2 k | |||||||||||
|
|
|
18) 0;k;l ;
16 2
m ; k, l N {0}, m N. 16 2
4.22. 1)2 п; пℤ;
6
2 k;2 п ; п, k ℤ.
4 | 4 | 3 | |||
4.23. | 1) | 2п; п ℤ; | |||
3
( 1)nn ; п ℤ; 18 3
3) | ( 1)n arcsin | 1 | n; п ℤ. | |||||||||||||
| 3 | |||||||||||||||
4.24. 1) | 2 п ; | п ℤ; | ||||||||||||||
4 |
132
2 2п;п ℤ. 3
4.25. 1)k ;2 п , п, kℤ;
3 3 n; 6 k; 2 + 6 l; 2
п, k, lℤ;
3п;3 3т; 2 4
( 1)n 1 | 3 n | ; п, k, т ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.26. 1) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 1 | ; | 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 2 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 0; | 1 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.27. 1) 2; | 2) 1; | 3) 4; | 4) 6. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.28. | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 0; | ;3 ; | 2) | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) x | k , k 5, k ℤ; 2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | x | 3 | k , k –1, k ℤ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
xk , k 2, k ℤ; 12 3
7 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | x | ; | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.29. 1) 1; 6; 0; |
| ; |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 0; 4; | ; |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 k , k [–4;–3;…;5]; 8 4
1 k , k [–3;–2;…;1]; 5 ; 6 ;
424 5
xk, k (– ;0] [6;+ ); 4
kℤ;
5);2 ;5 ;17 ;3 ; 331818
6) 19 ; 3k1; k ℤ; k > 6;
66
4.30. 1) 2 k, xk, kℤ;
32
2
2)п, xп, nℤ;
4 2 l, x l, l ℤ; 3
п, xn, n ℤ;
62
7 2 k, x k, k ℤ.
64
4.31.1)2; 2); 3)2; 4);
3432
3 .
4
4.32. 1) 1; 2) –3; 3) 2; 4) 3; 5) 0.
4.33. 1)1; 2) 1; 3) 3; 4) 1;
357
3 . 2
4.34. 1) xk;k;2 k;
2
2 k ; 6
133
x; 3) x k; 12 2
x 5 2 k ;
6
5) x = k,kℤ.
4.35. 1) x2 k;2) x;
xk;
6
1 | |||||
4) | x arccos | 2 k; | |||
4
x ( 1)k 1 arcsin 1 k; 4
6) ( 1)nп;2 т;
62
п, тℤ,т0.
5 2 m; т ℤ; 6
3 2 n; п ℤ;
4
arcsin 3 2 n , п ℤ; 4
– 2п;
3
1
arccos2 m; п, т ℤ;
5
k ; k ℤ; k 8l + 4; 8
n ; k ; п, k ℤ;
63105
6l –2, k 10l – 3;
arctg3 + k.
4.36. 1) arctg 2n , пℤ;
3
п ( 1)п 1 arcsin 1 , п ℤ; 3
3)2 п,пℤ;
4)2 k;2 п; п, kℤ;
24
5)2 п, 42 k, п, kℤ;
3
2 п, 2 k , п, k ℤ; 3
arcsin 2 2 n , п ℤ; 3
4.37.1)2 ;2)2 ; 3) ;4)2 ;5) .
4.38. 1) x2 k;
6
1 | |||||
2) | x arccos | 2 k; | |||
4
x2 k;
4
x 2m; x 3k;
7
x 3 2 k.
4
4.39. 1)arctg2 + 2 п, пℤ;
2 k; 6
3 | arcsin | 1 | 2 n; п, k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||
| 4 |
1
arccos2 n , п ℤ;
5
2 k; 3 2 k, k ℤ;
4
k ;п ; п, k ℤ;
4 2
7)2 k; 32 k ; kℤ;
88
134
2 k; 5 + 2 п;
4 | 24 | ||||
п, k ℤ; | |||||
9) +2 п; | 1 | + 2 k; | |||
+ arctg | |||||
4 | |||||
п, kℤ;
2 n; arctg(–2) + 2 k; 2
п, kℤ;
11)2 n; arctg5 + (2k+1) ;
2
п, kℤ.
4.40. 1) x7; 2) x5;
43
x 11 ; 6
51
4) x = 2arccos;
5) x7 .
4 | ||||||||||||||||||
4.41. 1) | ; | 2) | ; |
|
|
| ||||||||||||
6 | 3 |
|
–1; 5). 2
4.42. 1) 2 n17 , n ℤ;
12
l, l ℤ; 3
3 2 n, n ℤ; 4
2 n, n ℤ; 2
m, m ℤ. 6
4.43. 1)2 k, k ℤ; 2) l, l ℤ;
k,2 т, m, k ℤ; 2
k,п, n, k ℤ.
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4.44. | 2 l, l ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
4.45. | ( 1)k 1 arcsin | k; | ||||||||||||||||||||||||||||||
13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1)n 1 arcsin |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1)m arcsin |
| m; | п, k, т ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||
13 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
4.46. | ; | 2 k | ; | 2 n | ; | |||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 m | , | где k = –1, –2, –3, …; | ||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0, –1, –2, …; т ℕ. 4.47. { 1}.
4.48. –2.
4.49. 48.
4.50. 5.
4.51. 9.
4.52. 1) a ( ; 0,5]; 2) a | 2 | ||
;4 ; | |||
3 | |||
3) a [0; 1]; | 4) a = 1; 5) a ℝ. | |||
4.53. 1) | 1 | |||
a | ; ; | |||
2 | ||||
a ( ; 1) (0;1) (2; );
a ( 2;1); 4) a ( 1; );
1 | a –2. | |||||
5) | a | ; | (3; ); | |||
3 4.54. –6.
4.55. 1) a |
| ; |
|
|
| ||||||||
11 |
|
135
3) a11 ; 4) a 3 ; 5) a 1 .
6 | 16 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
4.56. 1) | n,arctg( 2) n , | |||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||
n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||
2) a ( ; 2]; | ||||||||||||||||||||||||||||||
3) | n, |
| ||||||||||||||||||||||||||||
3 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
4) 1; | {0}. | |||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
4.57. 1) a 3; |
| ; | 2) a {–3; 1}; | |||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||
3) a {–2; –1}; | 4) a {–4; 2}; | |||||||||||||||||||||||||||||
5) a {–3; 1}. |
4.58. 1) При а(– , –11)(5, + )
хп ;
|
|
| ||||||||||||||||||||
1 | 2 | |||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||
х2 = ( 1)k arcsin | ( | 2) k; | ||||||||||||||||||||
5 а | ||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||
п, k ℤ; | ||||||||||||||||||||||
2) при а [2; 3] | k ℤ; | |||||||||||||||||||||
х = k 0,5arccos(2a 5) ; |
при а(– , 2)(3, + ) x =;
при а (– , –1) (1, + ) {0} x = k;
при а [–1, 0) (0, 1]
x = k, х = ( 1)п arcsinа п,
п, kℤ.
25 | ||||
4.59. 1) При b | , | [0, ) | ||
4 | ||||
x =;
25
при b4 ;0
21
5 arcsin 5 b 5 n ,
п ℤ;
при a ( , 3)
( 3;1) (1;3) (3; )
x arcsin | 2 | n , | п ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a ( 1;1) { 1 | 3} | x = . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.60. | a | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;3 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.61. | 1) | a 1; 1,2 ; a | 6 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.62. | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ;1 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.63. | а | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.64. | (8– 6 | 3 ; –1). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.65. | 3. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.66. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.67. | 1) При | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a; | [1; ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ( 1)n arcsin | 1 2a | n, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y arccos | 2(a 1) | 2 k; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2a2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п, kℤ,
136
1 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при | a | ; 1x = . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.68. | 1)(3– 2 | 2 | ;+ ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.69. | (5– 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.70. | 18 | 2 | 2, . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.71. | При а (– ,0) | а2–1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при а [0; ] | –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при | а (;+) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2–2 а–1+а2. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.72. | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приа, | 7а ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при | а | 1 | 1 | 4а2 3а 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при | а | , | а | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
4.73. 1) a{–6; –5; 3;4;};
a { 4; 5};
{–10; –9; 10};
a = 5; 5) a = 10.
4.74. | 2 | 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 7 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 18 | 6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.75. | | a | |
| , | a 0. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.76. | | a | 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.77. | 1) a = 2; 2) a = 1; | 3) a = 10; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) a = 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.78. | 15 | 27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | ; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4.79. 1) 7; 2) 0; 3) 5 ; 4) –7 ;
5) 12.
4.80. 1) а[–1; + );
7 | 13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | a | ;6 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.81. | 1) a = 2; | 2) a = 100. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.82. | а [–3; 1]. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.1. k | ;2 n | ,п ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.2..
5.3. {(– ; ); ( ; – ); (0; –2 ); (0; 0); (– ; )}.
5.4. | (12n 5) | (3n 1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(12n 1) | (3n 2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ,п ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
,п ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5. | k | ; | k | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.6. | (6n 6k 1) | (6n 6k 1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(6n 6k 1) (6n 6k 1)
;,
63
ℤ.
5.7. | 3; |
| 2 n , п ℤ. | |||||||
3 | ||||||||||
n | 2 | |||||||||
5.8. | ( 1) | n; | 2 k ; | |||||||
6 | 3 | |||||||||
n 1 | ||||||
( 1) | n; | 2 k , | ||||
6 | ||||||
3 |
п, kℤ.
137
7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.9. | (k n); | (k n) ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | 24 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(n k); | (k | n) , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п, k ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.10. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | п | arcsin | 2 | m | arcsin | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | п | 2 | m | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1) | arcsin | ( 1) | arcsin | (n m) , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 5 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п,т ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.11. | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.12. | (n k); | (n k) , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k, т ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.13. | (n k) | ; | (n k) , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k, n ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.14. |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п, k ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.16. n; | 2 m , п, т ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.17. | (2 n; 2 k ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k, п, т, p ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 m | ;2 p | , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.18. При k = 1
tg | (1 | 7 );cos | (1 7). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.2. 1) | 2 | 7 | ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k; | 2 k , k | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 2 k; | 2 k , k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | k; | k | , k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | k; | k | , k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | 2 k; 2 (k | , k ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.3. 1) 5; | 2) 2; | 3) 3; | 4) 3; | 5) 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 13 | ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.5. 1) | 2 k; | 2 k , k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 2 k; | 2 k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | , k ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k; | 2 k | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 2 k; | 2 k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k; | 2 k , k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | k; | k | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | k ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k; (k 1) , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
138
5) | 2 k; | 2 k | |||||||||||||||
6 | 4 | ||||||||||||||||
7 | |||||||||||||||||
2 k; | 2 k | ||||||||||||||||
6 | |||||||||||||||||
2 |
5 | 3 | , k ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k; | 2 k | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.6. 1) | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ; |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
| 6 |
5
3;3 6; ;
3
4;3 4; ;
2; 3 4;0
2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | ;0 | 0; |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.7. | 1) a = 1; | 2) a = 1; a = 2; |
a = k, k ℤ;
4) ak, kℤ; 5) a = 0.
6.8. 1) x( 1)kk;
4
x( 1)k k; k ℤ; 6
2) x2 k;x2 k;
43
kℤ;
x ( 1)k 1k; k ℤ; 12 2
4) xk;xk;
xk. 3
6.9. 1) p(– ; –2) (1; + );
3 | 3) p [–1; 0]; | ||||||||||||||||||
2) p | ; | ; | |||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||
4) p [–3; 2]; | 5) p [–3; 3]. | ||||||||||||||||||
6.10. 1) x | 2 | 3 | |||||||||||||||||
; |
| ||||||||||||||||||
3 |
|
x 6 ; 4 {0};
3) | x | 5 25 | 7 29 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | x | 3 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 5
x 4 ; 6 .
6.11. x(– ; –2] [2; + ).
6.12. x | 2 | ||||||
2 k; | 2 k | , | |||||
6 | 3 | ||||||
kℤ.
7.1. 1) 1 и | ; 2) | 1 | и – | 1 | ; | ||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||
1 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||
и | |||||||||||||||||||||||||||||
3) | 3; 4) 1; не сущест- | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||
вует; | 5) | 1и –1. | |||||||||||||||||||||||||||
7.2. 1) | x [2 k; (2k 1)], |
k = 0, 1, 2,…;
x[ 2(m 1); 2 m], m = 0, –1,–2,…
x ℝ;
139
3) x [ ; ) \ | k, k 1,2,3,... , | |
2 | ||
x = m, m = –1, –2, –3,…;
4) |x| | k; | k | , k = 0, 1, 2,…; | ||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
5) | |||||||||||||||||||||||||||||||
x; | m, m 1,2,... . | ||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
7.3. 1) xk, kℤ;
4
xm, m ℤ; 3
x | m, | ||||||||||||||
2 | |||||||||||||||
3) |
| ||||||||||||||
k | |||||||||||||||
x ( 1) | k, | ||||||||||||||
6 | |||||||||||||||
xk, k ℤ; 2
xk, k ℤ. 4 2
7.4.1)2 ;2) 3 ;3);4)2 ;
323
.
7.5. | 3 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.6. |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.7. | 5. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.8. | 64 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.9. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | E | 1 | 4) | E | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ; 0 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
5) (;1].
7.11. 1) | 4 | ; | 2) – | 17 2 | ;3)85 | ||||||
3; | |||||||||||
| 26 |
–3; 5) 17 . 3
7.12. 1) a(–1,5;+ );
2) a (– ;1); | 3) a (– ;2); | |||||
4 | ||||||
4) | ; ; g (– ;2]. | |||||
3 | ||||||
7.13. 1) x = 2; | 2) x = 4; 3) x = 7; | |||||
4) x = 5; | 5) x = 3. |
7.14. 1) xk, kℤ;
4
xk, k ℤ; 2
x k, k ℤ;
xk, x = m; k, т ℤ; 6
xk.
6 | |||||||||||||||||
7.15. 3. | |||||||||||||||||
7.16. | 1) –1; | 2) –4; | 3) –3; | 4) –2; | |||||||||||||
5)–6. | |||||||||||||||||
7.17. | 1) | 7 | ; | 2) | 2 | ; | 3) | 5 | ; | 4) | 1 | ; | |||||
6 | 5 | 8 | 3 |
1 .
4
7.18. 1) E = [a2 – |a| – 2; a2 + |a| – 2], |a| 2;
2) при a(– ;–2] [2;+ )
E = [–a2;a2];при a(–2; 0]
E | a | (a | 2 | 4);a | 2 | ; | ||||||||||
4 | ||||||||||||||||
при a (–2; 0] | ||||||||||||||||
2 | a | 2 | ||||||||||||||
E | a | ; | (a | 4) | ; | |||||||||||
4 | ||||||||||||||||
140
3)E12 | sin a | ; | |||||||
4 | |||||||||
1 2 | sin a | , a ℝ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) при sina > 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 cos | 2 | a | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 sin a | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при sina < 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 cos2 a | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | 4 | sin a | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a = k, E = ℝ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тема II | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. 1.1. 1) 2 | 2) а2; | 3) n2m | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2; | n |
4) 3b; 5) 2а4 2а2 ; 6) 5x2.
1.2. 1) 53a5 ;2) 797 q3 ; 3) 52b5 ;
4) 12a3 ; | 5) 3 27b4 ; | 6) | n5 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) 3 |
|
| ; |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3. 1) 8,9; | 2) 6; | 3) 30; | 4) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 0,6; | 6) 1,5; | 7) 1,5; | 8) –1,2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 0,8; | 10) 225; | 11) 72; | 12) 45; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) 6; | 14) | 5 | ; | 15) | 1 | ; | 16) 4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17) | 1 | ; | 18) 2; | 19) 1; | 20) 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21) 3; | 22) 2; | 23) 6; | 24) 12; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25) 2; | 26) |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4. 1) 3a4; 2) 2b3; 3) 24b3; 4) 74c5;
5) 113d2; 6) 32a; 7) –a3b; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) –a3b2; | 9) 3a; | 10) 2t–2; | 11) | 2b ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12) | n | ; 13) c9; | 14) c2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2m | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | 38 | ab3 | ; | 16) b2 |
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. 1) 11b–5,2; 2) 4k–5,1; | 3) 13c4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 14c3; | 5) 24c2; |
|
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 5 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) | 5c 6 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. 1) 21/3; | 2) 31/3; | 3) 40,1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ( |
| )0,8 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
| 4) 216; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2) 23; |
1
2 4.
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 34. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.9. 1) 3; | 2) 4; | 3) 8; | 4) | 1 | ; | 5) 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 64; | 7) 27; | 8) | 1 | ; | 9) 4; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) | 1 | ; | 11) – | 1 | ; | 12) 1; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) –3; | 14) 10. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.10. 1) –17; | 2) –4; | 3) 8; | 4)3 6; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 111,2; | 6) 60,7; | 7) 2; 8) |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
141
4 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 54; 10) |
| 12) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13)5 102 5; | 14) 36; | 15) 2,5; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) 1; | 17) | 89 | ; | 18) 128. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.11. 1) 1; | 2) | 1 | ; | 3) 2; | 4) –2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | ; | 6) –5; | 7) | ; | 8) 2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3
–2; 10) 5 .
1.12. |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) –1; | 6) –2. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.13. | 1) 3; | 2) –2; | 3) 3; | 4) log23–2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) –2; | 6) 2; | 7) 4; | 8) 2; 9) 2; 10) 2. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.14. | 1) –3,5; | 2) | 5 | ; | 3) –4; 4) | 3 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 2 | ; | 6) | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.15. |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 2; | 7) 2; | 8) 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.16. | 1) | 49 | ; | 2) 4; | 3) 2; | 4) 16; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 25; | 6) |
|
| 8) 54; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 12; | 10) 9. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.17. | 1) 3; | 2) 5; | 3) 97; | 4) 5; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 0,5; | 6) 5; | 7) 2; 8) 24; | 9) 2; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) 6; | 11) 6; | 12) 10; | 13) |
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) | 1 | ; | 15) –6. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.18. | 1) –20,2; 2) 27 | 1 | ; 3) –16,5; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 551.
8
1.19. | 1) 20; | 2) | 4 | 3) | 9 | ; | ||
3; | ||||||||
25 | ||||||||
22; 5) 23; 6)8;
–4; 8) 23.
1.20. 1) | –72; | 2) 24; | 3) 4; | 4) 14; | ||||||||||||||||||||||||||||||
5) 6; | 6) 6; | 7) 2; | 8) 6; 9) 18. | |||||||||||||||||||||||||||||||
1.21. 1) | 10; | 2) 3; | 3) 5; | 4) 49. | ||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. 1) | 324; | 2) 30; | 3) | 2; | 4) 3; | 5) 4. | ||||||||||||||||||||||||||||
1.23. 1) | 1 | ; | 2) | 1 | ; | 3) 4; | 4) 3; | |||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
| . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1.24. 1) 0,36; 2)0,16; 3) 402; 4) 7;
5; 6) 3; 7) 5; 8) 27; 9) 11. 1.25. 1) 10; 2) 2,01; 3) 3; 4) 5;
2; 6) 0,125; 7) 0,2.
1.26. 1) 19; 2) 11; 3) 15; 4) 47;
57; 6) 24; 7) 2; 8) 4.
1.27. 1) 2; | 2) | 2 | 2; | 3) 55; | 4) 67. | ||
1.28. 1) 1; | 2) 0; | 3) 2; | 4) 1; | 5) 1. | |||
1.29. 1) 3; | 2) –1; | 3) | 10; 4) –2; |
–2; 6) –1; 7) 0; 8) 0; 9) –1;
1.
1.30. | 1) 0; | 2) 0; | 3) 0. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.31. | 1) y1/m; | 2) (a2b)–1/12; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)a1/3+b1/3; | 4) | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a(a1/ m a1/ n ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) z p 3 ; | 8) | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a(3a b) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.32. | 1) 0; | 2) 5; | 3) 4; | 4) 6; | 5) –8; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 2; 7) | 1 | ; | 8) 2. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
142
1.33. 1) 4 + 2a; | 2) 1 | b | ; | ||||
6 | |||||||
3) | 2 2a | ; 4) | 1 b | ; | |||
2 a b | 3(1 a) |
a(b + 3); 6) 1 (2ab 3). 2
1.34. 1) a < b; | 2) a < b; | ||||||||
3) a > b; | 4) a > b; | ||||||||
5) a > b; | 6) a < b. | ||||||||
2.1. 1) –3; | 2) | 1 | ; 3) | 3 | ; 4) –4; | ||||
2 | 4 | ||||||||
5) | 5 | ; 6)3; | 7) | 19 | ; | 8) –2; 9) 2; |
2
5 log3 7; 11) 1 (1 log5 2); 2
12) log29; 13) { 1}; 14).
2.2. 1) | {0;–2}; | 2) – | 1 | ; | 3) 1; | 4) 0; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 |
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) 0; | ; | 11) | ;1 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. 1) | 3; | 2) 1; | 3) 1; | 4) 2; | 5) 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 1/2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4. 1) | 0; | 2) –2; | 3) 3; | 4) 0; | 5) 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 0; | 7) 0; | 8) –1; | 9) 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5. 1) | 1 | ; | 2) 2; | 3) { 2}; | 4) | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) { 4}; | 6) { 5}; | 7) |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8){ 3; 1}; 9) {2; 4}; 10) {1; 4}.
2.6. 1) 3; 2) 3; 3) 5; 4) 2.
2.7. 1) 16; 2) 81; 3) 125;
1 ; 5)33.
27
2.8. 1) 25; 2)10002 ; 3) 64; 4) 9;
5) {4,5; 6}; 6) 3; 7) 3.
2.9. 1) | 7 | 2) {2; 3}; 3) 10; | |||
;2 ; | |||||
2 | |||||
{–3; –4}; 5) {–10; 0};
{–2,5; 3}.
2.10. | 1) | 1 | 2) 10. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;3 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11. | 1) | 8 | ; | 2) | 1 | ; | 3) 3; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 0; |
|
| 6) | 1 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.12. | 1) | –2; | 2) 1; 3) 1; 4) 4; 5) 3; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13. | 9. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.14. | 4. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15. | 1) | 0; | 2) | 1 | ; | 3) 1,5; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4){ | 2}. |
2.16. 1) {2; 3log74 + 3};
{1; –(1 + log155);
{–3; 3 – log725}.
2.17. 1) | {–1; 4}; | 2) {1/3; 2; 4}; | ||||||||
3) | {–1; 3; 4}; | 4) | 3 | |||||||
3; 1; | . | |||||||||
2 | ||||||||||
2.18. 1) | {–2; 0}; | 2) 3; | 3) 1; | |||||||
4) | 0; | 5) {0; log75}; | 6) 3; | |||||||
7) | 0; | 8) 2; | 9) 3; | 10) 5; |
{ 2}; 12) 3; 13) 1;
{1; log173}; 15) 1;
16) { 1; |
| 3 |
| |||||||
2 |
{1;log3 2 (3 2)};
1
;1 . 3
143
2.19. | 1) | 2; | 2) –1; | 3) 1; | 4) | 2 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) { 1}; | 6) 2; 7) {log32 – 1; 2}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) | 4 | ;1 | 1 | log2 | 3 ; | 9) 1; | 10) 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.20. | 1) | { 2}; | 2) { 2}; | 3) { 3}; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4){0;log | 6}. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 2 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.21. | 1) | 0; | 2) 0; | 3) {0; 1}; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) {–2; –1}; | 5) | 1 | 6) 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) log | 3 | ; | 8) {0; 1}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 0; |
| ; | 10) –1; | 11) 1; | 12) 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.22. | 1) | {1 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.23. | 1) | {2; 4}; 2)[3; ) | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.24. | 1) log32; | 2) 0; |
{log3 (3 1);log3 (3 7 )};
4; 5) –1; 6) 1.
2.25. 1) 4; 2) 2; 3) {3; 10}.
2.26. 1); 2) 5; 3) 7; 4) –2.
2.27. 1) | 5 | ; | 2) 1; 3) | 5 | ; | 4) 8 | 1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 |
|
| 3 |
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.28. 1) | ; | 2) 2; | ; 3) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 9.
2.29. 1) –1; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) –1;
6) 3.
2.30. 1) 2; 2) 3; 3) –17; 4) 1;
5) 2; 6) –2; 7) {–1; 3}.
2.31. 1){ 11; 1}; 2){2 5 / 4 1; 3}; | ||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||
3) | 4) {3;3 2}; | |||||||||||||||||
;3 ; | ||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||
5) | 7 | 1 | ||||||||||||||||
3;6 | ;7 | ;11 . | ||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||
8 |
2.32. 1) {0,1; 100}; 2) | 1 | |||||||||||||||||
;4 ; | ||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||
3) {1; 25}; 4) {1; 5,5}; | 5) | ;8 ; | ||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||
–7 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) {3; 3 | }; | 7) | ;9 ; | 8) | ;4 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 16 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.33. | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) | ;8 ; | 2) { 2;4}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3){3;9}; | 4) | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;23 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.34. | 1) | 1 | 2) 3; | 3) –1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;9 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | ;1;3 ; | 5) { 3}; 6) | ;1;8 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.35. | 1) | {1; 25}; 2){3 | 3;3}. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.36. | 1) | 1 | ; | 2) | 1 | ; | 3) | 10 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 49 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.38. | 1) | 512; | 2) {1; 27} | 3) 4. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.39. | 1) | {2; 4}; | 2) {–1; 2}; | 3) 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. 40. | 1) |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) {64; 81}; | 4) {1; 24 | 3}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
125 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 1; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
144
2.41. 1) arctg2 + 2 n, nℤ;
2) 22 k, kℤ;3)2 n;
3 | 4 | |||||
4) | 1 | 2 n; | ||||
arccos | ||||||
3 | ||||||
n1
5) ( 1) arcsinn .
7 11 513 2.42.1) ; ; ; ; ; 12 24 24 12 24
2) | 2 | 3) | 7213 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ; | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | 3 | 3 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | ; | ; | ; | 5) | 2 n, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n ℤ; | 6) | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.43. 1) 1; 2) | 1 | ; | 3) 0; | 4) –1; | 5) 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) 1; | 7) 3. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.44. 1) | n, 2 k, k, n ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) – | 2 n, n ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | n, n ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | n, n ℤ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.45. | 9 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.46. 1) | n, | n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k, k ℤ;
3) | n; 6 |
| |||||
2 |
4) | k; |
| ;2 k ℤ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.47. 1) 1; | 2) 3; 3) 2; | 4) 1; 5)0; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6)–1. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.1. 1) (– ; 3]; | 2) (–1; + ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) (–2; + ); | 4) (– ; 3]; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | ; ; | 6) | ; ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 1 | 8) | 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | 9 | 10);2 log3 2 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
57
;6;12) 2; ;
13) | 4 | 14) | 5 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;3 | ; | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) | 1 | 16) ; | 17) ℝ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18); 19) (– ; 7); 20) [8; + );
5 ; 2 ; 22) (log25; + );
3
(–1; 7);
(1 5; 1) (3;1 5) ;
(– ,0) (3;+ );
(– , –8) (4; + );
(– , –8] [6; + );
28) |
|
| 29) (1; 4). | |||||
4 | ||||||||
3.2. 1) [16; + ); | 2) (8; + ); | |||||||
3) (0; 3); | 4) [2; 3); |
145
5) (2; + ); 6) | 10 | |||
; ; | ||||
7 | ||||
[–2; –1) (3; 4];
[–5; –3) (3; 5];
(– ; –4,5) (4; + ); 10) [2; 5];
11) | 5 | 1 | 12) | 3 | 52 | |||||||||||
; | ; | ; | ; | |||||||||||||
5 | ||||||||||||||||
6 | 3 | 5 |
(– ; –2] [4;+ );
(–1; 1) (2; 4);
15) | 1 | |||||||
( ;2) |
| |||||||
2 |
(– ; –9] (3;+ );
[ 1;1 3) (1 3;3];
(2; 9); 19) [–4; –3) (0; 1];
2
2;3;
[0; 2 2) (2 2; 6];
[–1; 1) (3; 5];
12
3;3 .
[ 7; 35) [5; 35) .23)
3.3. 1) (–2; + ); | 2)( ;3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 17 | 1 | 17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) [1; 5]; | 4) |
| ;9 ; | 5) (–1; 3); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
1
6) (– ; –1] [5;+ ); 7);7 ;
5
14
; 3 .
3.4. 1) ( 3; 6)(6;3);
2) | (–4; –3) (8; + ); | ||||||||||||||||||||||||||
5 | 65 | 7 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
3) | ; | ; | 4) | ; |
| ||||||||||||||||||||||
4 | 36 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||
3.5. 1) (0; 3]; | 2) (0; 9]; | 3) [4, + ). | |||||||||||||||||||||||||
3.6. 1) (– ; 0,5]; | 2) [–log25; –1]; | ||||||||||||||||||||||||||
3) [2; + ); | |||||||||||||||||||||||||||
4) | 5 | 5) (– ; 1]; | |||||||||||||||||||||||||
( ;0) | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
6) | (– ; –1); | 7) (0; 1); 8) (0; + ); | |||||||||||||||||||||||||
9) | (1; + ); | 10) (– ; log25]; |
(– ; log23) (2; + );
(– ;–2) ( log23; + );
1
13)(;0);.
3
3 5 | 3 | 5 | |||||||||||
3.7. 1) | |||||||||||||
log | 2 | 2 | ;log | 2 | 2 | ; | |||||||
(–1; + ); 3) (– ; 1);
(10; + ); 5) (3; + ).
3.8. 1) (– ; 1]; 2) 0; |
| ; | 3) [–2; 1]; | ||||
2 | |||||||
4) (0; 1); 5) (1; + ). | |||||||
3.9. 1) (– ; –1) (1;+ ); | 2) (1;+ ); |
(– ; 0) (log23; + );
(– ;0) [1;+ );
1 | ||||||||||||||||||||||||
5) [log3 2;0) | log3 2;log3 | 2 . | ||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||
3.10. 1) | 13 | |||||||||||||||||||||||
; ; | ||||||||||||||||||||||||
5 | 5 | |||||||||||||||||||||||
1 | 2 | |||||||||||||||||||||||
2) | ; ; | 3) {2} [5;+ ); | ||||||||||||||||||||||
3 | 3 | |||||||||||||||||||||||
4) (1; 2) [3; + ); | 5) (0; 4); | |||||||||||||||||||||||
6) (5; 9] [10; + ); |
146
(0; 1) {10};
[log75; 1) (1; 9);
9) | 0; | 1 | {5}; | ||
2 | |||||
10) (–6; –4] [–3;+ ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.11. | 1) | (1; + ); | 2) (2; + ); | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ; |
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
7)[10;+ ); | 8) | ;log4 11 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ;1 (4; ); | 3) ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1
;1 (2;4);
2
( 5; 2) (1; 5);
1 5 | 1 5 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | ; | ; | 7) | ;1 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8)( 1;1 2 | 2 | ) . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13. 1) (0;10 4 ] [10; ) ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ;4 | ; | 3) a) | {10; | 10} | , | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) (0, | 9 |
| ) (10, + ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) а) |
| ;3;б) |
| ;3 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
81 |
|
1
;1 [5,5; + );
2
6) (2; 4); | 7) 1; |
|
| 8) (2; 3); | |||||||
10 | |||||||||||
9) (3; 5]; | 10) (2; 5); | 11) [2; 4); | |||||||||
12) (– ; –1) (2; + ). |
3.14. 1) | 1 | ||||||
0; | [2; ); | ||||||
2
1
0;(10; ) ;
10
3) | 1 | 1 | 1 | ; | ||||||
; | ;4 | |||||||||
4 | ||||||||||
64 | 4 |
( ; 310) [ 1;0) (0;1] (310, ).
3.15. 1) (3; 27) [243;+ );
2) | 1 | 1 | 1 | |||||||||
0; | ; | . | ||||||||||
2 | ||||||||||||
4 | 4 |
9 11 3.16. 1) ; 23 5; 5
[27;+ );
(– ; –67) (–7;–3) (–3; 1) (61; + ).
3.17. 1) [3; 45]; 2) (0; 16] [24;+ ).
3.18. 1) (0; 1) (3; + ); | 2) |
| ; |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 2; | (0;1); | 4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3
; 1 ( 1;0) (0;3) ;
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) ( 1;0) | 1 | 7) (2;3) | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;3 | ; | ;6 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) (10 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 1; | (2;3]. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.19. 1) | 4 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; 1 | 1; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
26
3;1 1;5 .
147
1 | 13 | 1 | 13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.20. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 13 | 1 | 13 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2; | ;7 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.21. 1) 0; | ;1 | (1; ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | (1;3 9]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 0; | [3 2; ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.22. 1) | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3; ); 2) [ | 2;2]. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3
;2 .
2
3 | ||||||||||||||||||||||||||
3.24. 1) 0;log32 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||
2) | ( 1; |
| ]. | |||||||||||||||||||||||
4.1. 1) {(4; 2)}; | 2) {(4; 1)}; | |||||||||||||||||||||||||
3) {(2; 1)}; | 4) {(0; –3)}; | |||||||||||||||||||||||||
5) {(1; 1)}; | 6) {(2; 1); (10; 5)}; | |||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
7) | (7;49); | ; | ; | |||||||||||||||||||||||
49 | 7 | |||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||
8) | ;6 ; | 9) {3; 3}; | ||||||||||||||||||||||||
6 |
10) {(2; 3); (3; 2)}.
4.2. 1) {(1; 2); (log29; log32).
2) {(16; 4)}; 3) | 2; | 3 | ; | ||||||
2 | |||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 2; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
784 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 {(3; 9); (9; 3)}; 6) {(20; 5)}; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 4; | ; | 8) {(–2;–2);(2;2)}. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.3. | 1) {(2; 1)}; | 2) {(0; 1)}. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.4. | 1) {(–2;–2); (4;–2)}; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) {(–4; 4); (7; 4)}. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.5. 1) | ; 5 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ; 8 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.6. 1) 4. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.1. | 1) При а (– , –1] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = log2(1 – 2a); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при а | 1; | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x {log2 (1 2a);log2 (a 1)}; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | ;x log2 (a 1); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) при a; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x1 = –log2(–3c – 4), x2 = –log2(5 – c),
4
при с3;5
log2 (5 с);
при с[5;)x;
4 | |||||||
3) при a | ; | ||||||
3 | |||||||
{log3 (3 2a);log3 (3a 4)};
148
3 4
при a2 ; 3
log3 (3 2a);
4 | ||||
при a | ; | x . | ||
3 | ||||
6 | ||||||||||||||||||
5.2. 1) При a | ; | x; | ||||||||||||||||
7 | ||||||||||||||||||
6 | ||||||||||||||||||
при a | ; | |||||||||||||||||
7 |
log4 (2b 4b2 7b 6);
1
при a;[0; ) x ;
4
при | a | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | ;0 | x10 | 2 | 10, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
где y1,2 | 1 4a | 32a | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
1 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
2a | ||||||||||||||||||||||||||||||||
3) при a | 5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
, | , | |||||||||||||||||||||||||||||||
94 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||
х = ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||
,0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
94 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
| ; | ||||||||||||||||||||||||||||||
приа=0 х= 1; |
1 | ||||
при а | 0; | |||
10
1 log5 t1,2 ;
при a1x 2 ,
10
где t1,21 14a60a2 .
2a
4) при а (– , 0] (3,+ ) x = , при а (0, 3]
х {2 log3(2 | 4 a )}; . | |||||||||||||||||||
5) при a | 5 | |||||||||||||||||||
; 1 | ||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||
x ( 1)n arcsin(log (a 3)) n, | ||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||
п ℤ, | ||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||
при a; | (1; ) | |||||||||||||||||||
х =.
10
при a3 ;2
c 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x arccos | log3 | 2 n, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | 10 | 2, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.3. 1) (–3; 5]; | 2) {–2} [0;+ ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | ;1 {2}. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.4. 1) | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | {0} [1; ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)[ 1; ) | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3);0 | [8; ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
5.5. (– ; 1].
149
5.6. 1) При а(– , –9)x =;
приа=–9х=1;
при а(–9; –8) (–8; 0)
x1,2 log3 (3 9 a) ; при а = –8 x log3 2 ; приа[0,+ )
log3 (3 9 a ) .
при a ( ; 1] x ;
при a( 1;0)
{log2 (1 1 a )};
при a[0;)
log2 (1 1 a );
при b ( ;12) х = ;
при b[12; 13)
log3 (1 b 12);
при b = 16 х =;
при b[13;) \{16}
log3 (1 b 12);
при a (– ;–2] {2; 6} х = ;
при a(–2; 2) {10}
log2 (a 2);
при a (2; 6) (6; 10) (10;+ ) x1 log2 (a 2); x2 log2 (a 2).
5.7. 1) y12x / 2 , y22 2x ;
y = {–3; 1} при х > 0,
y { 1 2} при x < 0;
y = x3 при x > 0, x 1, y 3 x при x > 0, x 1;
4) y = | 1 | при x > 0, x 1, | |
x |
5) yx при x > 0, x1.
46 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.8. 1) При a; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ; 3a ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | ; | x 3a ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | 5 | 46 | х; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при a | 46 | x | 46 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
134 | 67 15 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) при b; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
134 67 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при b | ; | x = –2b; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 | 134 |
2 ;3
при a (– ;–1] x1 = 9, x2 = 99;x;приb
при a (–1; 9] x1 = 9, x2 = 99; x3 = a;
при a (9; 99] x1 = 99, x2 = a; при a (99; + ) x = a;
4) при c(– ;–9]x1 = 3, x2 = 75;
при c(–9; 0]x1 = 3, x2 = 75,
x3 = c + 3;
при c(0; 72]x1 = 75, x2 = c + 3;
при c(72; + )x = c + 3.
150
5.9. 1) При а (– , 2) (2; 8] x= ;
приа=2 х (5;+ ); при а (8; + ) x a 2 .
2
при b (– , 3) [9; + ) x= ; при b (– , 3) [9; + ) x [3;9);
при b (3; 9)x1 (b 3);
2
при d (– , 0] {1} x= ; при d (0; 1) (1; 8]
x = 2 + 8 d ; при d (8; + )
x1,22 8d ;
4) при c(– ; 3)
x1,23 353с ;
при c[3; log331]
x1,23 353с ;
x3,43 3с27;
при c(log331;+ )x= .
при а (– , 0) x= ; при а (0; 8]
x1 log72 (2 9 a ); x2 log72 (2 9 a );
при а[8; 9]
x1 log72 (2 9 a ); x2 log72 (2 9 a );
приа(9;+ ]
x1 log72 (2 | 9 a | ). | |||||||||||||||||||
5.10. | –1. | ||||||||||||||||||||
3 |
| 4 | |||||||||||||||||||
5.11. | 0; | (2; ). | |||||||||||||||||||
4 | |||||||||||||||||||||
5.12. 1) Дуга окружности (х – 2)2+ +(у + 1)2 = 5 в первой четверти с тремя выколотыми точками;
часть квадрата |x – 1| + |y| = 1 в первой четверти с удаленной вершиной и часть прямой у = х –2 в третьей четверти;
часть параболы х + 2 = (у – 3)2, лежащая выше прямой у = х –7 с двумя удаленными точками;
часть гиперболы ху = 6 в пер-вой четверти, лежащая ниже прямой х + у = 5 с выколотой точкой.
5.13. 1) При a(– ; 6]
x[3; + ); при a(6; + )
a 2 | |||||||||||||||||||||||
x 3;3 log2 | ; | ||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||
a | 6 | ||||||||||||||||||||||
2) при a (– ; –2] | |||||||||||||||||||||||
2 | a 5 | ||||||||||||||||||||||
x 2 log4 | ; | ||||||||||||||||||||||
2a 3 | |||||||||||||||||||||||
при a (–2; 5) x [2;+ ); | |||||||||||||||||||||||
приа [5;+ ) | |||||||||||||||||||||||
2 | a 5 | ||||||||||||||||||||||
x 2; 2 log4 | . | ||||||||||||||||||||||
2a 3 | |||||||||||||||||||||||
5.14. 1) при а (– , –1) | |||||||||||||||||||||||
х {a+1} [0; 4); | |||||||||||||||||||||||
при а [–1, 0) | x [0; 4); | ||||||||||||||||||||||
при а [0, 3] | x (a; 4); |
при а (3; 4) x (a; 4) {a + 1}; при а [4,+ ) x a + 1.
2) при а ( ;2] x (3; ); при a (2;3)
х(2; a](3;);
151
приа=3
(2;3) (3; );
при a(3;)
(2;3) [a; );
при a (– ;–2]
(a; –1] (2;+ );
при а(–2, –1)
(a; –1) {a + 1} (2;+ );
при а[–1, –1)
{a + 1} (2;+ );
при а [1; 2] x (2; + ); при a (2; + ) x (а; + ).
при а (– ; –4]
(1 – a; + );
при а(–4; –3]
(–a; 4) (1 – a; + );
при а(–3; 0]
(–a; 1 – a) (4; + );
при а(0; 1]
(–a; 0) (0; 1 – a) (4; + );
приа[1;+ ]
(–a; 1 – a) (4; + ).
1 b
5) при b (– ; –6] x ; 2
при b(–6; –5]
b | b | ||||||||
x | ;3 | ;3 ; | |||||||
2 | 2 | ||||||||
при b [–5; 4] | b | |||||
x | ;3 ; | |||||
2 | ||||||
при b (4; 5] x [ 2;3]; при b (5; + )
1 b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | [ 2;3]. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. 1) | 4 | 2) | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ;0 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 5 | 8 | 4) | 57 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 28 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
5) (; 2,5); 6) (–3;–1) (2;4).
5.16. 1)4 ; 2) 6.
2
5.17. 6.
5.18. (–1; 0) (0; 1) (2;+ ), pmin = 3.
5.19. [0; 9), ymin = 0.
5.20. При p(0, + )
S( p)p( p12) ;
6
при p(– ; 0]S(p) = 0.
5.21. | 1 | . | |||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||
5.22. | 4. | ||||||||||||||||
5.23. | 1) | 1 | 3 | 2) | 2 | 11 | |||||||||||
;2 | ; | ; | . | ||||||||||||||
4 | 3 | ||||||||||||||||
4 | 3 |
25 | 59 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.24. 1) При d | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 (60 7d); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при d | 25 | 59 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
x= ;
11
при c 2 ;7
152
x log2 | (6c 11), | |||||||||||||||||
n ℤ; | ||||||||||||||||||
y arccos(6 c) 2 n; | ||||||||||||||||||
11 | (7; ) x= . | |||||||||||||||||
при | c | ; | ||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||
2 | 1 | |||||||||||||||||
5.25. 1) | ; | ; | 2) (– ; 2). | |||||||||||||||
3 |
|
11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.26. 1) ( ;1] | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0; ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.27. 1) | 7 | 7 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;2 | 2; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 7 | 8 | 8 | 7 | 4 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 3 |
| 2 |
11
; 94123;
{ 9;11};
51
;8 0;1;4.
5.28. | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 0; | ; | 3) | ; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.29. | (– ; –783]. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.30. | 3 | 29 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 65 | 7; . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.31. | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| При p (0; 1) |
1 | ||||
x (0; p) 1; | ; | |||
p |
при p(1; + )
1
;1 ( p, ). p
5.33. При p = 4k, | k ℤ, x = 1. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.34. При p = 2k, | k ℤ, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fmax 1 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 p2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При p = 2k + 1, | k ℤ, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fmax 1 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 p2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.35. При 0 < p < 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E | p | ;2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
log2 p | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при | p < 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E p 2 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.36. 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.6. 1) (– ; 4]; | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | ; ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) [–2;0]; | 4) (– ; 10); | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5)( ; 3] (2 |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.7. 1) | ;2 ; | 2) | ; ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | ; | ; | 4) | ;1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) [2;+ ); | 6) | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
153
6.8. 1) [4;+ ); 2) [–4;+ );
3) (– ; 0]; 4) (– ; 2]; 5) (– ; 2].
6.9. 1) [–1;+ ); 2) [2;+ ); 3) [1; 3];
4) [18; + ); 5) (– ; –2]; 6) [–1;+ ).
6.10. 5.
Тема III | |||||
1.1. 1) | 2 | 2) 1;1 ; | |||
; | ; | ||||
3 | |||||
[–0,4; 1]; 4) (– ; –1) [2; 3];
(– ;–3] (–2; 1) (1; 4);
[1;+ );
(– ; –1] [5; + );
(– ;2) (2;+ );
[–0,5; 3);
[–2; 1) (1; 3].
1.2. 1) x ℝ\ |
|
| |||||||||||||||||||||||||
6 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||
2) x ℝ\ 2 n , n ℤ; | |||||||||||||||||||||||||||
3) x ℝ\ |
|
| |||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
4) x ℝ\ | n , n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
5) x ℝ\ |
|
| |||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||
6) x ℝ\ n | , n ℤ; | ||||||||||||||||||||||||||
|
7)(– ;0)(0;+ );
8)(– ;1)(1;+ );
9) x(– ; 1) (1; 5) (5; + ).
1
1.3. 1)1;;
3
[ 2; 2] [ 2;2];
[8; 12];
( ;1] [1; );
1 1
2;2 ;
2
(;4]3;;
7) (;0][2;).
1.4. 1) (;2)(2;);
2) | ( ;2) (2; ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | 3 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5. 1) | 3 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | 2) | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | ( ; |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | 1 | 5) (–2; 2); | |||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) | ( ;1) (1; ); | 7) (3; ); |
(3;4) (4; );
( 5; 2) ( 2;2) (2;5);
10) | 5 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||||||
; |
| |||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||
1.6. | 1) 7; | 2) 5; | 3) 91; | 4) 1; | 5) 2. | |||||||||||||||||||||||
1.7. | 1) a) [1;+ ); |
б)[1;3)(3;);
в) (– ; –2] [2; + ); г) [1; + );
a) (– ; –2) (–2;–1] [1; + ); б) (– ; –2) (–2;–1) (1; + ); в) (– ; –1] [1; + ); г) (– ; –2) (–2;–0,5];
a) [–1; 0) (0; 8]; б) [–1; 0) (0; 8];
154
1
в)(;1]8;;
г) [–1; 3,5) (3,5; 8]; 4) a) [–2; 0);
б) | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||
2; | ;0 | ; | ||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
в) | 2; | ; г) | ; | ; | ||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||
5) a) (– ; 0) (4; 5) (5; + );
б) (– ;–1) (–1;0) (4; 5) (5; + );
в) (–1; 5) (5; 7);
г) (– ;–0,1) (–0,1; 0) (4; 4,1)
(4,1; + ).
1
1.8. 1);;
4
(– ; –1) (–1; 0) (0,5; + );
(– ; –1) (–1;–0,25] {0} [0,5; + );
(– ; –4] [–0,4; + );
(–1; 0) {0,5}.
1.9. 1) (–2; –0,5]; 2) | 1 | |||||
; ; | ||||||
3 | ||||||
3) [–3; 1];
7 | k ℤ; | ||||||
4) | 2 k; | 2 k ; | |||||
6 | |||||||
6 |
5) (–1; 2].
1.10.
1)
2)
3)
4)
5)
1 | ||||||||||||||
1.11. a | ; | {2} | k | , | ||||||||||
2 | ||||||||||||||
2 |
0, k ℤ. 1.12. a (3; + ).
1.13. a ( 1;0).
1.14. Таких значений а нет.
2.1. 1) (– ; 25]; 2) [0; 5];
[–2; 3]; 4) (– ; 4]; 5) [0; 2];
[3; 5]; 7) (– ; 9]; 8) [0; 3];
[–1; 2].
155
2.2. 1) [–1; 5]; | 2) [–7; –3]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | [–2; 3]; | 4) [–7; 1]; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | [–5; | –3]; | 6) [–9; –2]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | [4; 5]; | 8) [–5; –3]; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | [1; 4]. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3. 1) | ; | ; | 2) | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | [3 ;4 ]; | 4)[–5 ;– ]; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) | [–4 ;2 ]; | 6) (0; 2 ). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4. 1) 1; | ; | 2) | ;1 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | [–1; 0]; | 4) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5. 1) 2; | ; | 2) | ;3 ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
10
3;2; 4)[ 2; 2];
5) | [–2; 2]; | 6) |
| ; |
|
| |||||||||||||||||
3 | 3 | ||||||||||||||||||||||
7) | [–13; 13]; | 8) [–5; 5]; |
(– ; –1] [1;+ );
[1;+ ).
2.6. 1) [– ; –2] [2;+ );
2) (– ; –4] [4;+ );
22
;33;;
4) | [2;+ ); | 5) | 2 | ||||||||
| |||||||||||
3 | |||||||||||
6) | (– ; –2] [2;+ ); | ||||||||||
7) | (– ; 3]; | 8) (– ; 2]. |
2.7. 1) (0; + ); 2) [1;+ );
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | (0; 1]; | 4) | 9 | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 16 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | (0; 3]; | 8) (0; 4]; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
| 10) (0; 4]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) | 0; | 4; ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12) | 1 | 13) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ;2 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) [1; 3]; | 15) [4; 64]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) | 1 | 17) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;1 ; | ; . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
64 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8. 1) [2; + ); | 2) (– ; 2]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) | (– ; –1]; | 4) | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1
(– ;1]; 6); 3;
7) | [4;+ ). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.9. 1) (– ; 1) (1; + ); | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | [2; + ); | 3) 0; | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) | [–5; 5]; | 5) [2; 8]; | 6) [3; 7]; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | 3 | 1 | 8) | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | ; | ;2 ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) | [0; 3]; | 10) | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2.10. | 1) | 1; | 2) 4; | 3) 7; | 4) 10; | 5) 2. | ||
2.11. | 1) | [–2; 3]; | 2) [–7; 3]; | |||||
3) [0;7]; | 4) [0; 9]; | 5) [0; | ||||||
3 ]. |
156
2.12. 1) а) [0; | 2 | ]; | |||||||||||||||||||
б) [0; 1) (1;+ ); | |||||||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||||||
в) [0; 2]; | г) | ; | ; | ||||||||||||||||||
2 |
| ||||||||||||||||||||
2) а) [0; 1]; | б) (0;+ ); | ||||||||||||||||||||
в) (– ; 1); | г) (– ; 0) (1;+ ); |
а) [0; 1]; б) [0; 2]; в) [0; 1]; г){ };
а)[0;5]; б) [0;+ ); в) [–5; 5];
г) [–21; 4].
2.13. 1) (– ; –2] [2;+ );
2) | 85 | 3) | 5 | ||||||||||
; 2 ; | ; ; | ||||||||||||
18 | 2 | ||||||||||||
55
;22;;
17
; 4 .
3
2.14. a = –1; a.
1 2.15. a 1; 3 .
3
2.16. a = – 2; a.
1 2.17. a 0; 2 .
2.18. При a = –1 Ey = {0};
при a 1 | E y | 1 | 1 | |||
; | . | |||||
2 | 2 | |||||
3.1. 1) и 3).
3.2. 1) и 4).
3.3. 2) и 3).
3.4. 1) a = 1;2) a2 k .
3.5. 1) a = 2; 2) a = –2;
ak. 2
3.6. 1) a = 3;2) a = 0, a = 1;
am. 2
3.7. 1), 3), 5) нечетные; 2) четная;
общего вида.
3.8. 1), 3), 4), 5) нечетные;
четная.
3.10. 1) –1; | 2) 1; | 3) 2 | 2 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.11. 1) –2; | 2) 1; | 3) 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.14. a = 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. a 1 | ;0 | 0; | 1 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1. 1) ; 2) | 2 | ; 3) | 4 | ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 3 |
3;5).
2
4.2. 1) 2 ; | 2)14 ;3)12 ;4) . | |
4.3. | 1) a) –1; б) E = (–1; 1]; | |
в) x = 2n, n ℤ; | ||
2) | a) 54; |
a) –1; б) E = [0; 1]; в) x = 2n, n ℤ;
a) 0; б) E = [0; 4];
в) x = 7 + 2n, nℤ.
4.4. 1) T = 1; 2) T = 1/2.
4.6. 2 2| a | 2 2 .
22
157
Тема IV | ||||||
1.1. | 1) | 9; | 2) 3; | 3) –18; | 4) 21; | |
5) 31; | 6) 200. | |||||
1.2. | 1) | 2, 3, 4, 5, 6, 7; |
6, 4, 2, 0, –2, –4;
–2,–11,–1,–1;0, 1;
222
4) 5, 3, 1, –1, –3, –5.
1.3. 1) –54; 2) 12; 3) 24; 4) 16.
1.4. 3.
1.5. 4.
1.6. 6; 36.
1.7. 74; –66.
1.8. 1900
1.9. 4
1.10. 14.
1.11. 8.
1.12. 1) 7125; 2) 4380; 3) 594;
147 . 2
1.13. | 1) | 15 –10n; | 2) –2 + 2n; | ||||||||||||||||||||||
3) –2 + 3n; 4) 2 + n. | |||||||||||||||||||||||||
1.14. | 1) | 19; | 2) 4; | 3) 1; | 4) 4. | ||||||||||||||||||||
1.15. | 0. | ||||||||||||||||||||||||
1.16. | 11. | ||||||||||||||||||||||||
1.17. | –4. | ||||||||||||||||||||||||
1.18. | 17 | . | |||||||||||||||||||||||
1.19. |
| ||||||||||||||||||||||||
1.20. | 1) | 36; | 2) 154; | 3) 23; | 4) 94. | ||||||||||||||||||||
1.21. | 1) | 2430; | 2) 2475; | ||||||||||||||||||||||
3) 1265; | 4) 963. | ||||||||||||||||||||||||
1.22. | 1) | 247500; | 2) 45387; | ||||||||||||||||||||||
3) | 71079; | 4) 38535. | |||||||||||||||||||||||
1.23. | 1) | 55; | 2) 1; | 3) 7; | 4) 3. | ||||||||||||||||||||
1.24. 1) | 2; | 2) 2; | 3) 2; | 4) –2. | |||||||||||||||||||||
1.25. | 20. | ||||||||||||||||||||||||
1.26. | 7. |
1.27. 0 или –28.
1.28. 1) 5; 4;2) 4; 2;3) –7; 7;
4) 0,5; 1,5.
1.29. 1) 1; 2 и 9, –2;
–3; 4 и 5, –4;
–2; –2 и –14, 2;
8;–2и0,2.
1.30. | 1) | да; | 2) нет; | 3) да; 4) да. | |||||||
1.31. | 1) | 7; 3; | 2) 5; 2; 3) –1; –4; | ||||||||
4) –3; 1,5. | |||||||||||
1.32. | 1) | 3; | 2) 4; | 3) 3; | 4) 5. | ||||||
1.33. | 1) | 395; | 2) 390; | 3) –6. | |||||||
1.34. | 155. | ||||||||||
1.35. | 22. | ||||||||||
1.36. | 45. | ||||||||||
1.37. | 34. | ||||||||||
1.38. | 16. | ||||||||||
1.39. | 1) | 4;5и | 79 | ; | 37 | ; | |||||
7 |
1;2 и–4; 1;
2
3;1 и 437; 51. 91 91
1.40. | 1) | 58; | 2) 24; | 3) 16. | ||
1.41. | 9 или 16. | |||||
1.42. | 95 градусов. | |||||
1.43. | 10 градусов. | |||||
1.44. | 10. | |||||
1.45. | 6. | |||||
1.46. | 14. | |||||
1.47. | 11. | |||||
1.48. | 1) | 5; | 2) 15; 27; | 3) 7; | 4) 3; |
–5; 6) 3/2; 7) 1; 8) 6;
2 k;n , k, n ℤ;
24 2
2 k; 2 п , k, n ℤ;
2
158
11) 0; | 12) 3. | ||||||
1.49. 1) | 9; | 2) 9; | 3) 144; | 4) 1. | |||
1.50. 1) | 22; | 2) 21; | 3) 40. | ||||
1.51. 1) | 1064; | 2) 120; | 3) | 612; |
546.
1.54. 101.
1.55. а | 1 | 2 | 1 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; | ; | ; | ; | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 | 15 | 2 | 7 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.56. а | 1 | 2 | ; | 3 | ; | 7 | ; | 11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 | 19 | 8 | 5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. 1) 5 2п 1; 2) 2 3п 1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)321п; 4)2п3; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 23–2п; |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) | (–1)n или –1; | 8) 2 (–3)п – 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. 1) sin (2cos )n–1; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) | 21–n(tg )3–2n; | 3) (tg )–п; | 4) 2n–1. |
5
2.3. 1) –; 2) 56; 3) 54;
4) 0,0003.
2.4. 1 .
64
2.5. 4.
2.6. 125.
2.7. 47.
2.8. 2187.
2.9. 55.
2.10. 911.
2.11. 39.
2.12. 1) 2047; 2) 341 ;
310 1 | 1024 | ||||||
3) |
| ; |
| ||||
|
13
2.13. 1) 35; 2); 3) –30; 4) –14.
2.14. 1) 2; 2) 9 | ; | 3) 3; 4) | 16 | . | |
4 | 5 |
2.15. 1)2;3и18;1; 2)3;2и12;1;
32
8;0,5и2;2; 4)9; 1 и1;3.
3
2.16. |
| ; |
| и – | 2 |
| 1 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 | 2 | 9 | 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.17. | 2; | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.18. | 127 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.19. | 16 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.20. | 242 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
81 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.21. | 63 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.22. |
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
223. 1) 26 | 2 | ; 2) 40; 3) | 15 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.24. | 1) 30 | 3 | ; | 2) 32; | 3) 96. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| 8 |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
–2и 14. 5
2.26. 1) ( 1)kk; kℤ;
2
( 1)kk; k ℤ; 6
2 2 k;
3
2 k. 3
159
2.27. 1) 2; 1 ;2) 4; 2;
2
k ; n , k, n ℤ;
1234
4) {0; 1}.
9 | 6 | |||||||||||
2.28. 1) 1; | ; 2)2; | |||||||||||
5 | ||||||||||||
3) 3; 4) {0; 2}.
2.29. 1) 4, 8, 16 и 16, 8, 4;
2,6, 18 и 18, 6, 2;
1,4, 16 и 16, 4, 1;
3,6, 12 и 12, 6, 3.
2.30. 25,7,–11 и 4, 7, 10.
2.31. 4, 11, 18 и 19, 11,3.
2.32. 1){3, 15,27,...};{3, 9,27,...};
{3,3,3,...}; {3,–3,3,... }. 2.33. 1) {2, 5, 8, 11,...};
{2, 4, 8, 16,...};
{2, 5, 8, 11,...}; {2, –4, 8,–16,...};
3){2, 2, 2, 2,...}; {2, 2, 2, 2,...};
{2, 2, 2, 2,...}; {2,–2, 2,–2,...}.
2.35. 3;6; 12 и 27, 18, 12.
2.36. 4, 8, 16 и 36, 24, 16.
2.37. 5, 10, 20 и 45, 30, 20.
2.38. 246.
2.39.{а, 7а, 13а, ...}, {а, 4а, 16а,...};
2) {а, а, а, ...}, {а, –2а, 4а, ...},
гдеа>0.
2.41. 2n+1(n – 1) + 2 – n(n + 1)/2.
160
Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз:
Facebook | VK | WhatsApp | Telegram | Twitter
Қарап көріңіз 👇
Пайдалы сілтемелер:
» Туған күнге 99 тілектер жинағы: өз сөзімен, қысқаша, қарапайым туған күнге тілек
» Абай Құнанбаев барлық өлеңдер жинағын жүктеу, оқу
» Дастархан батасы: дастарханға бата беру, ас қайыру
Соңғы жаңалықтар:
» 2025 жылы Ораза және Рамазан айы қай күні басталады?
» Утиль алым мөлшерлемесі өзгермейтін болды
» Жоғары оқу орындарына құжат қабылдау қашан басталады?