Логарифм және оның қасиеттері. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

И. В. Яковлев|Материалы по математике|MathUs.ru

Логарифм

• настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем свойства и графики показательной и логарифмической функции.

Равенство 2³ = 8 можно записать и по-другому:

log₂ 8 = 3:

Читается так: ¾логарифм по основанию два восьми равен трём¿.

Определение логарифма

Везде далее мы полагаем по умолчанию, что числа a и b положительны и, кроме того, a 6= 1.

Причины таких ограничений станут ясны впоследствии.

 Дадим определение логарифма. Запись log_a b = c (читается: ¾логарифм по основанию a числа b равен c¿) означает: чтобы получить число b, нужно число a возвести в степень с. Таким образом,

log_a b = c , a^c = b:

Иными словами, log_a bэто степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Примеры вычисления логарифмов:

•  ¾хорошими¿ степенями всё понятно. А можно ли возвести 2 в такую степень, чтобы получить 5? Оказывается, да. Число log₂ 5 существует, его можно вычислить на калькуляторе: log₂ 5 = 2;321928 : : : Как видите, log₂ 5 расположен между двойкой и тройкой (ближе к двойке), что достаточно очевидно: ведь 2² = 4, 2³ = 8 (а 5 ближе к 4, чем к 8).

Вообще, каковы бы ни были числа a и b (такие, что a > 0, a 6= 1 и b > 0), найдётся един-

ственное число c такое, что a^c = b; иными словами, значение логарифма log_a b существует

• единственно. Этот факт вы можете принять как данность его доказательство выходит за рамки школьной программы.

Таким образом, мы можем оперировать с логарифмами от любого положительного числа

по любому положительному основанию (не равному единице). Например, log₃ 7, log 1 9, lg 11

2

все эти числа существуют и могут использоваться при различных вычислениях.

Основное логарифмическое тождество

 Мы получили так называемое основное логарифмическое тождество. Важно понимать, од-нако, что формула (1) есть просто определение логарифма; она говорит о том, что log_a b это степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

1

Таким образом, имеем, например:

₂^log2 ³ _{= 3; 7}^log7 ⁵ _{= 5; 10}^{lg 25} _{= 25:}

Пример 1. Вычислить 9^log3 ⁷.

Решение. Нам понадобится правило: при возведении степени в степень показатели перемножа-ются, то есть (a^m)ⁿ = a^mn.

Применяя это правило, получим:

₉^log3 ⁷ _{= 3}^{2 log}3 ⁷ _{= 3}^{2 log}3 ⁷ _{= 3}^log3 ^{7 2} _{= 7}² _{= 49:}

_{Пример 2. Доказать, что 3}^log2 ⁵ _{= 5}^log2 ³_.

Решение. Имеем:

₃log₂ 5 _{= 2}log₂ 3 ^log2 ⁵ _{= 2}log₂ 3 log₂ 5 _{= 2}log₂ 5 ^log2 ³ _{= 5}log₂ 3_:

Точно так же можно показать, что, вообще, имеет место тождество:

_a^logb ^c _{= c}^logb ^a_:

В самом деле:

_alog_b c _{= b}log_b a ^logb ^c _{= b}log_b a log_b c _{= b}log_b c ^logb ^a _{= c}log_b a_:

Логарифмические формулы

Сейчас мы выведем некоторые формулы, которые применяются для преобразования выраже-ний с логарифмами. Все эти формулы нужно твёрдо знать.

• log_a a^x = x.

 Здесь доказывать нечего это просто переформулировка определения логарифма. Действи-тельно, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить a^x? Ясно, что в степень x.

• log_a b + log_a c = log_a(bc).

Доказательство. Пусть log_a b = x; тогда b = a^x. Пусть log_a c = y; тогда c = a^y. Имеем:

log_a(bc) = log_a(a^x a^y) = log_a a^x+y = x + y = log_a b + log_a c:

b

2. log_a blog_a c = log_{a c} .

Доказательство. Снова пусть log_a b = x (то есть b = a^x) и log_a c = y (то есть c = a^y). Имеем:

3. log_a b^m = m log_a b (здесь m любое число). Доказательство. Пусть log_a b = x (то есть b = a^x). Тогда

log_a b^m = log_a(a^x)^m = log_a a^mx = mx = m log_a b:

2

• log_an b = _n¹ log_a b (здесь n любое число, не равное нулю).

Доказательство. Пусть log_a b = x. Тогда b = a^x. Имеем:

Доказательство. Это комбинация формул 3 и 4.

• log_an bⁿ = log_a b.

Доказательство. Это частный случай формулы 5 при m = n. Данная формула позволяет заключить, например, что log₄ 9 = log₂ 3 или log₁₂₅ 8 = log₅ 2.

• log_a b = ^{logc b} (формула перехода к новому основанию; c > 0, c 6= 1). log_c a

Доказательство. Пусть log_a b = x. Тогда b = a^x. Имеем:

Доказательство. Это частный случай формулы 7 при c = b (поскольку log_b b = 1).

Вычисления с логарифмами

Приведём несколько примеров вычислений с логарифмическими формулами. 1

Решение. Преобразуя сумму логарифмов в логарифм произведения, получаем:

Пример 4. Вычислить: 3 log₃ 2log₃ 72.

Решение. Сначала отправим множитель 3 в показатель степени двойки, а потом преобразуем разность логарифмов в логарифм частного:

3

Показательная функция

Показательная функция это функция вида y = a^x, где a > 0 и a 6= 1 (как видим, ограни-чения на a ровно те же самые, что и выше, когда a было в основании логарифма).

 Рассмотрим функцию y = 2^x. Выпишем некоторые значения этой функции, а потом постро-им её график.

 Отметим эти точки на координатной плоскости (синими кружками) и соединим их плавной кривой (рис. 1). Тот факт, что график функции y = 2^x является гладкой кривой, мы пока принимаем как данность (он доказывается в вузовском курсе математического анализа).

Y

y = 2^x

8

5

4

2

1

1

2

Рис. 1. График функции y = 2^x

 Зелёным кружком на графике отмечена точка, имеющая ординату 5. Её абсцисса x₀ это логарифм, о котором мы сказали несколько слов в начале статьи: x₀ = log₂ 5 2;32.

Отметим важные свойства функции y = 2^x.

Функция определена на всей числовой прямой. Иными словами, область определения

Функция является монотонно возрастающей.

4

При x ! значения функции стремятся к нулю, никогда нуля не достигая. Это прояв-ляется в том, что график функции неограниченно приближается к оси X (иначе говоря, ось X служит горизонтальной асимптотой графика).

Функция может принимать любые положительные значения. Значения функции не могут равняться нулю или отрицательному числу. Иными словами, область значений функции есть множество (0; +1).

Теперь рассмотрим функцию y =¹₂ ^x. Таблица некоторых её значений:

8

4

2

1

1

2

₁ x

Рис. 2. График функции y =

Отметим следующие свойства функции y =¹₂ ^x.

2

5

Область значений функции есть множество (0; +1). Функция является монотонно убывающей.

Ось X служит горизонтальной асимптотой графика при x ! +1.

 Оказывается, рассмотренные выше функции y = 2^x и y = ¹₂ ^x дают исчерпывающее пред-ставление о свойствах показательной функции. Так, график функции y = a^x может выглядеть в точности двумя способами (рис. 3).

Y Y

y = a^x, a > 1y = a^x, 0 < a < 1

1

X

1

X

Рис. 3. График функции y = a^x

 Сформулируем свойства показательной функции, которые наиболее важны для нас. Эти свойства будут использоваться при решении показательных уравнений и неравенств.

Область определения функции y = a^x есть множество (; +1). Таким образом, поло-

жительное число a можно возводить в любую степень.

Область значений функции y = a^x есть множество (0; +1). Таким образом, показатель-ная функция не может обращаться в нуль или принимать отрицательные значения.

Функция y = a^x монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1.

Ось X служит горизонтальной асимптотой графика функции. Именно, если a > 1, то a^x ! 0 при x ! ; если же если 0 < a < 1, то a^x ! 0 при x ! +1.

Теперь настало время объяснить, откуда взялись ограничения a > 1 или 0 < a < 1. Дело

• том, что при таких и только при таких a функция y = a^x обладает перечисленными выше свойствами и может быть классифицирована как показательная функция. Все остальные a являются ¾плохими¿ они приводят к резкому изменению свойств функции и её выпадению из рассматриваемого класса.

 Так, если a = 1, то мы получаем функцию y = 1^x, которая является константой она равна 1 при всех x.

 Если a = 0, то мы получаем функцию y = 0^x. Эта функция есть константа 0 при x > 0 и не определена при x 6 0.

Если a < 0, то возникают проблемы с возведением в нецелую степень. В самом деле, вспом-

Данная неоднозначность говорит о том, что нельзя корректно определить возведение отрица-тельного числа в дробную степень. Поэтому функция y = a^x при a < 0 определена только при целых x и потому не интересна для изучения.

6

Логарифмическая функция

Логарифмическая функцияэто функция вида y = log_a x при a > 1 или 0 < a < 1.

Давайте объясним происхождение этих ограничений на величину a.

 Допустим, a = 1. Тогда, например, число log₁ 2 не существует (поскольку 1 ни в какой степени не равно 2). Точно так же не существует log₁ b для любого b 6= 1. А вот log₁ 1 может равняться чему угодно (ведь 1 в любой степени равно 1). По этим причинам объект log₁ x не представляет никакого интереса.

Похожая ситуация возникает и в случае a = 0.

 При a < 0 снова вмешивается отмеченная выше некорректность операции возведения от-рицательного числа в дробную степень. Так, например, число log ₄ 2 не существует. Поэтому логарифмы по отрицательным основаниям также не интересны.

 Вот почему мы ограничиваемся случаями a > 1 или 0 < a < 1. При таких a возникает ¾хорошая¿ логарифмическая функция с интересными и полезными свойствами.

Рассмотрим функцию y = log₂ x. Составим таблицу некоторых значений этой функции.

Отмечаем данные точки на координатной плоскости и соединяем плавной кривой (рис. 4).

Y

y = log₂ x

3

2

1

1

2

1248X

2

3

Рис. 4. График функции y = log₂ x

7

Мы видим, что функция y = log₂ x обладает следующими свойствами.

Область определения функции есть множество (0; +1).

Функция является монотонно возрастающей.

Ось Y служит вертикальной асимптотой графика.

Теперь рассмотрим функцию y = log 1 x. Таблица значений:

2

График функции y = log 1 x изображён на рис. 5.

2

Y

2

1

1

2

3

y = log 1 x

2

Рис. 5. График функции y = log 1 x

2

Функция y = log 1 x, как видим, обладает следующими важными свойствами.

2

Область определения функции есть множество (0; +1).

Функция является монотонно убывающей.

Ось Y служит вертикальной асимптотой графика.

8

1X

Рис. 6. График функции y = log_a x при a > 1

А вот как выглядит график функции y = log_a x при 0 < a < 1 (рис. 7).

Y

1

X

y = log_a x, 0 < a < 1

Рис. 7. График функции y = log_a x при 0 < a < 1

 Сформулируем важные для нас свойства логарифмической функции. Они будут постоянно использоваться при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Область определения функции y = log_a x есть множество (0; +1). Таким образом, лога-рифм можно вычислить только от положительного числа.

Область значений функции y = log_a x есть множество ( ; +1). Таким образом, лога-рифм может принимать какие угодно значения.

Функция y = log_a x монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1. Ось Y служит вертикальной асимптотой графика функции.

9

 Монотонность логарифмической функции используется, в частности, для доказательства некоторых неравенств.

Пример 6. Что больше: log₂ 3 или log₃ 5?

Решение. Оба этих числа находятся между единицей и двойкой. Давайте сравним каждое из них с числом 3/2.

С одной стороны, имеем:

 Обратите внимение, что в этих оценках мы использовали монотонное возрастание функций y = log₂ x и y = log₃ x (большему значению аргумента отвечает большее значение логарифма).

Итак, log₃ 5 < 3=2, log₂ 3 > 32. Следовательно, log₃ 5 < log₂ 3.

Задачи

• Вычислите:

10

• Вычислите:

• Найдите x, если выполнено равенство:

8. Вычислите:

а) 1; б) 24; в) lg 2; г) 7

2

7

11

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

• Вычислите:

6 log₂ 125 log₅ 2 + 2^{lg 7}5^{lg 7}:

25

• log²₂ 7 log₁₄ 2 + log₂ 7 3^log3 ¹⁴:

14