Иррационал өрнектерді түрлендіру. Алгебра, 11 сынып, қосымша материал.

Некоторые способы извлечения квадратных корней:

1.По таблице.

2.Алгебраический - метод приближенного вычисления, используя таблицу квадратов или используя следующее правило:

Разобьем данное число на грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры.

Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра - первая цифра результата.

Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру х, чтобы произведение числа ах на х не превосходило числа А. Цифра х - вторая цифра результата.

Произведение числа ах на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получится число в. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа ву на у не превосходило число В. Цифра у - третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет предыдущий.

Пример. Вычислить . Разобьем число на грани: 13¹83¹84 - их три.

Первая цифра результата 3, так как 3² < 13,

= 372 тогда как 4² > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4.

- 9 Приписав к 4 следующую грань, получим

67 483 А = 483.Удвоив имеющуюся часть результата,

• 469 т.е. число 3, получим а = 6. Подберем

742 1484 теперь такую наибольшую цифру х, чтобы

• 1484 произведение двузначного числа ах на х
• было меньше 483. Такой цифрой будет 7,

так как 67 · 7 = 469 - это меньше 483, тогда как 68 · 8 = 544 - это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7. Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим в = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число 37, получим В = 74. подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение трехзначного числа ву на у не превосходило 1484. такой цифрой будет 2, так как 74·2 2 = 1484 . Цифра 2 - последняя цифра результата. В ответе получили 372 ( если учащиеся знакомы с этим методом, то на уроке можно только напомнить его, если нет, то показать его применение на нескольких примерах ).

3.Древневавилонский: = = а + .

Пример:

Найти . Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых: 1700 = 1600 + 100 = 40² + 100, первое из которых является полным квадратом. Затем применяем формулу.

= = 40 + = 41,25.

Проверим правильность вычисления. Найдем по таблице и сравним полученные результаты.

Выполни по образцу: .

Попробуем научиться извлекать корень третьей степени.

Подсказка.

1³ = 1; 4³ = 64; 7³ = 343;

2³ = 8; 5³ = 125; 8³ = 512;

3³ = 27; 6³ = 216; 9³ = 729.

Образец.

= 83

(Чтобы найти число десятков искомого числа, надо определить сколько тысяч в подкоренном выражении (571) и найти по таблице число, близкое к данному, 571 ближе к 512, значит, число десятков равно 8; число единиц определяем по последней цифре данного числа, т.к. в данном числе 571787 последняя цифра 7, то по таблице определяем, что цифра 7 последняя в числе 27, значит, число единиц равно 3.)

Реши сам:

; .

А как вычислить ? (Способы различные, рассмотреть все варианты, выслушать все рассуждения учащихся и предложить им выполнить задание по предложенной формуле, сравнить полученные результаты и сделать вывод.)

Ввести формулу:

= .

Образец.

= + = + = + 1.

Попробуем

.

(Решение: 1) = 4 = 4 =

4 ( + = 4(= 4( + 2);

2) = = = =

- = - 2.

Верно ли равенство (устно):

Если необходимо, можно обратиться к словарю.

= 2; = 2; ()² = 2;

= - 2; = а; = - а;

= ; а - = 0; а - = 2а;

а - = а -; = 3; = - 2;

= 2; = 3; = .

Вычислить (устно):

1) 2) 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .