Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

№47 Лекция

Тақырыбы: Туындыны функцияның графигін сызуға қолдануы.

Функцияны зерттеп, графигін салудың толық жоспары.

Жоспар:

• • Функция графигінің ойыс-дөңестігі және иілу нүктелері
  • Теорема 1. Функцияның ойыс-дөңестігінің жеткілікті шарты.
  • Теорема 2. Иілу нүктесінің қажетті шарты.
  • Теорема 3. (Иілу нүктесінің жеткілікті шарты).
  • Функцияны зерттеп, графигін салудың толық жоспары.

• Функция графигінің ойыс-дөңестігі және иілу нүктелері

Айталық,y=f(x) функциясы (a;b) аралығында анықталсын және a<x₁<x₂<b болсын.Онда функция графигінде жататын А(x₁;f(x₁)) және В(x₂;f(x₂)) нүктелері арқылы өтетін қиюшы түзудің теңдеуі

• _ f (x)(x  x₀ )  f (x)  (x  x₀ ) x  x

0

 ( 1) түрінде жазылады.Шынында да,екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі бойынша АВ қиюшысынын теңдеуін

= түрінде жазамыз.Осыдан у-f(x )=

у=

у=.

(1)теңдеудің оң жақ бөлігін h(x)арқылы белгілейік.Онда АВ қиюшысының теңдеуі у=h(x)түрінде жазылады.Осыдан h(x₁)=f( x₁),h(x₂)=f(x₂)болатынын көреміз.

Анықтама 1.

Егер а<x₁<x₂<b болатындай кез келген x₁,x₂ нүктелері мен әрбіx₀ϵ(x₁;x₂)нүктесі үшін h(x₀)≤f(x₀) 2)теңсіздігі орындалса, онда у=f(x)функцияның графигін (a;b)аралығында дөңес (ойыстығы жоғары бағытталған) деп атаймыз.Ал егерh(x₀)≥f(x₀)

3)теңсіздігі орындалса, онда у=f(x)функциясының графигін (a;b) аралығында ойыс (ойыстығы төмен бағытталған) деп атаймыз.

Кейде функция графигі дөңес дегеннің орнына функцияның өзін дөнес деп

атайды.Геометриялық тұрғыдан дөңес функциялар үшін оның графигі АВ хордасынан жоғары орналасады(77,78-суреттер)

• Теорема 1 (Функцияның ойыс-дөңестігінің жеткілікті шарты).

Айталық,у=f(x)функциясы (a;b) аралығында екі рет дифференциалданатын болсын.Онда:1) егер әрбір х(;b)үшін f"(x)<0болса,онда функция f"(x)>0 болса, онда функция(a;b) аралығында ойыс

болады.

Дәлелдеуі. Айталық,a<x₁<x<x₂<b болсын.Онда

h(x)-f(x)=-f(x)·=

Мұнда f(x₂)-f(x),f(x)-f(x₁) айырмаларына Лагранж формуласын қолданып,f(x₂)-f(x)=f'(η)(x₂-x),f(x)-f(x₁)=f'(ξ)(x-x₁) теңдіктерін аламыз. Мұндағы,a<x₁<ξ<x<η<x₂<b.

yy

f(x₀)

• h(x₀)

0 a

В

• х

h(x)-f(x)=

у=f(x) функциясы екі рет дифференциалданатындықтан, f'(η)-f'(ξ) айырмасына тағы да Лагранж

формуласын қолданып,h(x)-f(x)= ξ<c<η теңдігін аламыз.

Мұндағы η-ξ>0,x₂-x>0,x-x₁>0,x₂-x₁>0 айырмаларының таңбалары оң болғандықтан,h(x)-f(x)-тің таңбасыf"(c)-нің таңбасымен бірдей болатынын көреміз.Сондықтанf"(c)>0 болса,онда h(x)>f(x) теңсіздігі,ал f"(c)<0 болса,онда h(x)<f(x) теңсіздігі орындалады.Теорема дәлелденді.

Бұл дәлелденген теорема функцияның ойыс-дөңестігі үшін жеткілікті,бірақ қажетті емес. Мысалы,у=x⁴ функциясы барлық сан осінде ойыс болғанымен,у"=12x² туындысы х=0

нүктесінде нөлге тең.у

0 ax₀bx

Анықтама 2.

Егер x₀ (a;b) нүктесінің оң және сол жақ бөліктерінде h(x)-f(x) айырмасының таңбасы әр түрлі

болса,онда x₀ нүктесі у=f(x) функциясының иілу нүктесі деп аталады.

Сонымен,осы анықтамадан иілу нүктесі функцияның дөңес және ойыс бөліктерінің шекарасы болатынын көреміз.

• Теорема 2. (Иілу нүктесінің қажетті шарты).

Айталық,у=f(x) функциясының х₀ нүктесінің маңында екінші ретті үздіксіз туындысы бар болсын.Егер x₀ функцияның иілу нүктесі болса,онда f"(x₀)=0.

Дәлелдеуі.

Кері жорып,f"(x₀)≠0 болсын делік.Анықтық үшін f"(x₀) >0 деп алайық.f"(x) x₀ –дің маңында үздіксіз болғандықтан, екінші ретті туынды бұл нүктенің қандай да бір аймағында өз таңбасын сақтайды.Яғни осы аймақта f"(x₀) >0 болады. Онда теорема,1 бойынша x₀-дің осы аталған аймағында h(x)-f(x)>0 болады,яғни бұл айырма x₀ нүктесінің аймағында өз таңбасын өзгертпейді.Бұл x₀-дің иілу нүктесі болатындығына қайшы. Алынған қайшылық теореманы толық дәлелдейді.

Дәлелденген теорема иілу нүктесінің тек қажетті шарты ғана.Бірақ жеткілікті

емес.Мысалы,у=x⁴ функциясы барлық сан осінде ойыс болғанымен,y"=12x² туындысы x=0 нүктесінде нөлге тең.Дегенмен, x=0 нүктесі берілген функцияның иілу нүктесі болмайды.

4 Теорема 3. (Иілу нүктесінің жеткілікті шарты).

Егер у=f(x) функциясы (a;b) аралығында екі рет дифференциалданатын болса және х(a;b)

нүктесінің оң және сол жақ бөліктерінде f"(x)-тің таңбасы әр түрлі болса,онда х₀ нүктесі у=f(x) функциясының иілу нүктесі болады.

Дәлелдеуі.Айталық,а<x₁<x₀0<x₂<b болсын.Анықтық үшін f"(x)>0,x (x₁;x₀) және f"(x)<0,x

(x₀;x₂) болсын делік.Онда функция (x₁;x₀) аралығында ойыс,ал (x₀;x₂) аралығында дөңес.Яғни х₀-функцияның ойыс және дөңес аралықтарының шекарасы.Онда анықтама бойынша х₀-иілу нүктесі.Басқа жағдайда да теорема осы сияқты дәлелденеді.

Бұл теореманың қатаң математикалық жолмен дәлелдеуімен жоңары математика курсында

танысысыңдар.Сонымен қатар функцияның иілу нүктесінің өзге де жеткілікті шарттары

бар.Мысалы,жоғары ретті туындылары бар функция үшін x₀ нүктесінде f"(x₀)=0 және f"(x₀)≠0

шарты орындалса,онда х₀ нүктесі иілу нүктесі болады және т..с.с.Бұл тұжырымның да

дәлелдемесін жоғары математика курсынан табуға болады.

1-мысал.1) у=x²+2x; 2) у=x³+3x²-2x+7 функциясының ойыс-дөңес аралықтары мен иілу нүктелерін табу керек.

Шешуі.1) у'=2x+2 және у"=2>0 x(-) болғандықтан,функция бүкіл сан осінде ойыс және иілу нүктелері жоқ.

• у'=3x²+6x-2 және у"=6x+6=0 x=-1.Егер x<-1болса, онда у"<0 және x>-1болса,онда у">0

болғандықтан,функция (-аралығында дөңес,ал аралығында ойыс және х=-1

иілу нүктесі болып табылады.

• Функцияны зерттеп, графигін салудың толық жоспары.

• Функция ан. Облысы D( y)

• Периодтылығы, тақ,жұп болу жағдайлары

• 1-ші реттік туындысы тең 0 немесе болмайтын жағдайы
• Функция максимумы және минимумы, монотонды өзгеру облыстары
• 2-ші реттік туындысы. Дөңес , ойыс аралықтары
• Өстерге қиылысу нүктелерін анықтау, Графикті жобалап сызу

№90 есеп 26 бет брошюра бойынша

Графикті жобалап сызыңыз

•  3x³  22,5x²  9;

БАҚЫЛАУ СҰРАҚТАРЫ:

• Функцияны зерттеп,оның графигін салудың қарапайым жоспарында неше амалдар бар?
• Қалай координаталар өсімен графиктің қиылысу нүктелерін табуға болады?
• Берілген функцияның графигінің жобасын сызуға иілу нүктелерін білу қажет пе?

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТ:

Ә.Н. Шыныбеков 10 сынып, 2006 ж, 180 -181- беттер