Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеп салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

Полное исследование функции и построение графика.

Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

• Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом: для корня четной степени, например,  - область определения находится из неравенства ;для логарифма  - область определения находится из неравенства ).

• Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются .

Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:

Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые  являются вертикальными асимптотами графика.

• Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy.

• Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств   и  соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).

• • Некоторые авторы полагают, что промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств  и . В этом случае критические точки не включаются в промежутки.
  • Некоторые авторы полагают, что точки, в которых функция определена, а конечной производной не имеет, нужно включать в промежутки возрастания и убывания (например, функция  в точке х=0определена, а производная в этой точке бесконечна , х=0 следует включить в промежуток возрастания функции).
  • По нашему мнению, принципиальной важности это не имеет, хотя и может стать причиной разногласий. Чтобы избежать конфликтов, УТОЧНЯЙТЕ У СВОЕГО ПРЕПОДАВАТЕЛЯ ЕГО ОТНОШЕНИЕ К ВКЛЮЧЕНИЮ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ. А еще лучше, ссылайтесь на математическую литературу, рекомендованную министерством образования РФ.

Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

• • во-первых, находим производную;
  • во-вторых, находим критические точки;
  • в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
  • в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Поехали!

Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел дифференцирование функции, нахождение производной).

Находим критические точки, для этого:

• • Находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере;
  • Находим нули знаменателя: .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.

Делаем вывод:

• • функция возрастает на промежутке  и на промежутке ;
  • функция убывает на промежутке  и на промежутке .

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

• Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств  и  соответственно.

Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

• • во-первых, находим вторую производную;
  • во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
  • в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
  • в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Поехали!

Находим вторую производную на области определения.

Далее ищем нули числителя и знаменателя.

В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.

Делаем вывод:

• • функция выпуклая на промежутке ;
  • функция вогнутая на промежутке  и на промежутке .

Точка  называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

• Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где  и .

Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станетгоризонтальной.

Кто такие вообще эти асимптоты?

Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.

Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

Для нашего примера - горизонтальная асимптота.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

• Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 ,х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4. 

• Построение графика.

Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).

Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.

Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.

Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием геометрических преобразований графиков основных элементарных функций.