Туындының көмегімен функцияны зерттеу және оның графигін салу. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал.

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи

Тема: Полное иccледование функции

ЗАДАНИЕ. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

• ₌ e^x x

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции: x ¹ 0 , то есть D( y) = (-¥;0) È (0; +¥) . Вычислим односторонние пределы в x = 0 :

Таким образом, x = 0 - вертикальная асимптота.

• Точки пересечения с осями координат:

^ex

Ox : y == 0, нет решений.

^Oy : x = 0 Ï D( y) .

Нет точек пересечения с осями.

• Функция общего вида, так как

_y ( _{- x}) ₌ ^{e- x} _{= -} ^{e- x} _{¹ ± y( x)}

-xx

• Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Находим критические точки: x₁ = 0, x₂ = 1 . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.

у´––+

• 0 1

Функция убывает на интервалах (-¥; 0), (0;1) , возрастает на интервале (1; +¥) . Функция имеет минимум в точке x = 1 , y(1) = e » 2, 7 .

• Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

1

© МатБюро - Решение задач по высшей математике www.MatBuro.ru

 Всё об исследовании графика функции – план, примеры решений, видео, чертежи Находим критические точки: x = 0 . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.

y’´–+

• 0

Функция выпукла вниз на интервале (0; +¥) , выпукла вверх на интервале (-¥; 0) .

• Асимптоты.

Получили горизонтальную асимптоту y = 0 .

• Строим график функции, отметим ключевые точки (локальный минимум):

2