Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі:

10.2С Ықтималдық

Мектеп:

Күні

Мұғалімнің аты-жөні:

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақ тақырыбы

Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы. 

Оқу мақсаты

10.3.1.1 - қайталанбайтын және қайталанбалы «алмастырулар», «орналастырулар», «терулер» ұғымдарын ажырата білу;

10.3.1.2 - қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

10.3.1.3 - қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

10.3.1.4 - комбинаторика формулаларын қолданып, ықтималдықтарды табуға есептер шығару;

Сабақ мақсаттары

1) Қайталанбайтын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды біледі және формулаларды қолданып есеп шығара алады;

2) Қайталанатын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды біледі және формулаларды қолданып есеп шығара алады.

Бағалау критерийлері

Оқушы оқу мақсатына жетеді:

1) Қайталанбайтын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды білсе және формулаларды қолданып есеп шығара алса;

3) Қайталанатын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды білсе және формулаларды қолданып есеп шығара алса.

Тілдік мақсаттар

Оқушылар:

Қайталанбалы және қайталанбайтын алмастыруларды есептеу формулаларына сипаттама бере алады, шарттарды қолдана отырып ауызша ұсына алады.

Пәнге тән лексика мен терминология:

Орналастыру, алмастыру, теру, n –нен k элемент алу, таңдама, шеру, реттеу, п элементтен k бойынша алынған комбинациялар

Диалог пен жазу үшін пайдалы сөздер мен тіркестер:

Сіз оларды ... әртүрлі тәсілмен орналастыра аласыз......

Қайталанбайтын алмастыру дегеніміз ...

Қайталанбалы алмастыруларды есептеу үшін ...

Қайталанбалы алмастыру мен қайталанбайтын алмастыру арасындағы айырмашылық ...

Құндылықтарды дарыту

Оқушылар жаңа жағдайға бейімделеді, мәселені қойып шешімін іздейді, жұпта, топта жұмыс жасай алады, бір-бірінің пікірін тыңдап үйренеді. Барынша өз ойын дұрыс қорыта алады. Ақпаратты тауып қорытынды жасай алады. Құндылықтарды дарыту осы сабақта қарастырылатын тапсырмалар арқылы жүзеге асады.

Пәнаралық байланыстар

-қазақ тілі, лингвистика (әріптердің комбинациясын қарастыру)

-криптография (шифрлаудың әдістерін құру)

- спорттық сайыстары (қатысушылар арасындағы ойындар санын есептеу)

АКТ қолдану дағдылары

Интербелсенді тақтаны презентацияны, бейне-көрсетілімді көрсету үшін қолдану, тақтаны жазу құралы ретінде қолдану. Калькулятор қолдану.

Бастапқы білім

Жиындарды қосу және көбейту ережелерін біледі.

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

I. Ұйымдастыру кезеңі.

- оқушылардың зейінін шоғырландыру;

- оқушылармен бірге сабақ мақсаттарын/ОМ анықтап алу;

- оқушылардың «жақын даму аймағын» анықтау, сабақ соңында күтілетін нәтижелерді анықтау.

II. Өткен тақырыптарды жандандыру.

Комбинаториканың негізгі ережелері:

Тапсырма 1. Ыдыста 5 алма және 3 алмұрт бар. Осы жемістерді ішінен біреуін неше тәсілмен таңдап алуға болады?

Қосу ережесі

Егер a объектісін n тәсілмен, ал b объектісін m тәсілмен алуға болса және бұл тәсілдер әр түрлі болса, онда " a немесе b " объектісін n+m тәсілмен таңдап алуға болады (a және b объектілерін бір уақытта таңдауға болмайды).

Тапсырма 2. Ыдыста 5 алма және 3 алмұрт бар. 1 алма мен 1 алмұртты неше тәсілмен таңдап алуға болады?

Көбейту ережесі.

Егер a объектісін n тәсілмен, b объектісін m тәсілмен таңдауға болса, онда «a мен b» объектісін m·n тәсілмен таңдауға болады.

IІI. Қайталанатын және қайталанбайтын орналастырулар

Келесі екі мысалдың айырмашылығы неде?

1. Олимпиадаға 25 оқушыдан 4 оқушыны таңдаудың неше тәсілі бар?

2. 25 оқушыдан 4 орынға 4 оқушыны отырғызудың неше тәсілі бар?

Анықтама. Бір-бірінен элементтерінің құрамымен және олардың орналасу ретімен ерекшеленетін n -нен k бойынша алынған қосылыстарды (комбинацияларды) орналастырулар деп атайды.

Мысал 1. Оқушы 8 күнде 4 әртүрлі бақылау тапсыруы тиіс. Ол оны неше тәсілмен жасай алады?

Ескерту.

Егерде k=n болса, орналастыру формуласы алмастыру формуласына айналады:

Қайталанбайтын орналастыру

Тапсырма 3. a, b, c элементтерінен екі элементтен тұратын неше топ құрастыруға болады (элементтер қайталанбайды)?

a₁,…, a_n – элементтері берілсін. Олардан әр түрлі ұзындығы k-ға тең тізбектер құралады және элементтері қайталанады. Элементтерінің бір түрі қайталана алатын, a₁,…, a_n элементтер жиынының ішінен ұзындығы k-ға тең тізбектерді n-нен k бойынша қайталанбалы орналастыру деп атайды.

Теорема. Әртүрлі n элементтен k бойынша алынған, құрамындағы элементтері қайталанатын орналастырулар саны келесі формуламен анықталады: .

Мысал 2. Төменде екі элементінен әрқайсысы 3 элементтен құралған неше топ алуға болады?

Мысал 3. Әр түрлі 12 детальды 3 қорапқа неше тәсілмен орналастыруға болады?

Мысал 4. 9 цифрдан неше 5 таңбалы сан құрауға болады ?

Мысал 5. 6 әр түрлі кәмпитті үш балаға неше тәсілмен бөліп беруге болады?

Мысал 6. 1, 2, 3, ..., 8, 9 цифрларын қолданып, неше үштаңбалы сан жазуға болады (цифрлар қайталанады)?

Қайталанатын және қайталанбайтын алмастыру

Анықтама. Бір-бірінен тек элементтерінің орналасу тәртібімен ғана ерекшеленетін n элементтердің қосылыстарын (комбинацияларын) алмастыру деп атайды.

Тапсырма 4. a, b, c элементтерін неше тәсілмен алмастыруға болады (элементтер қайталанбайды)?

Мысал 7. 1,2,3 цифрларын бір реттен қолданып неше үш таңбалы сан құрастыруға болады?

Мысал 8. Ақ, қызыл, сары, көк шарларды бір қатарға тізіп қоюдын неше амалы бар?

Миға шабуыл. Ауызша.

• Жеке карточкаларға жазылған 1, 2, 3, 4 және 5 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?
• Жеке карточкаларға жазылған 4, 4, 4, 5 және 8 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?

(Осы жерде сұрақ туындайды: бірдей сандар қайталанып шығады )

Қиындық: Осы есепті қалай шешуге болады? Ол үшін қайталанбалы алмастырумен танысуымыз керек.

Мұғалім: Ендеше, бүгінгі сабақтың тақырыбы мен мақсатын тұжырымдаңыздар.

Бейне-көрсетілім. https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler «Объектілердің орналасуы» 6-бетті таңдау керек.

Мысал 9. Жеке карточкаларға жазылған 4, 4, 4, 5 және 8 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?

Шешуі: , ал . 120:6=20.

Мысал 10. «ҚЫМЫЗ» сөзіндегі әріптердің орындарын ауыстыру арқылы неше сөз құрастыруға болады?

Шешуі: Бұл сөзде екі Ы әрпі бар, ал қалған әріптер әр түрлі. Уақытша Ы әрпін әр түрлі деп есептейік те, Ы₁ және Ы₂ арқылы белгілейік. Онда

әр түрлі сөз алынады. Бірақ, Ы₁ және Ы₂ әріптерін алмастырудан алынған сөздер бірдей. Сондықтан, алынған 120 сөзді екіге бөлсек: 120:2 = 60.

Оқушыларға сұрақ: Қымыз деген не?

Қымыз — жылқы сүтінен алынатын кышқыл сүт өнімі.

Жамбыл атамыз: «Ауруға ем, сауға қуат дәрі қымыз»,— деген екен. Қымыз қазақ халқының ұлтық тағамдарының ішіндегі ең құрметті дастарқан дәмінің бірі.

 Біз таңдалымның жаңа түрі — қайталанбалы алмастыруды енгіздік. Оны есептеудің формуласын қорытып шығарайық.

Келесі таңдалым бар болсын дейік:

элементтерін тәсілмен,

элементтерін тәсілмен, …,

элементтерін — тәсілмен алмастыруға болады, алайда бірдей элементтердің орындарын ауыстырғанмен таңдалым өзгермейді.

 Сондықтан қайталанбалы алмастырулардың саны қайталанбайтын алмастырулардың санынан

есе аз болады. Ендеше, қайталанбалы алмастырулар саны келесі формула арқылы есептеледі:

мұндағы - таңдалым жиынының барлық элементтерінің саны.

Оқушылар жұппен орындап, шығару жолдарын анықтайды.

Мысал 11. Он зерттеуші 5, 3 және 2 адамнан тұратын үш топқа бөлінуді шешті. Олар бұны неше тәсілмен жүзеге асыра алады?

Бейне-көрсетілім: https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler «Объектілердің орналасуы» 6-бет, 11-жаттығуды таңдау керек.

Мысал 12. 2, 3, және 5 цифрларын қолданып қанша жетітаңбалы санды жазуға болады, егер әрбір санда 2 цифрі үш рет, 3 және 5 цифрлары екі реттен қайталануы керек болса?

Мысал 13. Жеті ұл бір қатарға тұрмақшы. Араларында Ерлан және Нұрлан есімді ұлдар бар. Барлық мүмкін комбинацияларды тап, егер:

а) Ерлан қатардың соңында тұратын болса;

б) Ерлан қатардың ең басында, ал Нұрлан ең соңында тұратын болса;

в) Ерлан мен Нұрлан екеуі қатар тұратын болса?

Шешуі: а) 6!=720; б) 5!=120; в) 720+720=1440

Қайталанатын және қайталанбайтын терулер

Видео

https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/ornalastyrular-almastyrular-zhane-teruler

Анықтама: n элементі бар Х жиынының әрбір k элементті ішкі жиыннан n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер санын арқылы белгілейді (k< n).

Мысал 14. Математика үйірмесіне қатысатын 7 оқушының ішінен олимпиадаға қатысатын екі оқушыны неше тәсілмен таңдап алуға болады.

Мысал 15. Араластырылған 36 карта колодасынан кездейсоқ 4 карта таңдап алынды. Таңдап алынған 4 картаның да тұз болып шығу ықтималдығы қандай?

Мысал 16. Екі бірдей жолдаманы 5 адамға неше жолмен беруге болады?

Мысал 17. Бөлімде 5 үздік маман және 8 бас маман жұмыс істейді. Іс-сапарға 2 үздік және 2 бас маманды жіберудің қанша тәсілі бар?

Мысал 18. Бір оқушының 6 математика кітабы, ал екіншісінің 8 кітабы бар. Неше тәсілмен бірінің үш кітабын екіншісінің үш кітабына ауыстыра алады?

Мысал 19. Шахмат үйірмесіне 2 қыз және 7 ұл бала қатысады. Жарысқа қатысу үшін 4 адам тұратын команда құру керек. Команда құрамында жоқ дегенде бір қыз болу керек. Команданы неше тәсілмен құруға болады?

Мысал 20. 10 адамды 5 адамнан тұратын екі баскетбол командасына неше тәсілмен бөлуге болады?

Паскаль үшбұрышының қасиеті.

• жолдағы сандар қосындысы не тең.
• Кез келген жолдағы (нолдік жолдан басқа) жұп орында тұрған сандар қосындысы, тақ орында тұрған сандар қосындысына тең.

Қайталанбалы терулер

Теорема. n-нен k бойынша алынған қайталанбалы теру

формуламен анықталады.

Видео

https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler

Мысал 21. Кондитерлік дүкенде 4 сорт пирожное сатылады: наполеон, эклер, бисквит және картошка. 7 пирожное неше тәсілмен сатып алуға болады?

Мысал 22. 4 балаға 40 алманы қанша тәсілмен бөліп беруге болады?

Мысал 23. 4, 5, 6, 7 сандары үшбұрыш қабырғалары болатын неше үшбұрыш бар?

Жеке жұмыс

• Комбинациялардың түрін анықта:
• Берілген әртүрлі п элементтен k бойынша алынған

____________________ деп, әрқайсысы бір-бірінен элементтерінің құрамымен және орналасу ретімен ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

2) Берілген әртүрлі п элементтен k бойынша алынған ________________ деп, әрқайсысы бір-бірінен тек элементтерінің құрамымен ғана ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

3) Берілген әртүрлі n элементтен құралған ______________ деп, әрқайсысы бір-бірінен тек элементтерінің орналасу ретімен ғана ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

Топтық жұмыс

Тапсырма «Маршрутты құрастыр»

Жауабы

Кереге – киіз үй сүйегінің қабырғалық бөлігі, талдан, жіңішке қайыңнан жасалады. Кереге санына қарай киіз үй 4, 6, 8, 12 қанат етіп тұрғызылады. Хан ордасының кереге саны 30-ға дейін жеткен.

Сабақ соңында оқушылар рефлекcия жүргізеді (стикерге жазады):

- Мен үйрендім?

- Менің білгім келетіні?

- Нені жақсартуым керек?

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау – оқушылардың материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Денсаулық және қауіпсіздік техникасының сақталуы.

Қабілеті жоғары оқушыларды топтық жұмыста өзінің ой пікірлерін айтқызамын және оның басқа оқушыларға үлгі болуына, басқа оқушылардың үлгілі оқушыға қарап сап түзуіне немесе өзіндік үлгі болуларына жағдаяттар туғызамын және жоғары деңгейдегі тапсырмалар беремін.

Оқушыларды сабақтың әр кезеңдерінде өзара бағалауды және өзін өзі бағалауды, сабақ барысында ерекше қабілет көрсеткендерге мадақтауды, ынталандыру мақсатында жеке дара жетістіктері мен ынталарын ескеріп ауызша бағалауды қолданамын.

Оқу процесінің барлық күйзеліс түзуші факторларын алып тастау мақсатында әр оқушы өзін еркін ұстауына, көңіл күйінің көтеріңкі болуларына жағдай туындатамын. Ол қызықты математикалық сұрақтардан, мадақтаудан тұрады.

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақта саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық кезеңдері сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқутуралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлуқажет?