Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы. Алгебра, 10 сынып, презентация.

Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы 

Сабақтың мақсаттары:

1) Қайталанбайтын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды біледі және формулаларды қолданып есеп шығара алады;

2) Қайталанатын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды біледі және формулаларды қолданып есеп шығара алады.

Бағалау критерийлері:

Оқушы мақсатқа жетеді, егерде:

1) Қайталанбайтын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды білсе және формулаларды қолданып есеп шығара алса;

3) Қайталанатын терулерді, орналастыруларды және алмастыруларды есептейтін формулаларды білсе және формулаларды қолданып есеп шығара алса.

Оқу мақсаты

10.3.1.1 - қайталанбайтын және қайталанбалы «алмастырулар», «орналастырулар», «терулер» ұғымдарын ажырата білу;

10.3.1.2 - қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

10.3.1.3 - қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;

10.3.1.4 - комбинаторика формулаларын қолданып, ықтималдықтарды табуға есептер шығару;

Комбинаториканы қолдану салалары:

- қоғамдық тамақтану сферасы (меню құру)

-лингвистика (әріптердің комбинациясын қарастыру)

-география (карталарды бояу)

-биология (ДНҚ кодын зерттеу)

-химия (химиялық элементтер арасындағы мүмкін болатын байланысты саралау)

-экономика (акциялардың сатуын/сатып алуын саралау)

-құмар ойындарда (ұтыстардың жиілігін есептеу)

-криптография (шифрлаудың әдістерін құру)

- поштаны жеткізу (жөнелтудің әдістерін қарастыру)

- спорттық сайыстары (қатысушылар арасындағы ойындар санын есептеу)

Комбинаториканың негізгі ережелері:

Қосу ережесі

Көбейту ережесі

Қайталау

Қайталау

Тапсырма 1. Ыдыста 5 алма және 3 алмұрт бар. Осы жемістерді ішінен біреуін неше тәсілмен таңдап алуға болады?

+

= 8

Қосу ережесі:

Егер a объектісін n тәсілмен, ал b объектісін m тәсілмен алуға болса және бұл тәсілдер әр түрлі болса, онда " a немесе b " объектісін n+m тәсілмен таңдап алуға болады (a және b объектілерін бір уақытта таңдауға болмайды).

Тапсырма 2. Ыдыста 5 алма және 3 алмұрт бар. 1 алма мен 1 алмұртты неше тәсілмен таңдап алуға болады?

1

3

2

5 тәсіл

2

3

5 тәсіл

5 тәсіл

3·5=15 тәсіл

Көбейту ережесі.

Егер a объектісін n тәсілмен, b объектісін m тәсілмен таңдауға болса, онда «a мен b» объектісін m·n тәсілмен таңдауға болады.

Қайталанатын және қайталанбайтын орналастырулар

Келесі екі мысалдың айырмышылығы неде?

2. 25 оқушыдан 4 орынға 4 оқушыны отырғызудың неше тәсілі бар?

1. Олимпиадаға 25 оқушыдан 4 оқушыны таңдаудың неше тәсілі бар?

Анықтама. Бір-бірінен элементтерінің құрамымен және олардың орналасу ретімен ерекшеленетін n -нен k бойынша алынған қосылыстарды (комбинацияларды) орналастырулар деп атайды.

3 объект

n=3 - барлық объект (әр түрлі фигура)

m= 2 – объектілерді таңдау және ауыстыру

2 фигурадан орналастыру

Мысал 1. Оқушы 8 күнде 4 әртүрлі бақылау тапсыруы тиіс. Ол оны неше тәсілмен жасай алады?

Ответ: 1 680.

Жауап:

Ескерту.

Егерде k=n болса, орналастыру формуласы алмастыру формуласына айналады:

Тапсырма 3. a, b, c элементтерінен екі элементтен тұратын неше топ құрастыруға болады (элементтер қайталанбайды)?

Шешуі: ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Мысалы, 1, 2, 3 цифрларынан неше екітаңбалы сан құрастыруға болады (цифрлар қайталанбайды)?

Қайталанбайтын орналастыру

Қайталанбалы орналастырулар

a1,…, an – элементтері берілсін. Олардан әр түрлі ұзындығы k-ға тең тізбектер құралады және элементтері қайталанады. Элементтерінің бір түрі қайталана алатын, a1,…, an элементтер жиынының ішінен ұзындығы k-ға тең тізбектерді n-нен k бойынша қайталанбалы орналастыру деп атайды.

Мысал 3.

Әр түрлі 12 детальды 3 қорапқа неше тәсілмен орналастыруға болады?

9 цифрдан неше 5 таңбалы сан құрауға болады ?

Мысал 4.

6 әр түрлі кәмпитті үш балаға неше тәсілмен бөліп беруге болады?

Мысал 5.

Мысал 6. 1, 2, 3, ..., 8, 9 цифрларын қолданып, неше үштаңбалы сан жазуға болады (цифрлар қайталанады)?

Қайталанатын және қайталанбайтын алмастыру

Анықтама. Бір-бірінен тек элементтерінің орналасу тәртібімен ғана ерекшеленетін n элементтердің қосылыстарын (комбинацияларын) алмастыру деп атайды.

Тапсырма 4. a, b, c элементтерін неше тәсілмен алмастыруға болады (элементтер қайталанбайды)?

Шешуі: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Қайталанбайтын алмастыру

Рn=n!

Р3=3!=1∙2∙3=6

3 объект

Алмастыру саны 6

Мысал 7. 1,2,3 цифрларын бір реттен қолданып неше үш таңбалы сан құрастыруға болады?

Мысал 8. Ақ, қызыл, сары, көк шарларды бір қатарға тізіп қоюдын неше амалы бар?

АУЫЗША

Жеке карточкаларға жазылған 1, 2, 3, 4 және 5 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?

Жеке карточкаларға жазылған 4, 4, 4, 5 және 8 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?

Бейне-көрсетілім.

https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler

«Объектілердің орналасуы» 6-бетті таңдау керек.

Мысал 9. Жеке карточкаларға жазылған 4, 4, 4, 5 және 8 цифрларынан неше бестаңбалы сан құрастыруға болады?

Мысал 10. «ҚЫМЫЗ» сөзіндегі әріптердің орындарын ауыстыру арқылы неше сөз құрастыруға болады?

ҚЫМЫЗ

- жылқы сүтінен алынатын кышқыл сүт өнімі.

Жамбыл атамыз: «Ауруға ем, сауға қуат дәрі қымыз»,— деген екен. Қымыз қазақ халқының ұлтық тағамдарының ішіндегі ең құрметті дастарқан дәмінің бірі.

11. Он зерттеуші 5, 3 және 2 адамнан тұратын үш топқа бөлінуді шешті. Олар бұны неше тәсілмен жүзеге асыра алады?

Бейне-көрсетілім: https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler «Объектілердің орналасуы» 6-бет, 11-жаттығуды таңдау керек.

12. 2, 3, және 5 цифрларын қолданып қанша жетітаңбалы санды жазуға болады, егер әрбір санда 2 цифрі үш рет, 3 және 5 цифрлары екі реттен қайталануы керек болса?

13. Жеті ұл бір қатарға тұрмақшы. Араларында Ерлан және Нұрлан есімді ұлдар бар. Барлық мүмкін комбинацияларды тап, егер:

а) Ерлан қатардың соңында тұратын болса;

б) Ерлан қатардың ең басында, ал Нұрлан ең соңында тұратын болса;

в) Ерлан мен Нұрлан екеуі қатар тұратын болса?

Қайталанатын және қайталанбайтын терулер

Видео

https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/ornalastyrular-almastyrular-zhane-teruler

Вкладка №5

Анықтама: n элементі бар Х жиынының әрбір k элементті ішкі жиыннан n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер санын арқылы белгілейді (k< n).

Қайталанбайтын терулер

Қайталанбайтын теру

Мысал 14. Математика үйірмесіне қатысатын 7 оқушының ішінен олимпиадаға қатысатын екі оқушыны неше тәсілмен таңдап алуға болады.

Мысал 15. Араластырылған 36 карта колодасынан кездейсоқ 4 карта таңдап алынды. Таңдап алынған 4 картаның да тұз болып шығу ықтималдығы қандай?

Мысал 16. Екі бірдей жолдаманы 5 адамға неше жолмен беруге болады?

Мысал 17. Бөлімде 5 үздік маман және 8 бас маман жұмыс істейді. Іс-сапарға 2 үздік және 2 бас маманды жіберудің қанша тәсілі бар?

Мысал 18. Бір оқушының 6 математика кітабы, ал екіншісінің 8 кітабы бар. Неше тәсілмен бірінің үш кітабын екіншісінің үш кітабына ауыстыра алады?

Мысал 19. Шахмат үйірмесіне 2 қыз және 7 ұл бала қатысады. Жарысқа қатысу үшін 4 адам тұратын команда құру керек. Команда құрамында жоқ дегенде бір қыз болу керек. Команданы неше тәсілмен құруға болады?

Мысал 20. 10 адамды 5 адамнан тұратын екі баскетбол командасына неше тәсілмен бөлуге болады?

Дәлелдеңіздер

7

6

5

4

3

2

1

0

Паскаль үшбұрышы

Блез Паскаль

Қайталанбалы терулер

Теорема. n-нен k бойынша алынған қайталанбалы теру

формуламен анықталады.

Видео

https://bilimland.kz/kk/courses/math-kz/algebra/kombinatorika-yqtimaldyqtar-teoriyasynyng-ehlementteri/lesson/qai-talanatyn-ornalastyrular-men-teruler

Вкладка №5, второе видео

Мысал 21. Кондитерлік дүкенде 4 сорт пирожное сатылады: наполеон, эклер, бисквит және картошка. 7 пирожное неше тәсілмен сатып алуға болады?

Шешуі. Пироженоеларды қорапқа салайық және де әр түрлі сорттардың арасына картон айырғышын салайық. 3 айырғыш қажет болады. Белгіленуі: 0 (картон-айырғыш) және 1 — пирожное. Мысалы, сатып алынған: 1110101101 — 3 наполеона, 1 эклер, 2 бисквит және 1 картошка.

Сонымен объектілердің екі тобы қарастырылады: 1 (7) және 0 (3) — барлығы — 10 объект.

Есептің шешуі 10 объектілер арасында 7 пирожное (немесе 3 картон-айырғыш) үшін терулердің санын анықтау болып табылады.

Ерекшелігі: объектілер қайталанады, яғни бір эклер екінші эклерден өзгешеленбейді, дәмдері бірдей. Сондықтан да қайталанбалы терулер деген ұғым қолданылады.

n=4, k=40

Мысал 22. 4 балаға 40 алманы қанша тәсілмен бөліп беруге болады?

Мысал 23. 4, 5, 6, 7 сандары үшбұрыш қабырғалары болатын неше үшбұрыш бар?

Комбинаторика формулалары

АНЫҚТА:

n (обьектілердің жалпы саны) мен

k (таңдалатын объeктілер саны)

РЕТІ МАҢЫЗДЫ МА?

ИӘ

ЖОҚ

ҚАЙТАЛАНАДЫ МА?

БАРЛЫҚ n ЭЛЕМЕНТТІ ТАҢДАУ КЕРЕК

ЖОҚ

ИӘ

ИӘ

ЖОҚ

ҚАЙТАЛАНАДЫ МА?

ҚАЙТАЛАНАДЫ МА?

ЖОҚ

ЖОҚ

ИӘ

ИӘ

Қайталанбалы алмастыру

Қайталанбалы теру

Жеке жұмыс

Комбинациялардың түрін анықта:

Берілген әртүрлі п элементтен k бойынша алынған

____________________ деп, әрқайсысы бір-бірінен элементтерінің құрамымен және орналасу ретімен ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

2) Берілген әртүрлі п элементтен k бойынша алынған ________________ деп, әрқайсысы бір-бірінен тек элементтерінің құрамымен ғана ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

3) Берілген әртүрлі n элементтен құралған ______________ деп, әрқайсысы бір-бірінен тек элементтерінің орналасу ретімен ғана ерекшеленетін комбинацияларды айтады.

алмастырулар

орналастырулар

терулер

Топтық жұмыс

Тапсырма «Маршрутты құрастыр»

Жауабы

Кереге – киіз үй сүйегінің қабырғалық бөлігі, талдан, жіңішке қайыңнан жасалады. Кереге санына қарай киіз үй 4, 6, 8, 12 қанат етіп тұрғызылады. Хан ордасының кереге саны 30-ға дейін жеткен.

Рефлексия

- Мен не үйрендім?

- Менің білгім келетінім…

- Нені жақсартуым керек?