Қарапайым тригонометриялық теңдеулер. Алгебра, 10 сынып, қосымша материал. 1 сабақ.

И. В. Яковлев|Материалы по математике|MathUs.ru

Простейшие тригонометрические уравнения

Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего триго-нометрического раздела.

 Пусть a некоторое число. Простейшие тригонометрические уравнения это урав-нения следующих видов:

cos x = a;sin x = a;tg x = a;ctg x = a:

 Решить простейшее тригонометрическое уравнение это значит описать множество зна-чений переменной x, для которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение a.

 Решение любого тригонометрического уравнения сводится, как правило, к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.

 Простейшие тригонометрические уравнения мы будем решать с помощью тригонометриче-ской окружности.

Уравнение cos x = a

Напомним, что по определению cos x это абсцисса точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x. Этого достаточно для рассмотрения уравнения cos x = a.

 Если a > 1 или a < 1, то уравнение cos x = a не имеет решений. В самом деле, косинус не может принимать значений, по модулю превосходящих единицу.

 Если же jaj 6 1, то уравнение cos x = a имеет решения, причём решений будет бесконеч-но много (вспомните предыдущую статью ¾Обратные тригонометрические функции¿: прямая y = a пересекает график функции y = cos x в бесконечном множестве точек). Сейчас мы на-учимся описывать все эти решения.

• cos x = 1.

 Нас интересуют точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу 1. Легко видеть, что имеется лишь одна такая точка:

0

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2 , 2 , 4 , 4 , 6 , 6 , . . . Все перечисленные углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2 (то есть нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону). Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

x = 2 n; n 2 Z:

Это и есть множество решений уравнения cos x = 1.

1

2. cos x = 1.

На тригонометрической окружности имеется лишь одна точка с абсциссой1:

 Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, то есть на целое число полных углов. Следовательно, все решения уравнения cos x = 1 записываются формулой:

x =+ 2 n; n 2 Z:

 Заодно вспоминаем первое правило, сформулированное нами в статье ¾Тригонометрическая окружность¿:

для описания множества углов, отвечающих одной точке тригонометрической окруж-ности, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2 n.

• cos x = 0.

Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две:

2

2

 Эти точки образуют диаметральную пару (то есть служат концами диаметра тригонометри-ческой окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое число углов (то есть на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону).

Соответственно, вспоминаем второе правило из статьи ¾Тригонометрическая окружность¿:

для описания множества углов, отвечающих диаметральной паре точек тригономет-рической окружности, нужно взять один угол из этого множества и прибавить n.

Следовательно, все решения уравнения cos x = 0 описываются формулой:

x = ₂ + n; n 2 Z:

2

• cos x = ¹₂ .

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 1=2:

3

1

2

3

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

x₁ = ₃ + 2 n; n 2 Z:

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

x =₃ + 2 n; n 2 Z:

Именно так мы и записываем решения уравнения cos x = ¹₂ .

Нижеследующие уравнения решаются совершенно аналогично. Для каждого уравнения мы

приводим лишь рисунок и ответ.

p

4

p

2

2

4

x =₄ + 2 n; n 2 Z:

6

p

3

2

6

x =₆ + 2 n; n 2 Z:

3

2

3

1

2

2

3

3

4

p

2

2

3

4

5

6

p

3

2

5

6

x =²₃ + 2 n; n 2 Z:

x =³₄ + 2 n; n 2 Z:

x =⁵₆ + 2 n; n 2 Z:

До сих пор мы рассматривали уравнения, в правой части которых стояли табличные значе-

pp

ния косинуса (а именно, 0,1,1=2,2=2,3=2). Как быть в иных случаях?

• cos x = ²₃ .

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой 2/3:

arccos ²₃

2

3

arccos ²₃

4

 Верхняя точка отвечает углу arccos ²₃ (напомним, что значения арккосинуса принадлежат отрезку [0; ]). Стало быть, решения данного уравнения описываются формулой:

2

3

Записываем ответ:

 Напомним, что арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией, поэтому знак минус у аргумента арккосинуса так и оставляем. При желании можно воспользоваться соотно-шением: arccos ²₃ = arccos ²₃ .

• cos x = a.

Теперь ясно, как выглядит решение уравнения в общем случае (разумеется, при jaj 6 1).

arccos a

_a x =arccos a + 2 n; n 2 Z:

arccos a

Данная формула обобщает все случаи, рассмотренные выше.

Уравнение sin x = a

Для рассмотрения уравнения sin x = a достаточно определения синуса: sin x это ордината точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x.

 При a > 1 или a < 1 уравнение sin x = a не имеет решений, поскольку синус не может принимать значений, по модулю превосходящих единицу.

 Если же jaj 6 1, то уравнение sin x = a имеет бесконечно много решений (снова вспомните статью ¾Обратные тригонометрические функции¿: прямая y = a пересекает график функции y = sin x в бесконечном множестве точек).

Мы начинаем с уравнений, в правой части которых стоит табличное значение синуса.

5

• sin x = 1.

На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой 1:

2

x = ₂ + 2 n; n 2 Z:

2. sin x = 1.

2

• sin x = 0.

На тригонометрической окружности имеются две точки с нулевой ординатой:

0

Решения данного уравнения описываются простой формулой:

x = n; n 2 Z:

• sin x = ¹₂ .

Возникает горизонтальная пара точек с ординатой 1=2:

5

6

6

1

2

6

Правой точке соответствуют углы:

x₁ = ₆ + 2 n; n 2 Z:

Левой точке соответствуют углы:

5

x₂ = ₆ + 2 n; n 2 Z:

Обе серии решений x₁ и x₂ можно записать в виде совокупности:

 Оказывается, существует одна-единственная формула, объединяющая обе серии. Выглядит она так:

x = ( 1)^k ₆ + k; k 2 Z:

Давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

x = ( 1)²ⁿ ₆ +2n = ₆ + 2 n:

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

Это вторая серия x₂.

• • качестве множителя при ( 1)^k обычно ставится правая точка, в данном случае =6. Нижеследующие уравнения решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа

• виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

• ⁴ x = ²₃ + 2 n; n 2 Z; x = ( 1)^k ₃ + k; k 2 Z:

7

1

2

2

x =

6

4

x =

x = (

2

• =

6

4

x =

x = (

2

• =

6

4

x =

x = (

₆ + 2 n;

⁵₆ + 2 n; n 2 Z;

1)^k+1 ₆ +k; k 2 Z:

₄ + 2 n;

³₄ + 2 n; n 2 Z;

1)^k+1 ₄ +k; k 2 Z:

₃ + 2 n;

²₃ + 2 n; n 2 Z;

1)^k+1 ₃ +k; k 2 Z:

Теперь перейдём к уравнениям с нетабличным значением синуса в правой части.

• sin x = ²₃ .

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой 2=3:

arcsin ²₃

arcsin ²₃

2

3

8

 Правая точка отвечает углу arcsin ²₃ (напомним, что значения арксинуса принадлежат от-резку ₂ ; ₂ ). Обратите внимание на выражение для угла, отвечающего левой точке!

Записываем решения данного уравнения в виде совокупности:

Объединяющая формула:

x = ( 1)^k arcsin ²₃ + k; k 2 Z:

 Смотрите рисунок и формулы. Вам уже не составит труда разобраться в этой ситуации. Мы воспользовались здесь нечётностью аркинуса.

2

3

+ arcsin ²₃

• sin x = a.

Теперь нам ясно, как выглядят решения в общем случае (разумеется, при jaj 6 1).

arcsin a

x = ( 1)^k+1 arcsin a + k; k 2 Z:

Данные формулы обобщают разобранные выше случаи.

Уравнение tg x = a

Вспомним, что тангенс может принимать любые значения (область значений функции y = tg x есть всё множество R). Стало быть, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

• tg x = 0.

Будучи записано в виде

sin x _{= 0;}

cos x

данное уравнение равносильно уравнению sin x = 0. Его решения, как мы знаем, имеют вид:

x = n; n 2 Z:

9

1

2. tg x = p .

3

Здесь нам уже понадобится линия тангенсов. Имеем диаметральную пару:

Нижеследующие уравнения решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

3. tg x = 1.

Y

1

4

x =+n; n 2 Z:

X4

p

4. tg x =3.

p

3

Y

3

x =+n; n 2 Z:

X3

10

1

5. tg x =p .

3

6. tg x = 1.

Y

X

p

7. tg x =3.

Y

X

3

p

3

11

8. tg x = 2.

2

Y

arctg 2

X

x = arctg 2 + n; n 2 Z:

9. tg x = 2.

Y

X

arctg 2

x =arctg 2 +n; n 2 Z:

2

Здесь мы воспользовались нечётностью арктангенса: arctg( 2) =arctg 2.

12

Теперь ясно, что мы имеем в общем случае.

10. tg x = a.

a

Y

arctg a

X

x = arctg a + n; n 2 Z:

Данная формула обобщает случаи, рассмотренные выше.

Уравнение ctg x = a

Уравнение ctg x = a можно не рассматривать отдельно, поскольку:

уравнение ctg x = 0, будучи записано в виде cos x= sin x = 0, равносильно уравнению cos x = 0 и потому имеет решения x = ₂ + n (n 2 Z);

Задачи

Во всех ответах предполагается, что n 2 Z.

• Решите уравнение:

а) cos 2x = 1;

^x

в) sin ₂ =1;

^x

д) cos ₄ = 0;

13

• Решите уравнение:

• Решите уравнение:

• Найдите решения уравнения cos x = ¹₂ , удовлетворяющие условию sin x > 0.

3

+ 2 n

• Найдите решения уравнения sin x = ¹₂ , удовлетворяющие условию cos x > 0.

6

+ 2 n

14

1

16. Найдите решения уравнения tg x = p , удовлетворяющие условию sin x > 0.

3

6

+ 2 n

p

• Найдите решения уравнения tg x = 3, удовлетворяющие условию cos x < 0.

3

2 + 2 n

1

18. Найдите решения уравнения tg x =p , удовлетворяющие условию sin x > 0.

3

6

5 + 2 n

p

19. Найдите решения уравнения tg x =3, удовлетворяющие условию cos x < 0.

3

2 + 2 n

1

20. Найдите решения уравнения tg x = p , удовлетворяющие условию sin x > 0.

3

6

+ 2 n

• a) Решите уравнение:

15

23. a) Решите уравнение:

• a) Решите уравнение:

cos 6x cos 4x + sin 6x sin 4x =1:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [3 ; 4 ].

16

• a) Решите уравнение:

sin x cos x = ¹₂:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 3 ;2 ].

• a) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ^h₂ ; 2 ⁱ.

• Решите уравнение:

• (МГУ, ДВИ, 2011 ) Решите уравнение:

(sin xcos x)² = 2:

4

+ n

17

• (МГУ, химический ф-т, 2008 ) Решите уравнение

cos 2x

p= 0:

12 sin x

37. (МГУ, МШЭ, 2006 ) Решите уравнение

sin 3x

1 + 2 cos 2x ^{= 0:}

n

18