Ньютон биномы және оның қасиеттері. Алгебра, 9 сынып, дидактикалық материал.

Дополнительные задания для самостоятельного выполнения

• Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.
• Найти пятый член разложения бинома .
• Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
• Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
• Сколько членов разложения бинома  являются целыми числами?
• Вычислить сумму .
• Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома.
• Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения  равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
• При каких значениях х четвертое слагаемое разложения  больше двух соседних с ним слагаемых?
• При каком значении х четвертое слагаемое разложения  в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
• В какую наибольшую степень следует возвести бином  чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

Самостоятельная работа

1. Вычислить значение бинома:

1) 

2) 

3) 

4) 

ОТВЕТЫ:

1) 

2) 

3) 4) 

№1. Вычислите степени бинома:

Ответы:

№2. Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Практическая работа № 14. Бином Ньютона

Вопросы к работе

• Прочитать формулу бинома Ньютона.
• Как строится треугольник Паскаля для нахождения коэффициентов бинома Ньютона?
• По какой формуле найти s-й член бинома Ньютона?

Образцы решения заданий

 Пример 1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить .

 Решение:

 Пример 2. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно x, получаемого в разложении бинома Ньютона . 

 Решение.

Это равенство истинно при любом значении х.

 При x = 1 левая часть равна , а в правой  части получаем алгебраическую сумму  коэффициентов: 

 Следовательно, алгебраическая сумма коэффициентов данного многочлена равна –1.

 Пример 3. Найти 13-й член разложения бинома

                                            .

 Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,

 Пример 4. Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.

 Решение. Для общего члена разложения имеем                         

 Член  разложения не зависит от x; это значит, что показатель степени x равен 0, только тогда, когда,  16 – 4m = 0, m = 4.

 Итак, пятый член данного разложения не зависит от х.

 Упражнения

•  Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

 а)  ; Ответ: .

 б) ; Ответ:.

 в)  ; Ответ: .

 2. Найти пятый и девятый член разложения:

 а)  , б) .    Ответ: .

 3. Найти два средних члена разложения . Ответ: .

 4. Найти в биномиальном разложении член, не содержащий z. (Ответ: ).

 5. Используя треугольник Паскаля найти коэффициенты разложения:

 а) ,  .

 Индивидуальные задания

•  Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить. Коэффициенты разложения найти, используя треугольник Паскаля:

 1) ;                2) ;                3) ;

 4) ;                5) ;                6) ;

 7) ;                8) ;                9);

 10) 

 2. Найти два средних члена разложения:

1) ;  2) ;  3) ;   4);  5) ;

 6) ;   7) ;   8) ;   9) ;   10) .

 Задание для самоконтроля

• Найти сумму:

 1)   (Ответ: );

 2)    (Ответ: 0).

2. Доказать справедливость равенства: .

 12. Треугольник Паскаля.

 Для вычисления биномиальных коэффициентов используется специальная таблица.

 Таблица 2

 Вычисление биномиальных коэффициентов

 Биномиальные коэффициенты удобно выстроить в Треугольник Паскаля – равнобедренный треугольник, обладающий следующими закономерностями:

 1) в  строке треугольника записываются биномиальные коэффициенты -й степени бинома;

 2) число  располагается в  строке на  месте;

 3) боковые стороны треугольника состоят только из единиц;

 4) каждое внутреннее число строки равно сумме двух последовательных чисел предыдущей строки, стоящих над ним слева и справа.

 На рисунке 7 представлен треугольник Паскаля, выстроенный для коэффициентов разложения бинома -й степени.

 Рис. 1

 Треугольник Паскаля

 Например, при  треугольник Паскаля имеет вид:

 Значит, .

 Задачи и упражнения.

 12.1. Найдите разложение бинома.

 12.2. Докажите, что .

 12.3. Проверьте выполнение равенства задачи 3.27 для 8 и 10 строк треугольника Паскаля.