Түзулердің параллельдігі, олардың белгілері және қасиеттері. Алгебра, 7 сынып, қосымша материал.

 Екі түзуді үшінші түзумен қиғанда пайда болатын бұрыштар.

 АВ және СD түзулерін кез келген ЕF түзуі қисын (1-сурет) ЕF түзуін қиюшы деп атайды. Осы үш түзудің қиылысуында 8 бұрыш пайда болады, олардың төртеуі G төбесінде, ал төртеуі H төбесінде орналасқан. Бұл бұрыштарды әрқайсысының ішіне жазылған цифрлар арқылы белгілейік. Оларды біреуі G төбесінен, екіншісі H төбесінен алынатын етіп, қос-қостан топтайық. Бұл жұптарАВ, СD түзулері мен қиюшыға қатысты орналасуларына байланысты әртүрлі аталады.

• 1 мен 5; 2 мен 6; 4 пен 8; 3 пен 7 бұрыштары сәйкес бұрыштар деп аталады.
• 1 мен 7; 2 мен 8 бұрыштары ішкі айқыш бұрыштар деп аталады.
• 3 пен 5; 4 пен 6 бұрыштары сыртқы айқыш бұрыштар деп аталады.
• 1 мен 8; 2 мен 7 бұрыштары ішкі тұстас бұрыштар деп аталады.
• 4 пен 5; 3 пен 6 сыртқы тұстас бұрыштар деп аталады.

 Бұл бұрыштардың жұптарының арасындағы қатыс мына теоремамен анықталады.

 Теорема: Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда сәйкес бұрыштар өзара тең болса, онда

• Ішкі айқыш бұрыштар өзара тең;
• Сыртқы айқыш бұрыштар өзара тең;
• Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;
• Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;

Дәлелдеуі.

• Теореманың шарты бойынша сәйкес бұрыштар тең, ; ; екенін дәлелдеу керек. Шындығында да, вертикаль бұрыштар болғандықтан , теореманың шартынан болғандықтан болады. Дәл осылайша, вертикаль бұрыш болғандықтан , ал сәйкес бұрыштар болғандықтан теореманың шарты бойынша . Олай болса, . Демек, ішкі айқыш бұрыштар тең.
• Сәйкес бұрыштар болғандықтан және екенін дәлелдеу керек. Шынында да, болғандықтан және вертикаль бұрыштар теңдігінен мына бұрыштардың екенін көреміз. Дәл осылайша, екенін көруге болады.
• Берілгені ; , болатынын дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан , теореманың шарты бойынша болғандықтан екенін көреміз.
• Берілгені: ; , екенін дәлелдеу керек. Сыбайлас бұрыштар болғандықтан , сонымен қатар , олай болса, . Вертикаль бұрыштар болғандықтан , теореманың шарты бойынша . Бұдан , ал сыбайлас бұрыштар болғандықтан . Сондықтан болады.

 Сонымен, бұрыштардың арасында мынанадай бес ара қатынас орындалады:

• Сәйкес бұрыштар тең.
• Ішкі айқыш бұрыштар тең.
• Сыртқы айқыш бұрыштар тең.

4. Ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;

• Сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең;

 Егер осы арақатынастардың кез келген біреуі орындалса, онда қалған төртеуі де орындалады.

Параллель түзулер.

 Екі түзудің қиылысу нүктесі жалғыз болатынын білеміз. Бір жазықтықта жатып, мүлдем қиылыспайтын екі түзу бола ма деген сұрақ туындайды.

 Мұндай түзулердің бар болатынын оңай көрсетуге болады. Шындығында да, АВ және CD екі түзуін үшінші EF түзуімен қиғанда ішкі айқыш бұрыштары тең болсын: , (2-сурет). Бұл жағдайда АВ және CD түзулері қиыылыспайтынын дәлелдейік. Әрбір түзу қиюшымен қиылысу нүктесінде екі сәулеге бөлінді: АВ түзуі GA және GB; ал CD түзуі HC және HD.

 Ыңғайлы болу үшін GB және HD сәулелерін оң жақты, ал CA және HC сәулелерін сол жақтың сәулелер деп атайық. Егер АВ және CD түзулері қиылысса, онда олардың оң жақтық немесе сол жақтық сәулелері қиылысады:

 Айталық, GB және HD оң жақты сәулелер қандай да бір О нүктесінде қиылсын (3-сурет). Суретті ЕF түзуімен бөлінген екі жарты жазықтықта қарастырайық. GH кесіндісінің ортасы К нүктесі арқылы КG кесіндісі КН кесіндісімен беттесетіндей етіп суреттіңоң жағын бұрайық. Бұл жағдайда болғандықтан GB сәулесіHC сәулесімен беттеседі және болғандықтан АВ және CD түзулерінің оң жақтық сәулелері олардың сол жақтық қиылысу нүкте О сол жақтық қиылысу нүктесі О мен беттесуі керек. АВ және CD екітүзуінің оң жақтық және сол жақтық екі қиылысу нүктелерінің болуы мүмкін емес.

 Сонымен, мынандай теорема дәлелденді.

 Теорема: Егер екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда ішкі айқыш бұрыштары тең болса, онда берілген түзулер қиылыспайды.

 Анықтама. Бір жазықтықта жатып, қиылыспайтын түзулер параллель түзулер деп аталады.

 АВ және CD түзулері параллель деген түрінде белгіленеді.

 Салдар-1. Егер сәйкес бұрыштар тең, немесе сыртқы айқыш бұрыштар тең, немесе ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы, немесе сыртқы тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең болса, онда түзулер параллель болады.

 Салдар-2. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда олар өзара параллель болады.

 Салдар-3. Берілген түзуден тысқары жатқан кез келген нүкте арқылы оған перпендикуляр жалғыз ғана түзу жүргізіледі.

 Параллель түзулер туралы аксиома: Берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель болатын жалғыз ғана түзу жүргізуге болады.

 Салдар-1. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болады.

 Салдар-2. Параллель түзулердің біреуін қиятын түзу олардың екіншісін де қияды.