Экономика | ЭКОНОМИКАЛЫҚ ПРОЦЕСТЕРДІ ЗЕРТТЕУДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ БАҒДАРЛАМАЛАУ МОДЕЛЬДЕРІ

Мазмұны
КІРІСПЕ.………………………………………………………………………………………...3
І БӨЛІМ. ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ……………………………………………………………...............................................4
1. Жоспарлау мен басқарудағы оптималдылық қағидасы және оптималды бағдарламалаудың жалпы есебі……………........4
2. Сызықтық бағдарламалау есебі және оның шешімдерінің қасиеттері……….............8
3. Сызықтық бағдарламалау есебін графиктік әдіспен шешу...........................................9
4. Сызықтық бағдарламалау есебін шешудің симплекстік әдісі.....................................10
4.1. Қарапайым базисті симплекс әдісі…………………………….........................10
4.2. Жасанды базисті симплекс әдісі (М-есебі)……………………........................14
5. Сызықтық бағдарламалаудың екі жақты есептері……………………........................16
ІІ БӨЛІМ. ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ…………………………………...............................19
ҚОРЫТЫНДЫ…………………………………………………...............................................25
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР…………………………………………....................26
КІРІСПЕ
Өзінің мүмкіндіктерін тиімді пайдалану арқылы жоғары нәтижеге жету кез келген адамның негізгі мақсаттарының бірі. Экономикалық жүйелердің әр түрлі деңгейлерінде кездесетін жоспарлау, басқару, шектелген ресурстарды тиімді бөлу, өндірістік процестерді талдау, күрделі объектілерді жобалау сияқты есептердің ұтымды және оптималды шешімдерін табу табиғи және ғылыми-техникалық прогресс қажеттіліктерінен туған мәселелер.
Оптимизациялық есептерде математикалық әдістерді пайдалану үшін, ең алдымен, тиімді шешімін табу қажет есептің өзінің математикалық қойылымын жазуымыз қажет. Математикалық қойылымда берілген ресурстар, өндірістік технология, «жақсы» немесе «жаман» шешім деген сияқты түсініктердің сан шамалары және олардың арасындағы байланыстар, математикалық өректер, теңсіздіктер арқылы көрсетілулері тиіс. Шарттары нақты берілген есептің математика тіліндегі формалды жазылымын сол есептің математикалық моделі деп атайды.
Математикалық модель құру үшін, ең алдымен, зерттейтін объектінің ең басты қасиеттерін немесе заңдылықтарын бөліп алып, оларды математикалық өрнектер арқылы өзара байланыстырып сипаттайды. Математикалық модель құрғаннан кейін ғана есепті шешіп, зерттеу үшін математикалық әдістерді қолдануға болады.
Экономикалық процестердің математикалық модельдерін құрастыру өте күрделі мәселе, себебі ол үшін математикалық және экономикалық білгірлікті өзара ұштастыра білу қажет.
Оптимизациялау теориясында мүмкін болатын шешімдердің ішінен мақсат функциясы деп аталатын функцияға ең үлкен немесе ең кіші мән беретін «ең жақсы» шешімді табу әдістерін зерттеу мәселелері қарастырылады. Мысалы, кез келген өндіріс фирмасының негізгі мақсаты – көбірек пайда табу.
Осындай есептердің қойылымы мен шығару әдістері мақсат функциясының қасиеттері мен шешімдер жиыны жөніндегі информация көлеміне байланысты.
Мақсат функциясы мен мүмкін шешімдер жиынын сипаттайтын функциялар сызықты функциялар түрінде берілген есептер экономикалық тәжірибеде жиірек кездеседі.
Бұл курстық жұмыста сызықтық бағдарламалау есептерінің қойылымдарының математикалық модельдері және оларды шығару жолдары қарастырылған. Есептердің шығарылу әдістері экономикалық және математикалық тұрғыдан талданып келтірілген.
І БӨЛІМ. ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ
1. Жоспарлау мен басқарудағы оптималдылық қағидасы және оптималды бағдарламалаудың жалпы есебі
Сызықтық бағдарламалау оптималды бағдарламалаудың бір бөлімі болып табылады. Ал оптималды бағдарламалау өз кезегінде шартты оптимизация есептерін оқытатын қолданбалы математиканың бір бөлімі. Экономикада мұндай есептер жоспарлау мен басқарудағы оптималдылық қағидасынының практикада қолданылу кезінде туындайды. [1]
Жоспарлау мен басқаруда оптималдылық қағидасын қолданудың маңызды шарты болып жоспарлы басқару шешімін қабылдауға қажетті икемділік пен өндірістік шаруашылық жағдайындағы баламалылық (альтернативтілік) табылады. Тап дәл осындай жағдайлар, негізінен, шаруашылық жүргізуші субъектілердің күнделікті тәжірибесін (практикасын) құрайды (өндірістік бағдарламаларды таңдау, жабдықтаушылармен қатынас, маршруттарды анықтау, материалдар жинау, қоспалар дайындау және т.с.с.).
Оптималдылық қағидасының мәні – шаруашылық жүргізуші субъектінің өндірістік қызметінің ішкі мүмкіндіктері мен сыртқы жағдайларын ең жақсы жолмен айқындайтын X = (x1, x2, …, xn) жоспарлы басқару шешімін таңдауға ұмтылуда, мұнда xj , j = – оның компоненттері.
Мұндағы «ең жақсы жолмен» сөздері оптималдылықтың қандай да бір критерийін таңдауды , яғни әр түрлі жоспарлы басқару шешімдерінің ішінен салыстыру арқылы ең тиімдісін таңдауға мүмкіндік беретін экономикалық көрсеткішті білдіреді.
«Өндірістік қызметтің ішкі мүмкіндіктері мен сыртқы жағдайларын айқындайтын» сөздері жоспарлы басқару шешімдерін таңдауда бірқатар шарттардың қойылуын білдіреді, яғни X таңдау қандай да бір D мүмкін болатын шешімдер облысында жүзеге асырылады; бұл облысты, басқаша, есептердің анықталу облысы деп те атайды.
Сонымен, жоспарлау мен басқаруда оптималдылық қағидасының тәжірибеде қолданылуы дегеніміз мынадай экстремалды есеп түрін шешу:
X ∊ D, (1.2)
f (X) → max (min), (1.1)
мұнда f (X) – оптималды критерийдің математималық түрде жазылуы – мақсат функциясы. Әдетте шартты оптимизация есебі былай жазылады:
Мына шектемелерді (шарттарды) қанағаттандыратын:
φ1 (x1, x2, …, xn) {≤ ,=, ≥} b1,
φ1 (x1, x2, …, xn) {≤ ,=, ≥} b2,
………………………………… (1.4)
φm (x1, x2, …, xn) {≤ ,=, ≥} bm,
xj ≥ 0, j = , (1.5)
және
f (X) = f (x1, x2, …, xn) → max (min) (1.3)
функциясының максимум немесе минимум мәнін табу.
(1.5) шарты міндетті емес, бірақ оған қажетті жағдайда жетуге болады. {≤ ,=, ≥} белгілінуі белгілі бір шектемеде ≤ , = немесе ≥ таңбаларының біреуін қолдануға болатындығын білдіреді. Егер қысқаша түрде жазатын болсақ төмендегідей болады:
φi (x1, x2, …, xn) {≤ ,=, ≥} bi, i = , (1.7)
xj ≥ 0, j = , (1.8)
f (x1, x2, …, xn) → max (min) (1.6)
(1.6) – (1.8) есеп – оптималды (математикалық) бағдарламалаудың жалпы есебі, немесе негізінде оптималдылық және жүйелілік қағидасы жатқан оптималды бағдарламалау есебінің математикалық моделі.
X векторы (басқарушы айнымалылар жиынтығы xj , j = ) мүмкін болатын шешім немесе оптималды бағдарламалау есебінің жоспары деп аталады, егер де ол шектемелер жүйесін қанағаттандырса. f (x1, x2, …, xn) мақсат функциясының максимум немесе минимум мәнін беретін сол X жоспары оптималды бағдарламалаудың оптималды жоспары деп аталады.
Сонымен, белгілі бір өндірістік жағдайдағы оптималды жоспар таңдау экономикалық-математикалық модельдің жүйелілік және оптималдылық тұрғысымен және оптималды бағдарламалау есебін шешумен байланысты.
Оптималды бағдарламалау есебін жалпы түрде мынадай белгілері бойынша жіктеуге болады:
1. Айнымалылардың өзара байланысу мінездемесі бойынша:
а) сызықтық;
ә) сызықтық емес.
а) жағдайында шектемелер жүйесіндегі барлық функционалдық байланыстар мен мақсат функциясы – сызықтық функциялар; жоғарыда аталғандардың біреуінде сызықтық еместіктің болуы ә) жағдайына алып келеді.
2. Айнымалылардың өзгеру мінездемесібойынша:
а) үздіксіз;
ә) дискретті.
а) жағдайында басқарушы айнымалылар мәндері қандай да бір нақты сандар облысын толтыруы мүмкін; ә) жағдайында барлық айнымалылар немесе тек бір ғана айнымалы бүтін мән қабылдауы мүмкін.
3. Уақыт факторын ескеру арқылы:
а) статикалық;
ә) динамикалық.
а) есептерінде модельдеу мен шешім қабылдау модель элементтерінің уақыт кезеңінен тәуелсіз болжамы негізінде жоспарлы басқару шешімі қабылданады; ә) жағдайында мұндай болжам жеткілікті анықталып қабылдана алмайды, сондықтан уақыт факторын ескеру қажет.
4. Айнымалылар туралы ақпараттар бойынша:
а) толық анықталғандық (детерминделгендік) жағдайындағы есептер;
ә) ақпараттың жеткіліксіз жағдайындағы есептер;
б) анықталмағандық жағдайындағы есептер.
ә) есептерінде жеке элементтері ықтималды мүмкін шамалар болып табылады, бірақ белгілі немесе қосымша статистикалық зерттеулер арқылы олардың үлестірім заңдылықтары бекітілуі мүмкін. Ал б) жағдайында кездейсоқ элементтердің мүмкін нәтижелері туралы болжамжасауға болады, бірақ бұл нәтижелердің ықтималдықтары туралы шешім шығаруға мүмкіндік жоқ.
5. Баламаларды бағалау критерийлерінің саны бойынша:
а) жай, бір критерийлі есептер;
ә) күрделі, бірнеше критерийлі есептер.
а) есептерін экономикалық тұрғыдан қарастырсақ, бір критерийлі оптималдылықтарды пайдаланған жөн немесе арнайы процедуралар (мысалы, басымдылықтарды өлшеу (салыстыру)) арқылы көп критерийлі ізденісті бір критерийліге келтірген дұрыс.
1 – 5 белгілерінің жиынтығы оптималды бағдарламалау есептері мен әдістерін жалпы түрде топтастыруға мүмкіндік береді, мысалы: 1а)2а)3а)4а)5а) – сызықтық бағдарламалаудың есептері мен әдістері, 1ә)2а)3а)4а)5а) – сызықтық емес бағдарламалаудың есептері мен әдістері, 1а)2ә)3а)4а)5а) – бүтінмәнді (дискретті) сызықтық бағдарламалаудың есептері мен әдістері және т. б.
2. Сызықтық бағдарламалау есебі және оның шешімдерінің қасиеттері
Берілген ресурстарды (қорларды) тиімді пайдалану арқылы қосымша пайданы арттыру немесе өндірістегі жалпы шығынды төмендету сияқты экономикалық есептердің математикалық модельдері сызықтық бағдарламалау есебі түрінде былайша қойылады:
Мына шектемелерді қанағаттандыратын:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn {≤ ,=, ≥} b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn {≤ ,=, ≥} b2,
………………………………………… (2.2)
am1x1 + am2x2 + … + amnxn {≤ ,=, ≥} bm,
xj ≥ 0, j = (2.3)
және
f (x) = c1x1 + c1x1 + … + c1x1 → max (min) (2.1)
мақсат функциясына максимум (немесе минимум) мәнін беретін n компонентті x = (x1, x2, …, xn) векторын табу.
Мұндағы aij, bi, cj - берілген тұрақты сандар, ал m < n; bi – оң сандар.
Экономикалық есептердің қойылу ерекшеліктеріне және математикалық зерттеулердің ыңғайына қарай сызықтық бағдарламалау есебі өзара пара-пар бірнеше түрде қойылады:
Мынадай түрде жазылған қойылымдар практикада жиірек кездеседі:
Матрицалық қойылым:
Мына шектемелерді қанағаттандыратын:
AX = B,
x ≥ 0
және
f (x) → max (min)
мәнін беретін x = (x1, x2, …, xn) векторын табу.
Мұндағы A = (aij)mxn – m жатық (көлбеу) жолдан және n тік жолдан тұратын матрица.
B = (b1, b2, …, bm) – m – компонентті тік вектор,
C = (c1, c2, …, cn) – n – компонентті жатық вектор.
Векторлық қойылым:
Мына шектемелерді қанағаттандыратын:
= b
xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n
және
f (x) = → max (min)
мәнін беретін x = (x1, x2, …, xn) векторын табу.
Мұндағы Pj = – A матрицасының j-ші тік жолының элементтерінен құралған вектор.
Енді сызықтық бағдарламалау есебінің қасиеттерін тұжырымдауға қажетті бірнеше анықтамаларды қарастырайық. [2].
Бірінші анықтама. (2.2) және (2.3) шектемелерді қанағаттандыратын n компонентті x = (x1, x2, …, xn) векторы сызықтық бағдарламалау есебінің жоспары деп аталады.
Екінші анықтама. Егер мына жіктемедегі
P1, P2, …, Pk – векторлары сызықты тәуелсіз болып және xi =1, 2, …, k сызықтық коэффициенттері оң болатын болса, онда осы коэффициенттерден құралған x = (x1, x2, …, xn) векторы тіректі жоспар деп аталады.
m компонентті векторлардан құралған сызықты тәуелсіз векторлардың саны әруақытта m-нен аспайтындықтан, кез келген тіректі жоспардың нөлден үлкен компоненттерінің саны да m-нен артық бола алмайды, k ≤ m.
Үшінші анықтама. Оң компоненттерінің саны m-ге тең болатын тіректі жоспар ерекше емес тіректі жоспар деп аталады.
Төртінші анықтама. (2.1) – (2.3) сызықтық бағдарламалау есебінің (2.1) мақсат функциясына максимум (минимум) мәнін беретін жоспар оның оптималдық жоспары немесе шешімі деп аталады.
Енді осы анықтамалар негізінде сызықтық бағдарламалау есебінің шешімдер жиынының қасиеттерімен танысамыз:
1. Сызықтық бағдарламалау есебінің жоспарлар жиыны әруақытта да дөңес көпбұрыш болады.
2. Сызықтық бағдарламалау есебінің оптималдық жоспары мүмкіндік шешімдер жиынының шеткі нүктелерінің ішінен табылады. Егер шеткі нүктелерінің бірнешеуі бірдей оптималдық жоспар болатын болса, онда осы нүктелердің кез келген дөңес комбинациясы да сызықтық бағдарламалау есебінің оптималдық жоспары болады.
3. Егер P1, P2, …, Pk векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болып және мына векторлық теңдік орындалса:
P1x1 + P2x2 + …+ Pk xk = b
xj ≥ 0, i =1, 2, …, k,
онда x = (x1, x2, …, xk, 0, 0, …, 0 ) - n компонентті векторы S мүмкін шешімдер жиынының шеткі нүктесі болады.
Керісінше, егер x = (x1, x2, …, xn) векторы S мүмкіндіктер жиынының шеткі нүктесі болса, онда оның оң компоненттеріне сәйкес келетін Pi векторлары сызықты тәуелсіз жүйе құрайды.
Осыдан x = (x1, x2, …, xn) нүктесінің S дөңес көпбұрышының шеткі нүктесі болатындығын немесе болмайтындығын Pi, i = 1, 2, …, n векторлары арқылы анықтауға мүмкіндік береді.
m компонентті P1, P2, …, Pn векторларынан құралған кез келген m + 1 векторлар әруақытта сызықты тәуелді жүйе болатындықтан, S дөңес көпбұрышының кез келген шеткі нүктесіне m вектордан тұратын сызықты тәуелсіз жүйе сәйкес келеді.
Сонымен, кез келген x = (x1, x2, …, xn) ∊ S шеткі нүктесіне P1, P2, …, Pm сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі сәйкес келеді де, мына шарттар орындалады:
= b
xj ≥ 0, i =1, 2, …, m.
3. Сызықтық бағдарламалау есебін графиктік әдіспен шешу
Егер сызықтық бағдарламалау есебі екі айнымалылы шектемелермен берілетін болса, онда оны графиктік әдіспен шешуге болады:
Мына шектемелерді қанағаттандыратын:
және
мақсат функциясына максимум (немесе минимум) мәнін беретін компонентті векторын табу. [1].
Сызықтық бағдарламалау есебін графиктік әдіспен шешу келесі қадамдардан тұрады:
Бірінші қадам. Ең алдымен координаттар жазықтығында шектемелерге сәйкес мүмкін болатын дөңес жиын (мүмкін шешімдер облысы, анықталу облысы) тұрғызылады. Содан кейін мақсат функциясының мүмкін шешімдер облысында жататын қандай да бір нүктесінде жататын вектор-градиент салынады:
Екінші қадам. максимумға ұмтылған жағдайда вектор-градиентке перпендикуляр түзуі дөңес жиынның шеткі нүктесіне жеткенге дейін осы вектор бағытында қозғалады. Бұл қозғалыстағы жиынның шеткі нүктесі (немесе шеткі нүктелері) функциясының максимум нүктесі болып табылады.
Үшінші қадам. Максимум нүктесінің координаттарын табу үшін өзара максимум нүктесінде қиылысатын түзулердің теңдеулер жүйесін шешу жеткілікті. Алынған нүктедегі функциясының мәні максимум болып табылады.
функциясын минимумдау жағдайында түзуін вектор-градиентке қарама-қарсы бағытта жылжыту қажет. Түсінікті, егер түзу қозғалыс кезінде мүмкін шешімдер облысынан шыға алмаса, онда сәйкес максимум немесе минимум жоқ.
4. Сызықтық бағдарламалау есебін шешудің симплекс әдісі
Есеп векторлық түрде қойылған болсын:
Мына шектемелерді қанағаттандыратын:...............