Математика | Туынды ұғымына келтіретін есептер

Мазмұны
І. Кіріспе
ІІ. Негізгі бөлім
1. Туынды ұғымына келтіретін есептер.
2. Туындының анықтамасы.
3. Туындының геометриялық және механикалық мағыналары.
4. Туындысы болатын функцияның үзіліссіздігі.
5. Бір жақтық туындылар мен ақырсыз туындылар.
6. Жоғары ретті туындылар.
7. Параметр арқылы берілген функция туындысы.
8. Дифференциал ұғымы.
9. Дифференциалдық геометриялық мағынасы.
10. Функциялар дифференциалдарының негізгі формулалары.
ІІІ. Қорытынды
IV. Пайдаланылан әдебиеттер
Кіріспе
Түзудің бойындағы белгілі бір кесіндінің бүкіл бойы қандай да болса бір затпен толтырылған болсын. Бұндай материялық кесінді үшін ені мен жуандығы еске алынбаған стерженьді аламыз. Егер берілген кесіндінің,ұзындықтары бірдей,кез келген екі бөлігінің массалары тең болса,ол кесіндінің массасын бір текті дейді.
Бізге [a,b] сегментінде анықталған y=f(x) функциясы берілсін. Анықталу облысының кез келген нүктесіндегі туындысы туралы сөз қылғанда шеттік нүктелердегі туындылар туралы мәселе де қамтылады.Басқаша айтқанда: біріншіден,егер, y=f(x) функциясының [a,b] сегментінің сол жақ шетіндегі туындысы туралы сөз болып отырған болса, онда нольге тек оң жақтан ғана ұмтылғандағы қатынасының шегін табу керек.
Ақырлы туындыны геометриялық тұрғыдан қарағанда жанаманың бұрыштық коэффициенті деп түсінетініміз бұрын айтылған. Ақырсыз туындының геометриялық мағынасын да дәл солай түсінеміз, бірақ соңғы жағдайда жанама ординаталар осіне параллель болады.
Функцияның ақырлы біржақтық туындыларының бар болуы мүмкін болса, сол сияқты , оның ақырсыз біржақтық туындылары да болуы мүмкін. Ақырсыз біржақтық туындылардың бар болуының аналитикалық сипаттамасы олардың таңбаларының әр түрлілігі болса, геометрияша сипаттамасы жалғыз ғана вертикаль жанаманың бар болатындығы.
1. Туынды ұғымына келтіретін есептер.
1. Жылдамдық туралы есеп.
Материялық нүктенің бір қалыпты емес қозғалыс заңы
(1) арқылы берілген. Сонда (1) теңдеу қозғалатын материялық нүктенің жүрген жолы - ті жолды жүру үшін жұмсалған уақыт нің функциясы түрінде анықтайды.
t мезгілінен мезгіліне дейінгі мерзімді деп, сол мерзім ішінде нүктеніңжүрген жолын деп белгілейміз. Сонда
Онда қатынасы нүктенің t мен мезгілі арасында өткен мерзімдегі орта жылдамдығы деп аталады.
Кез келген t мезгіліндегі жылдамдақ деп орта жылдамдықтың шегін айтады,яғни
Сызықтық тығыздық туралы есеп.
Түзудің бойындағы белгілі бір кесіндінің бүкіл бойы қандай да болса бір затпен толтырылған болсын. Бұндай материялық кесінді үшін ені мен жуандығы еске алынбаған стерженьді аламыз. Егер берілген кесіндінің,ұзындықтары бірдей,кез келген екі бөлігінің массалары тең болса,ол кесіндінің массасын бір текті дейді. Берілген материялық кесіндінің ұзындық бірлігіне тиесілі масса болады. Осы шамасы материялық кесіндінің сызықтық тығыздығы деп аталады. Нүктедегі сызықтық тығыздық ұғымын енгізу үшін ұзындығы ге тең берілген материялық кесіндінің бір шетін координата системасының бас нүктесі деп алсақ , екінші шетінің абсциссасы ге тең болады.
Берілген материялық кесінді дің кез келген бөлігі тің бойына орналастырылған заттың массасы тің қандайда бір функциясы болады,яғни
Ұзындығы ке тең бөлігінің массасы болады
Сонда
бөлігінің орта сызықтық тығыздығы деп аталады. бөлігіндегі орташа сызықтың тығыздықтың дағы шегі,яғни
шамасы нүктесінің өте жақын қасындағы сызықтың тығыздық үшін алынады немесе материялық кесіндінің х нүктесіндегі сызықтың тығыздығы деп аталады.
Жанама туралы есеп
функцияның графигі берілген болсын.
Берілген нүктесі арқылы жанама жүргізілсін.Ізделіп отырған жанаманың өтетін нүктесі белгілі болғандықтан, есепті шешу үшін жанаманың бұрыштық коэффициентін, яғни жанаманың абсциссалар өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышы үшін -ді яғни бұрыштық коэффициентті тапсақ жеткілікті.Ол үшін х ке аргумент өсімшесін береміз, сонда, функцияда өсімше алады, ол нүктені деп белгілейік. дің бұрыштың коэффициенті
Ендеше
Қисықтың берілген М нүктесінен өтетін жанама -нің бұрыштың коэффициенті қиюшы -дің нүктесі қисықтың бойымен қозғала М нүктесіне ұмтылғандағы шегі
2) анықтама қисық сызығының берілен М нүктесіндегі жанамасы деп сол нүкте арқылы жүргізілген қиюшы дің нүкте қиысықтың бойымен М нүктесімен беттесуге ұмтылғандағы шектік жағдайы МТ -ні айтады. Яғни хорда (керме)
2. Туындының анықтамасы
Қандай да болса бір сегментінде анықталған функция берілген.
деп х тің сегментіндегі бір нүктесін белгілейік. х ке өсімшесін берсек, оған сәйкес функциясы да жаңа мән қабылдайды, ол
Сонда функция өсімшесі немесе .
Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табамыз.
Егер тәуелсіз айнымалыныңөсімшесі да функция өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының шегі бар болса, яғни бар болса, бұл шек функциясының тәуелсіз айнымалы х бойынша алынған нүктесіндегі туындысы деп аталады. Туындының белгіленуі :
1)Лейбницше
2)Логранж : немесе
3) Коши: немесе
Егер функциясының сегментінің әрбір х нүктесінде туындысы бар болса, ол -тің өзі де х-тің сол сегментінде анықталған функциясы болады.
Берілген функциясының туындысы -ті іздеп табу амалы ол функцияны дифференциялдау деп аталады. Дифференциялдау ережелері мен туындылардың қасиеттері туралы ілім дифференциялдық есептеу деп аталады.
3. Туындының геометриялық және механикалық мағынасы
Берілген қисықтың бойында жатқан нүкте арқылы жанама жүргізу туралы есепті қарастырғанда деген қорытындыға келгенбіз .Осы формула бойынша туындыға геометриялық мағына беруге болады:
қисығының абщиссасы х-ке тең нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті функциясының туындысы -ке тең болады.
Қозғалыстағы материялық нүктенің лездік жылдамдығы туралы есепте оның формуласы арқылы анықталатынын білгенбіз. Қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы оның жүрген жолы S- тен уақыт t бойыншаа алынған туындысы болады.
4. Туындысы болатын функцияның үзіліссіздігі.
Егер сегментінде анықталған функциясының ол сегменттің белгілі бір нүктесінде туындысы болса, ол функция сол нұктеде үзіліссіз болады.
Теорема функциясы нүктесінде үзіліссіз болу үшін ол функцияның сол нүктеде ақырлы туындысы болуы жеткілікті .

Д/У. функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар деп ұйғарайық, яғни ақырлы шама дейік.
Мұндағы -аргумент өсімшесі , немесе ол ал осы аргумент. өсімшесіне сәйкес функция өсімшесі. Функция туындысының анықтамасына сәйкес (2)
(2) формуладан (3)
формуласы шығады ( да деп ұйғарамыз)
Бұдан да , яғни функциясы нүктесінде үзіліссіз.

5. Бір жақтық туындылар.
Бізге [a,b] сегментінде анықталған y=f(x) функциясы берілсін. Анықталу облысының кез келген нүктесіндегі туындысы туралы сөз қылғанда шеттік нүктелердегі туындылар туралы мәселе де қамтылады.Басқаша айтқанда: біріншіден,егер, y=f(x) функциясының [a,b] сегментінің сол жақ шетіндегі туындысы туралы сөз болып отырған болса, онда нольге тек оң жақтан ғана ұмтылғандағы қатынасының шегін табу керек. Бұл жағдайда ізделетін туындыны оң жақтық туынды деп атайды да (1-сурет) былай белгілейді:
(1-сурет)
Екіншіден, сол функцияның [a,b] сегментінің оң жақ шетіндегі туындысын есептеп табу керек болса, онда нольге тек сол жақтан ғана ұмтылғандаы қатынасының шегін табу керек болады, бұл жағдайда сол жақтық туынды (76-чертеж) туралы айтылады да, ол туындыны былай белгілейді:
2-сурет
Бірақ кейде [a,b] сегментінің қандай да болса бір ішкі [a,b] нүктесінде қатынасының шегі нольге нүктесінің не тек оң жағынан, не тек сол жағынан ұмтылғанда ғана бар болуы, сонымен бірге ол шектердің екеуі де бар болған жағдайда олар өзара тең болмауы мүмкін. Бұл жағдайда ол шектерді бір жақтық туындылар деп атайды. Берілген y=f(x) функциясының өзінің анықталу облысының ішкі нүктесі -де бір жақтық туындылары бар болуының геометриялық мағынасы сол нүктесінде біржақтық жанамалардың бар болуы және олардың бір бірімен нүктесіндегі белгілі бұрыш жасауында.
3-сурет
Ақырсыз туындылар.
Қандай да болсын бір [a,b] сегментінде берілген функция y=f(x) үшін жағдайда қатынасы не + ∞ -ке , не – ∞ ке, ұмтылса, бұл символды ақырсыз туынды деп атайды.
Ақырлы туындыны геометриялық тұрғыдан қарағанда жанаманың бұрыштық коэффициенті деп түсінетініміз бұрын айтылған. Ақырсыз туындының геометриялық мағынасын да дәл солай түсінеміз, бірақ соңғы жағдайда жанама ординаталар осіне параллель болады. (3,4-сурет)

Функцияның ақырлы біржақтық туындыларының бар болуы мүмкін болса, сол сияқты , оның ақырсыз біржақтық туындылары да болуы мүмкін. Ақырсыз біржақтық туындылардың бар болуының аналитикалық сипаттамасы олардың таңбаларының әр түрлілігі болса, геометрияша сипаттамасы жалғыз ғана вертикаль жанаманың бар болатындығы........