Қарапайым кері тригонометриялық теңдеулерді шешу (Алгебра, 10 сынып, I тоқсан)

Пән: Алгебра
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: Кері тригонометриялық функциялар
Сабақтың тақырыбы: Қарапайым кері тригонометриялық теңдеулерді шешу
Оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме): 10.2.3.7 қарапайым кері тригонометриялық теңдеулерді шешеді
Сабақтың мақсаты: Кері тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдарымен таныстыру, әдістерді пайдалана отырып, теңдеулерді шешу.

Ұйымдастыру
Үй жұмысын тексеру.
Оқушыларды 7 топқа біріктіру
Математикалық диктант. (Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттерін қайталай мақсатында)
1. Өрнектің мәнін табыңыз: arcsin(-√3/2)-arccos(-√2/2).
2. Функцияның анықталу аймағын көрсетіңіз: y=arcsin(2x-5).
3. Функцияның мәндерінің аймағын көрсетіңізy=π/3-2 arccos⁡x.
4. Өрнектің мәнін табыңыз: arcsin0,3-arccos0,3.
5. 〖 arcsin〗⁡x=π/8 екені белгілі. Табыңыз: arccos⁡x.
6. sin(arcsin⁡x )=-1/3 екені белгілі. Табыңыз: x.
7. arccos⁡x=π/5 екені белгілі. Табыңыз: arccos⁡(-x).
8. Есептеңіз: ctg(arctg 2/3).
Бағалау критерийлері:
кері тригонометриялық функциялардың мәнін табады;
функциялардың анықталу облысы мен мәндерінің облысын табады;
кері тригонометриялық функциялары бар өрнектерді түрлендңіре алады.
Жаңа тақырыпты меңгерту және оқушылардың сын тұрғысынан ойлау дағдыларын дамыту мақсатында топтық жұмыс ұйымдастыру. Оқушылар топтарда есептерді шығару жолымен танысады, талқылайды және ұсынылған басқа есептерді топта орындайды. өздігінен орындайды. Басқа топтарға ұсынады.
1-топ
Теңдеуді шешіңіздер: arcsin(x^2-4x+4)=π/2.
Шешуі. Егер arcsin⁡α=π/2, онда α=1.
Бұдан, x^2-4x+4=1⇔x^2-4x+3=0⇔x_1=1,x_2=3.
Жауабы: 1, 3.

2-топ
Теңдеуді шешіңіздер: 12〖arctg〗^2 x-π∙arctg x-π^2=0.
Шешуі: t=arctg x деп алайық, онда t-ға қатысты квадрат теңдеу шығады:
12t^2-π∙t-π^2=0⇔t_1=π/3,t_2=-π/4.
Бұдан: [█(arctg x=π/3,@arctg x=-π/4)┤⇔[█(x=√3,@x=-1)┤
Жауабы: √3, –1.

3-топ
Теңдеуді шешіңіздер: 〖arcsin〗^2 x-2arcsin x-3=0.
Шешуі. t=arcsin x деп алайық. t^2-2t-3=0⇔t_1=3,t_2=-1.
Бірінші жағдайда arcsin x=3. Шешімі жоқ, себебі арксинус-тың мәндерінің аймағы [-π/2; π/2], ал 3 саны бұл аралыққа тиісті емес.
Екінші жағдайда arcsin x=-1. -1∈[-π/2; π/2], бұдан x=sin(-1)=-sin1.
Жауабы: -sin1.

4-топ
Теңдеуді шешіңіздер: 〖arccos〗^2 x-arccos x-2=0.
Шешуі. t=arccos x: t^2-t-2=0⇔t_1=2,t_2=-1.
arccos x=2. x=cos2.
arccos x=-1. Шешімі жоқ, себебі мәндер жиыны- [0;π]аралығы, ал –1 саны бұл аралыққа жатпайды.
Жауабы: cos2.

5-топ
Теңдеуді шешіңіздер: arccos x=arctg x.
Шешуі. Арккосинустың мәндер жиыны [0;π] аралығы.
Ал арктангенстікі (-π/2; π/2). Сондықтан олардың мәндерінің жиыны [0; ├ π/2), және x ∈ [-1;1].
arccos x=arctg x , егер cos(arccos x)=cos(arctg x).
cos(arctg x)=1/√(1+〖tg〗^2 (arctg x) )=1/√(1+x^2 )
x=1/√(1+x^2 ),x=√((√5-1)/2).
Жауабы: √((√5-1)/2).

6-топ
Теңдеуді шешіңіздер: arcsin x=2arctg x.
Шешуі. x ∈ [-1;1] болғанда, arcsin x ∈[-π/2; π/2], ал arctg x [-π/4; π/4].
Сондықтан екі жақтың мәндерінің жиыны [-π/2; π/2]аралығы болмақ.
sin(arcsin x)=sin(2arctg x)
Оң жағында әмбебап ауыстырылымды пайдалансақ:
sin(2arctg x)=2tg(arctg x)/(1+〖tg〗^2 (arctg x) )=2x/(1+x^2 )
Бұдан: x=2x/(1+x^2 ),x_1=0; x_2,3=±1
Жауабы: 0, ±1......