Параллелограмм, ромб, тіктөртбұрыш, шаршы және олардың қасиеттері мен белгілері. Геометрия, 8 сынып, қосымша материал 2.

Қосымша 2

Тіктөртбұрыш, оның белгілері мен қасиеттері

Анықтама.

Барлық бұрыштары тік болып келген параллеограмм – тіктөртбұрыш деп аталады.

Қасиеттері

Параллеограммның барлық қасиеттері.

Тіктөртбұрыштың диагональдары тең: AC=BD.

Теоремалар (төртбұрыш қасиеттері)

1) Тіктөртбұрыштың барлық бұрыштары тік.

Дәлелдеуі: Айталық ∠A=90°. Параллеограммның көршілес бұрыштарының қосындысы 180° болғандықтан, ∠B=180°−∠A=90°. Параллеограммның қарама-қарсы бұрыштары тең болғандықтан, онда ∠C=∠A=90°, ∠D=∠B=90°, (ДКОЕ)

Теорема. Тіктөртбұрыштың диагональдары тең.

Берілгені: ABCD—тіктөртбұрыш (суретті қараңыз ).

Дәлелдеу керек: AC=BD .

Дәлелдеуі:

ABC= DBC, (ABC=DCB =90°— тіктөртбұрыштың анықтамасы бойынша,AB = DC — параллеограммның қарсы қабырғасы секілді және BC— ортақ катет). AC=BD – гипотенузалар. (ДКОЕ)

Салдар: Тіктөртбұрыштың жарты диагональдары тең, яғни OA=OB=OC=OD.

Тіктөртбұрыштың белгілері:

1. Егер параллеограммның диагональдары тең болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

2. Егер төртбұрыштың үш бұрышы тік болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

3. Егер параллеограммның бір бұрышы тік болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

Тіктөртбұрыш белгілерінің дәлелдеулері

Теорема 1) Егер параллеограммның диагональдары тең болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

Дәлелдеуі: Айталық ABCD параллеограмының диагональдары тең болсын. ABD және DCA үшбұрыштары үш қабырғасы бойынша тең (AB=CD, BD=AC, AD – ортақ қабырға). Бұдан шығатыны, ∠A=∠D болады. Параллеограммның қарама-қарсы бұрыштары тең болғандықтан, онда ∠A=∠C және ∠B=∠D. Осылайша, ∠A=∠B=∠C=∠D. Параллелограмм – дөңеес төртбұрыш, сондықтан оның ішкі бұрыштарының қосындысы ∠A+∠B+∠C+∠D=360° болады. Сәйкесінше, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

Теорема 2) Егер дөңес төртбұрыштың барлық бұрыштары тік болса, онда ол тіктөртбұрыш болады.

Дәлелдеуі: ABCD төртбұрышын қарастыралық.

∠A+∠B=180° – AD мен BC қабырғаларын AB қиюшысымен қиғанда пайда болған ішкі тұстас бұрыштар, сәйкесінше, AD∥BC. Дәл осылай AB∥CD екені дәлелденеді.

Демек, ABCD – параллелограмм, себебі оның барлық бұрыштары тік, онда анықтама бойынша бұл тіктөртбұрыш. .

Шаршы, оның белгілері мен қасиеттері

Анықтама (шаршының эквивалентті анықтамалары):

Шаршы – барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тік параллелограмм.

Шаршы – барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш.

Шаршы – бір бұрышы тік боп келген ромб.

Шаршының қасиеті

Шаршы тіктөртбұрыш және ромб болғандықтан, ол үшін осы екі фигураның барлық қасиеттері орындалады.

1. Шаршының барлық қабырғалары тең: AB=BC=CD=AD.

2. Шаршының әр бұрышы 90°.

3. Шаршының диагональдары тең және қиылысу нүктесінде қаққа бөлінеді: BD=AC; BO=OD=AO=OC.

4. Шаршының диагональдары өзара перпендикуляр: BD⊥AC.

5. Шаршының диагональдары оның бұрыштарынң биссектрисасы болып табылады: ABD=DBC=BCA=...=45°.

6. Шаршының диагональдары оны өзара тең төрт тікбұрышты үшбұрышқа бөледі.

Шаршының белгілері:

1. Егер тіктөртбұрыштың сыбайлас екі қабырғасы тең болса, онда ол шаршы болады.

2. Егер тіктөртбұрыштың диагональдары перпендикуляр болса, онда ол шаршы болады.

3. Егер ромбтың бір бұрышы тік болса, онда бұл ромб шаршы болады.

4. Егер ромбтың диагональдары тең болса, онда бұл ромб шаршы болады.