Параллелограмм, ромб, тіктөртбұрыш, шаршы және олардың қасиеттері мен белгілері. Геометрия, 8 сынып, дидактикалық материал.

Қосымша 1

Ромб, оның белгілері мен қасиеттері

Анықтама. Ромб – барлық қабығалары тең параллелограмм.

Сонымен, ромб үшін параллеограммның барлық қасиеттері орындалады:

1. Ромбтың қарама-қарсы қабырғалары тең: AB=BC=CD=AD (барлық қабырғалары тең).

2. Ромбтың қарама-қарсы бұрыштары тең: A= C, B=D.

3. Ромбтың диагональдары қиылысу нүктесінде қаққа бөлінеді: BO=OD, AO=OC.

4. Ромбтың бір қабырғасына іргелес бұрыштарының қосындысы 180⁰: A+D=180⁰.

Тек ромбыға тән қасиеттер:

5. Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр: AC⊥BD.

6. Ромбтың диагональдары сонымен қатар оның бұрыштарының биссектрисасы болып табылады (ромб бұрыштарын қаққа бөледі).

7. Ромб диагональдары оны тең шамалы төрт тікбұрышты үшбұрышқа бөледі.

ABO, СBO, CDO, ADO үшбұрыштары— өзара тең тік бұрышты үшбұрыштар.

Теорема (ромбтың қасиеті):

Ромб диагональдары перпендикуляр және оның бұрыштарын ққақа бөледі.

Дәлеледеу: ABCD ромбысын қарастырайық.

Анықтама бойынша AB=AD, сондықтан BAD үшбұрышы теңбүйірлі. Ромб – параллелограмм болғандықтан, оның диагональдары О нүктесінде қиылысады және сол нүктеде қаққа бөлінеді. Сәйкесінше, AO – BAD теңбүйірлі үшбұрышының медианасы болып табылады, демек, оның биіктігі, әрі биссектрисасы болады. Сондықтан AC⊥BD және ∠BAC=∠DAC. (ДКОЕ)

Ромб белгілері:

1. Егер параллеограммның диагональдары перпендикуляр болса, онда ол ромб.

2. Егер параллеограммның екі сыбайласқабырғалары тең болса, онда ол ромб.

3. Егер параллеограммның диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болса, онда ол ромб.

4. Еегер төртбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, онда ол ромб.

Теорема: ромб белгілері

1. Егер параллелограмның диагональдары өзара перпендикуляр болса, онда ол ромб болады.

Дәлелдеуі: ABCD параллелограммын қарастырайық.

Айталық AC⊥BD. Мұнда паралллеограммның диагональдары қиылысу нүктесінде қаққа бөлінетінін ескерсек, онда ABD үшбұрышында AO медиана болады. Сонымен қатар ол әрі биіктік (шартқа сәйкес), онда △ABD – теңбүйірліяғни, AB=AD. Параллеограммның қарама-қарсы қабырғалары тең екнін ескерсек, онда осыдан оның оның барлық қабырғалары тең екені шығады.

3. Егер параллеограммның диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болса, онда ол ромб.

Дәлелдеу: Айталық AC – ∠A бұрышының биссектрисасы болсын. биссектриса угла. Мұнда паралллеограммның диагональдары қиылысу нүктесінде қаққа бөлінетінін ескерсек, онда ABD үшбұрышындағы AO кесіндісі медиана болады. Сонымен қатар, AO – биссектриса (шарт бойынша), онда △ABD – теңбүйірлі болады, яңни AB=AD. Параллеограммның қарама-қарсы қабырғалары тең екнін ескерсек, онда осыдан оның оның барлық қабырғалары тең екені шығады.

4. Еегер төртбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, онда ол ромб.

Дәлелдеу: ABCD – кез келген төртбұрыш және AB=BC=CD=AD болсын.

Төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары қос-қостан бір біріне параллель болса, онда ол төртбұрыш параллеограмм. Біздің жағдайда оның барлық қабырғалары тең болғандықтан, онда анықтама бойынша бұл фигура – ромб.