Тригонометриялық теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу әдістері. Алгебра, 10 сынып, сабақ жоспары.

10.2А Тригонометриялық теңдеу

Химия-биология бағытындағы НЗМ Атырау қаласы

Күні:

Сарсембиева Ш.Г.

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақ тақырыбы:

Тригонометриялық теңдеулерді және олардың жүйелерін шешу әдістері

Оқу мақсаттары (оқу бағдарламасына сілтеме)

10.2.3.12

біртектес тригонометриялық теңдеулерді шеше алады

 Сабақ мақсаттары

Оқушылар біртекті тригонометриялық теңдеулердің анықтамасымен танысады және біртекті тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдерін меңгереді.

 Жетістік критерийлер

Тілдік мақсаттар

Оқушылар:

• тригонометриялық теңдеулерді шешуді түсіндіреді;

Бөлім бойынша лексика мен терминология:

• санның арксинусы, арккосинусы, арктангенсі, арккотангенсі;
• кері тригонометриялық функциялар;
• қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешімдерінің дербес жағдайлары;
• біртекті тригонометриялық теңдеу.

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер

• екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеулер теңдеудің екі жағын ... өрнегіне бөлу арқылы шешіледі;
• қарапайым тригонометриялық теңдеу деп ...;
• қарапайым тригонометриялық теңсіздік деп ….

 Құндылықтарды дарыту

сыни тұрғыдан ойлау арқылы білімге деген сүйіспеншілікті қалыптастыру.

 Пәнаралық байланыстар

Планиметрия, стереометрия, астрономия және физиканың көптеген практикалық есептері тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктерді қолдану арқылы шешіледі. Бұл бөлімде алынған білім осындай есептерді кең ауқымда шешуге мүмкіндік береді.

 АКТ қолдану дағдылары

Презентация

Бастапқы білім

Тригонометриялық функциялар, олардың графиктері және қасиеттерін білу. Тригонометриялық формулалар және олардың тригонометриялық өрнектерді түрлендіруде қолданылуын білу.

Сабақ барысы

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

І. Ұйымдастыру.

Амандасу. Көңіл күйлерін смайликтер арқылы білу.

Үй тапсырмасын, оқушылар бір-бірінің дәптерлерін қарап тексереді.

І. Ой – түрткі:

• Тригонометриялық теңдеу дегеніміз не?
• Қарапайым тригонометриялық теңдеу дегеніміз не?
• Тригонометриялық теңдеуді шешу дегеніміз не?
• y= sin x және y= cos x функциясына кері функцияны ата?
• y= tg x және y= ctg x функциясына кері функцияны ата?
• Тригонометриялық теңдеулер мен алгебралық теңдеулердің арасында қандай айырмашылық бар?
• Тригонометриялық теңдеулер шешімінің шексіз көп болу себебі неде? Алгебралық теңдеулерде осындай жағдайлар кездесе ме?
• Тригонометриялық теңдеудің екі жақ бөлігінде көбейткіш ретінде бірдей тригонометриялық функция берілген жағдайда қандай түрлендіру қолданады?
• 2sin x + cos x = 3 теңдеуі қарапайым тригонометриялық теңдеуге жата ма?

• Біртекті тригонометриялық теңдеулер.

Оқушыларды біртекті тригонометриялық теңдеулердің анықтамасымен таныстырамын:

Анықтама:

(1) түріндегі теңдеу u мен v-ға байланысты n- дәрежелі біртектес теңдеу деп аталады.

Егер және болса, онда (1) түріндегі теңдеуді біртектес тригонометриялық теңдеу деп атайды.

asinx+ bcosx = 0 (бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу);

asin²x + bsinxcosx+ с cos²x = 0 (екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу).

1-мысал:

Теңдеуді шешіңіз: 2 sin x – 3 cos x = 0.

Шешуі:

Теңдеудің екі жағында cos x – ке бөлеміз.

   2 sin x           3 cos x             0————  –  ————  =  ———     cos x            cos x             cos x

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

           3tg x = —           2

                3x = arctg — + πn                2

Берілген теңдеуді шешудің алгоритмін оқушылармен талқылаймыз.

1. sinx - cosx = 0 теңдігінің орындалуын анықтаймыз;

2. Теңдеуді sinx немесе cosx өрнегіне бөлеміз ( sinx 0, cosx 0);

3. Теңдеуді tgx немесе ctgx арқылы жазамыз;

4. Алынған тригонометриялық теңдеуді tgx немесе ctgx өрнектеріне қатысты шешеміз;

5. Жауабын жазамыз.

Дәл осылайша, екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеулерді қарастырамыз.

Оқушылармен біртекті түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулерді қарастырамыз.

2-мысал:

Теңдеуді шешіңіз: sin² x – 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0.

Шешуі:

Теңдеудің екі жағында cos² x – ке бөлеміз.

  sin² x         3 sin x cos x          2 cos² x             0———  –  ——————  +  ————  =  ——— cos² x             cos² x                  cos² x           cos² xСонда:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0.

tg x –тің орнына жаңа  айнымалысын енгізіп, z – ке қатысты квадрат теңдеуді аламыз: z² – 3z + 2 = 0.

Түбірін табамыз:z₁ = 1z₂ = 2.

Сонымен: tg x = 1,  tg x = 2.

Алдымен tg x = 1 теңдеуін шешеміз.x = arctg 1 + πn.x = π/4 + πn.

Содан соң tg x = 2 теңдеуін шешеміз.x = arctg 2 + πn.

Жауабы: x = π/4 + πn;  x = arctg 2 + πn.

Сыныппен жұмыс:

Біртектес тригонометриялық теңдеуді шешіңіз.1. sin²x + sinxcosx – 2cos²x = 0Теңдеудің екі жақ бөлігін cos² x – ке бөлеміз.tg²x + tgx – 2 = 0tgx = а деп белгілеп, квадрат теңдеу аламыз.а² + а – 2 = 0Д = 9а₁ = 1 а₂ = –2а-ның орнына мәнін қойып, х-ті табамыз.

2) sinx + cosx = 0,

 cosx ≠ 0, Теңдеудің екі жағында cos x – ке бөлеміз.

tgx + 1 = 0;

= ;

х = arctg () + πn, n ∈Z.

х = –π/6 + πn, n ∈Z.

Жауабы: –π/6 + πn, n ∈Z.

3) sin²x – 10 sinx cosx + 21cos²x = 0.

cos²x ≠ 0, онда tg²x – 10 tgx + 21 = 0

Айнымалы енгіземіз: tgx = у. 

у² – 10 у + 21 = 0

у₁ = 7 және у₂ = 3

tgx = 7 және tgx = 3

tgx = 7:

х = arctg7 + πn, n ∈Z

tgx = 3:

х = arctg3 + πn, n ∈Z  

Жауабы: arctg7 + πn, n ∈Z; arctg3 + πn, n ∈Z  

4) sin²2x – 6 sin2x cos2x + 5cos²2x = 0.

cos²2x ≠ 0, онда 3tg²2x – 6tg2x +5 = 0

Айнымалы енгіземіз: tg2x = у.

3у² – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у₁= 5 және у₂ = 1

tg2x = 5 және  tg2x = 1

tg2x = 5:

2х = arctg5 + πn, n ∈Z         

х = arctg5 + n, n ∈Z    

tg2x = 1:

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π/8 + π/2 n, n ∈Z

Жауабы: arctg5 + n, n ∈Z; π/8 + π/2 n, n ∈Z

5) 6sin²x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx – sin²x – cos²x = 0.

5sin²x + 4 sinx cosx – cos²x = 0.

cos²x ≠0, онда 5tg²x + 4 tgx –1 = 0

Айнымалы енгіземіз: tg x = у. 

5у² + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у₁ = 1/5 және у₂ = –1

tg x = 1/5 және tg x = –1

tg x = 1/5:

х = arctg1/5 + πn, n ∈Z         

tg x = –1:

х = arctg(–1) + πn, n ∈Z 

х = –π/4 + πn, n ∈Z

Жеке жұмыс:

Қосымша кеспе қағазда:

Теңдеуді шешіп, ұсынылған төрт жауаптың біреуін таңдап, келтіру формулаларын шығарған математиктің атын анықтаңыз:

2sin²x – 3 sinx cosx – 5cos²x = 0.

Жауап нұсқалары:          

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z   х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев

х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z   х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид

х = arctg 5 + πn, n ∈Z   х = –π/3 + πn, n ∈Z  – Софья Ковалевская

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z   х = –π/4 + πn, n ∈Z  – Леонард Эйлер

Дұрыс жауап:  Леонард Эйлер.

Жұппен жұмыс:

• Теңдеуді шешіңіз:

(бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу);

Теңдеудің екі жағында cos x – ке бөлеміз.

Сонда: 

,  

,  

Жауабы: ,  

• Теңдеуді шешіңіз:

(екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу).

Әрбір көбейткішті 0-ге теңестіреміз:

Бірінші теңдеудің түбірі: ,  

Екінші теңдеу - бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу. Оны шешу үшін Теңдеудің екі жағында cos x – ке бөлеміз.

,  

Жауабы:  ,  ,

,  

• Теңдеуді шешіңіз:

Жақша сыртына ортақ көбейткішті шығарып, мынаны аламыз:

Осыдан:

,  ,

,  

Жауап: ,  ,

,  

• Теңдеуді шешіңіз:

Жақша сыртына  шығарамыз. Сонда:

Бірінші теңдеудің түбірі:

,  

Бірінші теңдеудің түбірі:

,  

Екінші теңдеудің түбірі:

,  

Жауабы: ,  ,

,  ,

,  .

Топпен жұмыс:

Теңдеуді шешіңіз:

• 2 cosx – 2 = 0
• tg2x +1 = 0
• 2cos²x – 3cosx +1 = 0
• 3 sin²x + sinx cosx – 2 cos²x = 0

Өзіндік жұмыстың соңында жұмыстарын алмастырып, өзара тексеріс жүргізеді. Тақтаға дұрыс жауаптар қойылады.

VIII. Рефлексия

- нені білдім, нені үйрендім

- нені толық түсінбедім

- немен жұмысты жалғастыру қажет

Үйге: 3 sin²x – 4 sinx cosx + cos²x = 0.

cos²x ≠ 0, онда

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0

Айнымалы енгіземіз:  tgx = у.   3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 және y₂ = 1/3

tgx = 1 және  tgx = 1/3

tgx = 1:

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

tgx = 1/3:

х = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

Саралау – оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау – оқушылардың материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Денсаулық және қауіпсіздік техникасының сақталуы

Саралау іріктелген тапсырмалар, нақты бір оқушыдан күтілетін нәтижелер, оқушыға дербес қолдау көрсету, оқу материалдары мен ресурстарын оқушылардың жеке қабілеттерін есепке ала отырып іріктеу (Гарднердің жиындық зият теориясы) түрінде болуы мүмкін.

Саралау уақытты ұтымды пайдалануды есепке ала отырып, сабақтың кез-келген кезеңінде қолданыла алады

Бұл бөлімде оқушылардың сабақ барысында үйренгенін бағалау үшін қолданатын әдіс-тәсілдеріңізді жазасыз

Денсаулық сақтау технологиялары.

Сергіту сәттері мен белсенді іс-әрекет түрлері.

Осы сабақта қолданылатын Қауіпсіздік техникасы ережелерінің тармақтары

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақта саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық кезеңдері сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?

Жалпы баға

Сабақтың жақсы өткен екі аспектісі (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақты жақсартуға не ықпал ете алады (оқыту туралы да, оқу туралы да ойланыңыз)?

1:

2:

Сабақ барысында сынып туралы немесе жекелеген оқушылардың жетістік/қиындықтары туралы нені білдім, келесі сабақтарда неге көңіл бөлу қажет?