Негізгі геометриялық ұғымдар. Аксиома, теорема, салдар туралы ұғымдар 1-сабақ (Алгебра, 7 сынып, I тоқсан)

Пән: Алгебра
Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі: Геометрияның алғашқы мәліметтері
Сабақтың тақырыбы: Негізгі геометриялық ұғымдар. Аксиома, теорема, салдар туралы ұғымдар 1-сабақ
Осы сабақ арқылы жүзеге асатын оқу мақсаттары: 7.3.1.1 планиметрияның негізгі фигураларын білу: нүкте, түзу;
7.3.1.3 аксиоманың теоремадан айырмашылығын түсіну:теореманың шарты мен қорытындысын ажырату;
7.3.1.5 кесінді, сәуле, бұрыш, үшбұрыш, жарты жазықтық анықтамаларын білу;
Сабақтың мақсаттары: Оқушылар:
-Геометрияның негізгі түсініктерін біледі;
-фигуралар теңдігін түсінеді және қолданады;
-аксиомаларды, қасиеттерді қолданып тұжырымдарды дәлелдеу дағдыларын қалыптастырады.

Жаңа сабақ:
Геометрия – ең ежелгі ғылымдардың бірі. Бүгін сіздерде геометрияның жеке пән ретіндегі алғашқы сабағы. 5-6 сыныптарда математика пәнінде геометрияның кейбір элементтерімен танысқансыздар.
Геометрия туралы не білесіздер? Ол нені зерттейді? «геометрия»ғылымы қашан және қалай пайда болды?
Геометрияның алғашқы ұғымдары заттардың сыйымдылығын, олардың өлшемдерін анықтау қажеттілігінен туындаған.
- жер салығын алу үшін, оның ауданын анықтау қажет болды.
- ыдысқа сұйықтықтың белгілі бір көлемі сыю үшін оның формасының қандай болу керек екенін білу керек болды.
- жұлдыздарды бақылап, егін жұмыстарын қашан бастау керек екенін айтқан астрономдар жұлдыздардың орналасуын білу керек болды. Бұл үшін бұрыштарды өлшеу қажеттілігі туындады.
Б.д.д. ІІІ ғ-да грек ғалымы Евклид өзінің «Бастамалар» атты еңбегінде фигуралар мен олардың қасиетттерін жинақтады. Осылай геометрияның ғылым ретінде негізі қаланып, ғалымның құрметіне евклидтік геометрия деп аталған.

Тақтада геометриялық фиуралардың аттары екі бағанда жазылған:
Түзу куб
Сынық сызық цилиндр
Кесінді шар
Сәуле конус
Тіктөртбұрыш пирамида
Квадрат параллелепипед

Бұл геометриялық фигуралардың аттары екі бағанға қандай тәртіппен бөлінген? (1-жазықтықтағы, 2-кеңістіктеі фигуралар).
Геометрияның жазықтықтағы фиураларды зерттейтін бөлімі планиметрия деп аталады. Біз геометрияны зерттеуді планиметриядан бастаймыз.
Жалпы, математикада кез келген тұжырым (теорема, сөйлем, қасиет, белгі және т.с.с.) бұрыннан белгілі, одан ертерек дәлелденген тұжырымдарға сүйене отырып дәлелденеді(негізделеді). Мұнда, әдетте теоремалардың қисындық құрылымы мынадай болып келеді. Егер А1 – бұрынырақ дәлелденген қандай да бір тұжырым болса(оны «шарттық» деп атайық), онда осы тұжырымға сүйене отырып, қисынды ой қорытындылар көмегімен жаңадан бір А сөйлемін(тұжырымын теоремасын, қасиетін және т.с.с.) қорытып шығарамыз. Осыны ⟹ қисынды-салдар символы көмегімен қысқаша былай жазады: А1⟺А. Енді соңына дейін қатаң математикалық дәлелдеулер принципіне жүінетін болсақ, онда А1 теоремасының өзі дәлелдеуді талап етеді және оны дәлелдеу үшін А1-ден ертерек дәлелденген қандай да бір А2 теоремасына сүйінуіміз керек.
Осылай, әрбір жаңа түсінік ертеректен белгілі түсініктер көмегімен анықталады. Мысалы, «барлық бұрыштардың шамалары 900-тан және барлық қабырғалары өзара тең болатын төртбұрышты квадрат деп атаймыз». Мұнда «квадрат» деген жаңа ұғым «төртбұрыш», «қабырға», «бұрыш» және т.с.с. ұғымдарға сүйеніп анықталады.

Аксиомалар және теоремалар.
Дәлелдеусіз қабылданатын және қарапайым геометриялық фигуралардың негізгі қасиеттерін айқындайтын «А⟺В» түріндегі тұжырымды аксиома деп атайды. Сонымен, қысқаша айтқанда, аксиома деп дәлелдеусіз қабылданатын тұжырымды айтады. Аксиома гректің «аксиос» деген сөзінен туындаған және «ақиқаттығы күмән келтірмейтін сөйлем» деген мағынаны білдіреді. Мысалы:
Аксиома. Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
Жоғарыдағы аксиомада А ретінде «жазықтықта жататын түзу» берілген (бұл – тұжырымның шарты), ал В ретінде осы «түзудің жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөлетіні» алынады(бұл – тұжырымның қорытындысы). Сонымен, бұл қарапайым тұжырым жазықтық пен онда жататын түзу арасындағы қатынасты реттейтін аксиома ретінде қабылданған.
Геометрияда қабылданған аксиомалардан өзге тұжырымдардың барлығы дәлелденуі қажет. Мұндай дәлелдеуді қажет ететін тұжырымды теорема деп атайды. Жалпы, қисынды ой қорытулар тәсілімен тұжырымның ақиқаттығына көз жеткізу процесін дәлелдеу деп атайды.
Теоремаларды дәлелдеу процесінде аксиомаларды, дәлеллденген теоремаларды немесе шешілген мысалдардың қорытындыларын (соңғылар да теоремалар болып табылады) қолданады. Ал фигуралардың өзге дәлелденбеген қасиеттерін қолдануға мүлде болмайды. Геометриялық сызбалардан көрініп тұрған фигуралар қасиеттерін де негіздеусіз қолдануға болмайды.

Түзу мен нүкте – геометрияның негізгі ұғымдары.

Нүктелер: А, В, С, D, М, Е,
Түзулер : а, в, с, l, d,
немесе: AB, MN, LK, ОР.

Жазықтықтағы түзулер мен нүктелердің бейнеленуі мен белгіленуін көрсетемін:
Түзу сызып, оны кіші әріппен белгілейді. Түзуге тиісті және түзуден тыс бірнеше нүктелерді белгілеп, жазбаларды түсіндіремін. Мысалдар:


1-сурет

Әрбір түзу жазықтықты екі бөлікке бөледі.
Аксиома. Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

Топтық жұмыс
Топтық тапсырма (оқулықпен жұмыс, топтарға фломастерлер мен А3 форматты қағаз таратылады):

1-топ: кесінді, оның анықтамасы, белгіленуі, бейнеленуі.
2-топ: сәуле, оның анықтамасы, белгіленуі, бейнеленуі
3-топ: бұрыш, оның анықтамасы, белгіленуі, бейнеленуі

Тапсырма жауаптары:
Кесінді.
А және В нүктелері а түзуінің бойында жатсын (1-сурет). Онда а түзуінің А және В нүктелерінің арасында орналасқан нүктелерінің жиынын АВ кесіндісі деп атайды, яғни а түзуінің А және В нүктелерімен шектелген бөлігін АВ кесіндісі дейді. Кесіндіні шектейтін нүктелерді оның ұштары деп, ал екі нүктенің арасындағы нүктелерінің барлығын оның ішкі нүктелері деп атайды. Мысал: 2-суретте N және О нүктелері АВ кесіндісінің ішкі нүктелері, ал А және В нүктелері – оның ұштары.......