Фурье қатарына жіктеу

1. Ортогональ функциялар.
Анықтама : Егер сегменетте интегралданушы f(х) және (х) функциялар көбейтіндісінен алынған интеграл нөлге тең болса , оларға өзара ортогональ сызық қиялар делінеді.
(1)
Мысал:
(2)
2. Периоды 2l- ге тең болған функцияны Фурье қатарына жіктеу.
Егер болса оның фурье қатарына жіктеуі жалпы түрде былай жазылады:
(3)
Енді а0, ап және вп коефиценттерін f(х) арқылы табайық

(3) ні аралығында интегралдасақ
(4)
(3) ні cos kx –қа көбейтіп [-n,n] аралығында интегралдаймыз.

(2) формулаға сәйкес
ді табамыз
Сонда пак= (5) болады
Осы жолмен (3)ті sin kx қа көбейтіп [-n, n] интегралды интервалдасақ табамыз
Қортынды :Егер а ( ч+2т)=f(x) болса ол[-n,n] сегментте Фурье қатарына жіктеледі.. Қатардың а0,ак, вк коэфиценттері мына формулр ррқылы есептеледі.




Ескерту: 1 Егер f(-х)=-(х) болса а0=0; ак=0 болып вк ны есептеу керек. Яғни f(x) тек синустар бойынша фурье қатарына жіктеледі .

Ескерту: 2 Егер f(-х)=-(х) болса вк=0 болып а0, ак -ларды есептеу керек.

Мысал:1 f(x)=x f(x+2n)=f(x) болсын
а(-x)= -f(x) сандықтан a0=ak=0
bk=

x=+2

Жауап: x=2
у
f(x)=x тың графигі

-3п -2п -п
-х п 2п 3п х
0
-п
-у

2. f(x)=x2 f(-x)=f(x) сондықтан вк=0 болады

а0=


Жауап: n2 у

f(x)=x2тың графигі
-x
-3n -2n -n 0 n 2n 3n x

-y

3.Периоды 2 l-ге тең болған функцияны Фурье қатарына жіктеу .

, болсын. Сонда деп алсақ
x=-1 болғанда t=-n; x=1 болғанда t=+n болады, яғни
болады.
Сонда

Мысал f(x)=x+2 f(x+6)=f(x) 2l=6 l=3


ak=0;

Жауабы:

1. Периодсыз функцияны Фурье қатарына жіктеу
Егер шегараланған f(x)функция [0,l] үздіксіз немесе шекті ретті біріеші тип үзілістерге ие болса оны фуре қатарына жіктеуге болады . Бұнын үшін f(x)ты [-1,l] интервалды тақ деп алсақ синустарға жұп деп алсақ косинустарға жіктеуге болады.
Мысал: [0,n] интервалда берілген функция косинустар бойынша жіктелсін


Жауап:
Геометрияның кеңістіктегі фигураларды зерттейтін бөлімі – стереометрия
Стереометрия бөліміндеде планиметрия сияқты фигуралар қасиеті теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Кеңістіктің негізгі элементтері: нүкте , түзу және жазықтық.
Кеңістіктегі жазықтықтардың негізгі қасиеттері:
С1. Кез келген жазықтыққа тиісті және тиісті емес нүктелер бар болады.
С2. Егер кез келген екі жазықтықтың ортақ нүктелері бар болса, онда екі жазықтық осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
С3. Егер екі түзу бірнүктеде қиылысатын болса, онда олар арқылы тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады.
Кеңістіктегі жазықтықтардың және түзулердің параллелдігі.
Бір жазықтықта жататын екі түзудің ортақ нүктесі болмаса олар параллел болады.
Т1. Берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге параллель тек бір ғана түзу жүргізуге болады.
Т2. Параллель екі түзудің біреуіне үшінші түзу параллель болса, онда үш түзу бір-біріне параллель болады..
ТЗ. Егер жазықтықта жатпайтын түзу осы жазықтықтағы бір түзуге параллель болса, онда түзу жазықтыққада параллель болады.
Т4. Егер бір жазықтықта жататын қиылысатын екі түзу сәйкесінше екінші жазықтықта жататын қиылысатын екі түзуге параллель болса, онда жазықтықтарда параллель болады.
Т5. Жазықтықтан тысқары алынған нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель бір ғана жазықтық жүргізуге болады
Кеңістіктегі жазықтықтардың және түзулердің перпендикулярлығы.
Егер екі түзу тікбұрыш жасап қиылысатын болса, онда олар перпендикуляр түзулер болады.
Т1. Егер қиылысатын екі түзу сәйкесінше тікбұрыш жасап қиылысатын екі түзуге параллель болса, онда оларда перпендикуляр түзу болады..
Т2. Егер түзу бір жазықтықта жататын қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса, онда жазықтыққа да перпендикуляр болады.
ТЗ. Егер жазықтық параллель екі түзудің біреуіне перпендикуляр болса, онда жазықтық екіншісінеде перпендикуляр болады.
Т4. Егер екі түзу бір жазықтыққа перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.
Т5. Егер жазықтық екінші жазықтықа перпендикуляр түзу арқылы жүргізілетін болса, онда ол жазықтықтар өзара перпендикуляр болады.
Көпжақтар. Көпжақтардың бет аудандары және көлемі.
Көпжақ — саны шекті дөңес көпбұрыштардан тұратын фигура
Көлбеу призма көлемі V=Sпқa,мұндағы Sпқ – перпендикуляр қима ауданы a-бүйір қабырға..
Көлбеу призманың бүйірбеті Sп.қ=Pп.қa,мұндағы Pпқ-перпендикуляр қима периметрі a-бүйірқабырға.
Көлбеу призманың толық беті Sт.б=Sб+2Sтаб,мұндағы Sб, - көлбеу призманың бүйір беті. Sтабн – табанының ауданы.
Тік призма көлемі V=Sтабa,мұндағы Sтаб – тік призманың табанының ауданы, a – бүйір қыры.
Тік призманың бүйірбеті Sб.б=Pтабa, мұндағы, Pтаб–призманың табанының периметрі,
Тік призманың толық беті Sт.б =Sб.б+2Sтаб , мұндағы Sб.б - призманың бүйірбеті, Sосн - призманың табанының ауданы.
Егер призма табаны параллелограмм болса, онда ол параллелепипед деп аталады
Параллелепипедтің табаны тікбұрышты болса, онда оны тікбұрышты параллелепипед деп атаймыз.
Тікбұрышты параллелепипед көлемі V=abc,мұндағы a,b,c- параллелепипед өлшемдері
Тікбұрышты параллелепипед бүйірбеті Sб=2c(a+b),мұндағы a, b –табан өлшемдері, c - тікбұрышты параллелепипедтің бүйір қабырғасы.
Тікбұрышты параллелепипед толықбеті Sт.б=2(ab+bc+ac),мұндағы a,b,c – параллелепипед өлшемдері .
Пирамида көлемі
мұндағы Sтаб- табанының ауданы, H -биіктігі.
Толық беті Sт.б=Sб+Sтаб, Sб – бүйір бетінің ауданы , Sтаб– табанының ауданы.
Қиық пирамида көлемі

мұндағы S1 , S2 – қиық пирамиданың табанының аудандары, H -биіктігі.
.
Қиық пирамида толық беті Sт=Sб+S1+S2 ,мұндағы Sб - қиық пирамиданың бүйір бетінің ауданы, S1 , S2 - қиық пирамиданың табанының аудандары.
1.Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса:
а) барлық бүйір жақтары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды;
б) барлық бүйір жақтарының апофемасының ұзындықтары бірдей; Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына іштей сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
2. Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса:
а) барлық бүйір қырлары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды;
б) барлық бүйір қырлары ұзындықтары бірдей;
Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына сыттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
3.Егер үшжақты бұрыштың, екі сүйір жазық бұрышы тең болса, онда олардың ортақ қабырғаларының проекциясы үшінші жазық бұрыштың биссектрисасы болады.
4. Егер пирамиданың табаны тікбұрышты үшбұрыш болса, онда пирамиданың биіктігінің табаны, табанына сырттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.
Мысалдар:
1. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 7 см, табан қабырғасы 8см. Бүйір қабырғасын табыңыз.
Берілгені: SABCD - дұрыс төртбұрышты пирамида. SO = h = 7 см; AB=BC=CD= =DA=8 см.
Табу керек: l=AS=BS=CS=DS
Шешуі:: ABCD – квадрат
AC2 = AD2 + CD2 = 64 + 64 = 128; AC = =8 ;
∆SOC – тікбұрышты,
l=SC= = = = =9
Жауабы: 9 см.
2.Тікбұрышты параллелепипедтің үш өлшемі берілген; 2см,3см және 6см
Параллелепипед диагоналын табыңыз.
Берілгені: ABCDA1B1C1D1 – тікбұрышты параллелепипед;
a=2 см, b=3 см, с=6 см.
Табу керек: d=D1B
Шешуі:
d2=a2+b2+c2;
d= =7 см,
Жауабы: d=7 см.
3. Пирамиданың табанына параллель жазықтық биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Егер табан ауданы 60м2 болса, қиманың ауданын табыңыз.
Берілгені: ABCDA1B1C1D1 – қиық пирамида,
SO1: O1O = 1:1

(ABCD)||(A1B1C1D1); S=SABCD=60 м2

Табу керек: SA1B1C1D1 =SO1=h; SO=2h
Шешіуі: SO12:SO2=S1:S; = ; S1= =15 м2
Жауабы: S=15 м2
4. Сүйір бұрышы 30о тікбұрышты ұшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центріне ұзындығы 6см биіктік тұрғызылған, үшбұрыш жазықтығына тиісті емес ұшынан үлкен катетке дейінгі қашықтық 10см. Ұшбұрыш гипотенузасын табыңыз.
Берілгені :шеңбер, (центр О), OB=OC=OA=R, ∆ABC – тікбұрышты.
С=90о, B=30o, DO┴S, DO=6 см, DM┴CB, DM=10 см,
Табу керек: AB
Шешуі: Үш перпендикуляр теоремасы бойынша: OM┴CB=>MO||CA. OB=OC=OA=R, онда O – ортасы AB, => MO= ½ AC=R/12, AC=AB*sin 30o=R ∆DOM-тікбұрышты, демек MO2=MD2-OD2=100-36=64, MO=8, AC=16, AB=2AC=32 см.
Жауабы: 32 см.
5. Жазықтықтан тысқары алынған нүкте арқылы, жазықтықпен 30о бұрыш жасайтын екі көлбеу жүргізілген Олардың проекциясы өзара 120о бұрыш жасайды. Егер көлбеу табандарының арасы 60см болса, нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты табыңыз.
Берілгені: MA, MB – көлбеулер, MO┴(α),
MAO= MBO=30o,
AOB=120o, AB=60 см,
Табу керек: MO
Шешуі: ∆AOB – теңбүйірлі, OK┴AB жүргіземіз, сонда
KOB=60o, KBO=30o, KB=60/2=30 см, KB=OB*sin 60o
OB= = = =
∆MOB-тікбұрышты, демек MO=OB tg 30o= * =20 см
Жауабы: ОМ = 20 см.

6. Екіжақты тікбұрыштың арасынан А нүктесі алынған және оның жақтардан арақашықтығы 12см, 16см. Осы нүктеден екіжақтың қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңыз.
Берілгені: ααβ=90о, AB┴β, AB=12 см, AC┴α, AC=16 см, AD┴α
Табу керек: AD
Шешуі: үш перпендикуляр теоремасы бойынша (AD┴ α, DC – проекция => α┴ DC)
∆ADC – тікбұрышты DC = BA=12 см, AC=BD=16 см
AD2=AC2+DC2=162+122=256 + 144=400
Жауабы: AD=20 см
7. Үшжақты бұрыштың екі жазық бұрышы 45о , үшінші жазық бұрышы 60о . Үшінші жазық бұрышқа қарсы жатқан екіжақты бұрышты табыңыз.
Берілгені: үшжақты Sabc, aSb,=45o, bSc=45o, aSc=60o
Табу керек: (aSb) және( cbS) арасындағы бұрышты
Шешуі: Sb қырына жазықтықтардан перпендикулярлар түсіреміз, сонда Sb┴AB, CB┴BS, ∆SAB және ∆SBC –тікбұрышты бір бұрышы 45оболады, демек теңбүйірлі => AB=BC=a=SB, онда SC2=SB2+BC2=a2+a2=2a2. SC=SA= =a , тең бүйірлі ∆ASB – қарастырамыз, төбесіндегі бұрышы ASC=60o, демек ∆ASC – теңқабырғалы, AC=SA= a , онда ∆ABC-дан косинустар теоремасы бойынша:
AC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosABC. Кабырға мәндерін қоямыз 2a=2a2-2a2cosABC, cosABC=0, ABC=90o
Жауабы: ABC=90o
8. Дұрыс үшбұрышты пираиданың биіктігі 40 см, табан қабырғасы 10 см. Табанының бір қабырғасы арқылы өтетін, қарсы қырға перпендикуляр қиманың ауданын табыңыз.
Берілгені: Н=40 см, а=AB=DC=AC=10 см, SO=H, қима ABM ┴SC
Табу керек : SқимAMB
Шешуі: ∆SOB – тікбұрышты, OB=R= = ,
SB= = = = =
теңбүйірлі ∆BSC , ауданын табамыз S∆BSC= h1 BC= h110=5h,
h1= = = =
S∆BSC= 10 = , ∆BSC-дан (мұндағы BM┴SC) BM табамыз
S∆BSC= SC*BM, BM= = =
∆AMB-дан, MP┴AB, PB=5см, MB= , PM= = = 12= , Sқим.= PM*AB= * *10=43
Жауабы: 43(кв.см)....